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(1.解放軍裝備學院 研究生三隊，北京 101416； 2.解放軍裝備學院 航天指揮系，北京 101416 )

0 引言

彈道導彈的飛速發(fā)展，使得未來的空天安全面臨著極大挑戰(zhàn)。反導作戰(zhàn)成為未來戰(zhàn)爭的重要形式之一，中段反導具有攔截次數多、實施攔截早、附帶傷害少等特點[1]，所以中段反導作戰(zhàn)在導彈防御中有著至關重要的作用。反導火力單元的部署問題是進行反導作戰(zhàn)的前提，對于火力單元部署問題就是使得以最少的部署成本獲得盡可能高的攔截概率，所以火力單元在空間中殺傷區(qū)內任意理論攔截點的攔截概率成為部署問題的前提。

目前利用攔截彈與目標直接碰撞產生的巨大動能來毀傷目標，是主要的反導方式之一[2]。為了達到碰撞殺傷的效果，必須將攔截彈的零控脫靶量控制在一定的精度范圍內。本文以末制導初始時刻的零控脫靶量為評價策略，即在末制導初始時刻的當零控脫靶量小于在該時刻的末制導的修正能力時，攔截彈能夠修正誤差進行成功攔截。本文通過分析某一中段反導武器的殺傷區(qū)，選取不同高度和位置的理論攔截點進行攔截仿真，完成了針對火力單元在空間殺傷區(qū)內任一點的攔截概率的計算。

1 攔截彈數學模型

1.1 攔截彈在空間中的殺傷區(qū)

選取一典型的中段反導武器其發(fā)動機大致參數如表1所示[3-4]。

表1 攔截彈發(fā)動機大致參數

該中段反導武器在其第三級關機后[5]，直到其下降段之前的范圍內可以進行攔截，當來襲導彈的彈道軌跡進入該包絡面時認為可以對其進行攔截。本文采用的地球模型為標準的球形，由于攔截彈飛行時間比較少，并且考慮到中段反導武器可能的部署位置，在緯度較高的地區(qū)科式力的影響相對較小，本文中采取簡化的模型，認為火力單元在空間中，朝著任意方位發(fā)射殺傷區(qū)的范圍都相同，所以火力單元在空間中的殺傷區(qū)域在任意朝向的軌跡相同。碰撞攔截分為順軌攔截和逆軌攔截，本文僅分析逆軌攔截情況，即火力單元必須部署在攔截點的前面，故將攔截彈在180°范圍內在空間中的可達集作為其在空間的三維殺傷區(qū)范圍。選取的該攔截彈在空間中殺傷區(qū)如圖1所示。

圖1 攔截彈在空間中的殺傷區(qū)

圖1中火力單元部署在原點O位置，攔截的來襲導彈的方向為沿著y軸的負方向。殺傷區(qū)由4個曲面和一個平面組合而成，具有良好的軸對稱性?？梢钥闯銎渥钸h射程可以達到450 km左右，攔截高度可以達到430 km左右。

當來襲導彈進入火力單元的殺傷區(qū)時，認為火力單元可以對來襲目標進行攔截。單次動能中段反導攔截過程最終發(fā)生在殺傷區(qū)內的一個小區(qū)域范圍內，或者說發(fā)生在預測命中點附近。在進行攔截效能評估之前，首先要解決的問題是在火力單元殺傷區(qū)范圍內任意預測命中點的攔截概率值。

1.2 攔截概率計算模型

中段反導發(fā)生在大氣層外，預測命中點的攔截概率與脫靶量有密切的關系。終端脫靶量是由零脫靶量初始誤差和攔截器的修正能力共同決定[6]。本文中假設來襲目標在中段不進行機動，當攔截器導引頭捕獲目標時，攔截器采用理想比例導引的方式進行修正。

在末制導的初始時刻的脫靶量為：

(1)

其中：vf(t)服從(mv,σv)正態(tài)分布，r(t)服從(mr,σr)正態(tài)分布，vIA服從(mV,σV)的正態(tài)分布。vf為相對速度在視線法向的投影，r為相對距離[7]。即該方程可以表示為脫靶量由來襲導彈和攔截彈的視線法向的相對速度在剩余攔截時間段內運動的距離。ρf的均值mρf和標準差σρf可采用Rosenbulth法[8]近似計算得到。

考慮到脫靶量近似的服從高斯分布，則其概率密度分布函數可以表示為：

(2)

在攔截彈捕獲目標的時刻，攔截彈的末制導修正能力為ZI。則攔截彈對目標成功攔截的概率可以表示為：

(3)

利用標準高斯分布計算公式為：

(4)

1.3 攔截彈末段修正能力分析

考慮到末制導攔截時間較短，本文采用簡化的相對運動模型，假設攔截彈和來襲導彈在末制導段的相對運動為平面內的勻速直線運動，其運動過程可以表示為如圖2所示。

圖2 攔截彈和來襲彈的相對運動模型

則末制導段相對運動時間為：

(5)

式中，rg為攔截彈捕獲目標時，彈目的相對距離。VI和VA為該時刻攔截彈和來襲彈的速度。

本文選取的攔截彈參照SM-3攔截彈，動能戰(zhàn)斗部是MK142，在文獻[9]中給出SM-3攔截彈的比沖范圍是260～265 s，Leap的質量大約重16.7 kg，推進劑4.5 kg，Leap能夠實現的加速度為6 g具體參數如表2所示。

表2 攔截彈相關參數

燃料的燃燒時間可由裝藥質量(即推進劑質量)和燃料每秒的消耗量來表示：

(6)

(7)

其中，FA為平均推力。

文中選取主要參數如下：比沖280 s，機動加速度為5 g。 當末制導段相對運動時間小于燃燒時間，即tg

(8)

當末制導相對運動時間大于燃燒時間時，即tg>tr時，末制導修正能力為：

(9)

2 反導攔截模型分析

2.1 攔截過程分析

攔截彈碰撞攔截來襲導彈的過程發(fā)生在理論攔截點附近。在來襲導彈的理論攔截點建立一個坐標系，用一個球心與地心重合，理論攔截點到地心的距離長度作為半徑的均勻球面與理論攔截點相交。 坐標系的定義與北東坐標系類似，坐標系的坐標原點位于理論攔截點，x軸方向在理論攔截點水平面內指向正北方向，y軸方向為過理論攔截點的地心矢徑指向上方，z軸方向由右手定則確定。該坐標系可以稱之為攔截坐標系。如圖3所示

圖3 攔截坐標系示意圖

圖中h為理論攔截點的高度，OA為來襲導彈的發(fā)射點，T為來襲導彈的落點。假設理論攔截點所在的球面上的經度為CL,緯度為BL。

來襲導彈在理論攔截點的位置矢量為TA=(xa,ya,za)則攔截點的經緯度可以用向量夾角求得。地心坐標系的Z軸方向矢量表示為Z=(0,0,1)，則理論攔截點的緯度為：

(10)

來襲導彈在理論攔截點的位置矢量，在地心坐標系xy平面的投影為TAxy=(xa,ya,0)，地心坐標系的X軸方向矢量表示為X=(1,0,0)則理論攔截點的經度為：

(11)

地心坐標系到攔截坐標系的關系如圖4為：

圖4 地心坐標系到攔截坐標系轉換關系

地心坐標系到攔截坐標系的轉換矩陣，可以由地心坐標系經三次基元轉動而成[10]，

LEL=M2(-π/2)M1(BL)M3(-π/2+CL)

(12)

M3(ξ)表示繞z軸逆時針旋轉ξ角度值，表示為：

(13)

M2(η)表示繞y軸逆時針旋轉η角度值，表示為：

(14)

M1(ζ)表示繞x軸逆時針旋轉ζ角度值，表示為：

(15)

將其代入方程(10)整理得：

(16)

來襲導彈在理論攔截點的速度矢量為VA=(vxa,vya,vza)，則在攔截坐標系中的速度矢量為：VLA=LELVA。

同樣也可以用此方法計算得出攔截彈飛行至在理論攔截點時，在攔截坐標系下的速度大小和方向。

來襲導彈和攔截彈交匯在攔截點，所以在攔截過程當中，在攔截彈上建立的攔截坐標系和在來襲導彈攔截點上面建立的攔截坐標系重合。當來襲導彈的彈道軌跡確定時，若要在理論攔截點進行攔截，攔截彈必須到達攔截點高度，當在理論攔截點的攔截彈的速度大小是確定時，通過改變攔截點發(fā)射點可以改變攔截彈在理論攔截點的速度方位角，從而求得不同交匯角下的攔截概率值。

在改變不同的交匯角度時，相當于將攔截彈在攔截點下的速度矢量繞攔截坐標系的y軸進行旋轉。本文在進行攔截概率計算時，只考慮逆軌攔截情況，即在理論攔截點處來襲導彈的速度平面和攔截彈速度平面的夾角范圍為[π/2,3π/2]。

2.2 攔截彈發(fā)射諸元計算模型分析

本文將攔截彈的發(fā)射方位角A0,最大理論攻角α(亞聲速段攻角絕對值的最大值),從發(fā)射到理論攔截點的飛行時間t，作為發(fā)射諸元。當給定A0,α,t，可以在攔截彈的空間殺傷區(qū)內唯一確定一點。同樣在以攔截彈發(fā)射點為原點建立的坐標系中，給定Ac,lc,hc也可以唯一確定一點，AC為選擇的目標點在以發(fā)射點為原點建立的坐標系中與x軸正向的夾角，lC為目標點在地面的投影在地球表面距離發(fā)射點的距離，hC為目標點的高度。攔截彈在空間區(qū)域的殺傷區(qū)即為由(A0,α,t)到(Ac,lc,hc)的一對一映射。利用插值的方法對其進行逆運算求解。

將攔截彈在圖1中的空間殺傷區(qū)用一組同心球面進行劃分，每個球面上再進一步剖分。選擇同一個球面上與理論攔截點的方位角Ac，射程lc，高度hc彼此相鄰的9個軌跡點，形成一個類似于正方形的小面元，選擇與該球面相鄰的兩個球面，形成一共27個點的正方體，如圖5所示

圖5 球面上9點構成的微元

在計算求解的過程中選取適當的網格剖分精度，確保每個正方體微元有足夠小的尺寸。選定一個理論攔截點c=(Ac,lc,hc)，選擇正方體微元中與理論攔截點距離最近的一個網格點q=(AREF,lREF,hREF)作為參照點，當微元足夠小時，按二階泰勒展開有下列方程：

(17)

3 攔截概率的求解步驟

假設來襲導彈的彈道數據已知，依據攔截彈的最大攔截高度，由圖1可知攔截彈的攔截高度范圍在80～430 km，確定在來襲導彈的軌跡上面的在該高度范圍內的弧段為可攔截弧段。攔截點可能發(fā)生在可攔截弧段的任意一點。其求解步驟為：

1)選定某一可攔截弧段上面的點作為理論攔截點，依據方程(10)和(11)求解出理論攔截點處的經緯度。并將來襲導彈在理論攔截點處的位置速度矢量投影在攔截坐標系。

2)依據建立的攔截彈在空間中的殺傷區(qū)內選定在理論攔截點高度上可達到的可達集軌跡，在這些可達集軌跡點中選擇某一點作為理論攔截點，由此選出某一條符合條件的攔截彈軌跡。移動該攔截彈彈道軌跡，使其在理論攔截點處的點與來襲導彈的彈道軌跡上面的理論攔截點重合。

3)將攔截彈彈道軌跡繞攔截坐標系的y軸進行旋轉從而改變攔截彈和來襲目標的交匯角。如圖6所示。

圖6 攔截彈和來襲導彈在攔截點交匯示意圖

4)求解攔截彈發(fā)射點所在的經緯度和發(fā)射諸元參數。

在攔截彈的殺傷區(qū)內，假設選取理論攔截高度處一個點c=(Ac,lc,hc)，利用插值法，將選取的27個點代入公式(17)求得該點的發(fā)射諸元參數。

此點與攔截坐標系原點重合，在步驟1中根據求得的理論攔截點的經緯度坐標，確定一個攔截彈道和來襲彈道在理論攔截點的平面夾角θC。假設在理論攔截點時刻，來襲導彈的速度在攔截坐標系內的xz平面內的投影與x軸方向的夾角為θA。則攔截彈道平面與x軸方向的夾角為：

θI=θA+θC

(18)

計算攔截彈發(fā)射點在攔截坐標系下的位置坐標。其位置關系如圖7所示。

圖7 發(fā)射點與攔截點球面三角形

圖中OL為攔截點在地球表面的經緯度，OI為攔截彈發(fā)射點在地球表面的經緯度，lC為攔截彈發(fā)射點到攔截點在地面上的投影的距離。OI為攔截彈彈道平面與正北方向的夾角。θLI為發(fā)射點和攔截點的經度差。

利用球面三角形邊的余弦公式

(19)

求得發(fā)射點的緯度BI。在利用球面三角形的正弦公式：

(20)

求得發(fā)射點和攔截點的經度差，則發(fā)射點的緯度為：

CI=CL+θLI

(21)

通過求解的理論攔截點的發(fā)射諸元參數，可知攔截彈飛行至理論攔截點的時間為tI,來襲導彈飛行至理論攔截點的時刻為tL,則攔截彈的發(fā)射時刻為：

t0=tL-tF

(22)

在地心坐標系下建立來襲導彈相對于攔截彈的運動方程，攔截彈的位置矢量為：

WI=(wIx,wIy,wIz)，攔截彈速度為VI=(vIx,vIy,vIz)，來襲導彈的位置矢量為：WA=(wAx,wAy,wAz)，來襲導彈的速度為VA=(vAx,vAy,vAz)。則彈目相對距離為：

(23)

相對速度為：

(24)

相對距離：

(25)

當彈目距離為L時，攔截彈捕獲目標，并根據目標狀態(tài)進行采用理想比例導引進行修正。

在攔截過程中，視線方向為攔截彈質心到來襲導彈的質心的矢量，則視線法向的相對速度為：

(26)

攔截彈捕獲目標的初始時刻，攔截彈和來襲導彈的位置和速度在攔截坐標系上的3個分量誤差均服從高斯分布。利用公式(1)～(4)求解出在該交匯角度下的在理論攔截點處的攔截概率。

4 仿真結果及分析

在攔截器捕獲目標的初始時刻，攔截器和目標的位置速度由理論彈道值和誤差值的和，在該時刻都是服從標準高斯分布的誤差。假設位置差的任意方向的誤差為r～N(0,1 000m)，速度任意方向的誤差為v～N(0,10m/s)。

在可攔截弧段上選取h=100 km，h=200 km，h=300 km，兩個速度平面夾角從90°到270°時，攔截概率的變化值如圖8所示。

圖8 攔截概率隨速度平面交匯角的變化

由圖可知在攔截概率在速度平面夾角為從90°到180°再到270°時，攔截概率先降低后升高，在180°時攔截概率最低。碰撞交匯角對攔截概率的影響最大為0.15左右。

在殺傷區(qū)內的同一攔截高度處可以有很多個攔截點，這些攔截點可以由距離攔截彈的地表距離決定，攔截概率隨著地表距離的變化如圖9所示。

圖9 攔截概率隨據發(fā)射點地表距離的變化

由圖可知攔截概率距離發(fā)射點越遠攔截概率越高。由圖8至圖9可以看出攔截概率隨著攔截高度的增加而減少。攔截高度作為單一變量對攔截概率影響如圖10所示。

圖10 攔截概率隨著攔截高度的變化

5 結論

針對反導武器在殺傷區(qū)內的攔截概率問題，在假定來襲彈道軌跡確定的情況下，通過在攔截彈殺傷區(qū)內選取在不同高度，不同地表弧段距離的攔截點，在不同交匯角下的攔截概率值，可以得出以下結論：

1)當交匯角為單一變量時，攔截概率隨著交匯角的增加而降低。

2)當攔截高度為單一變量時，攔截概率隨著高度的增加而增加，即在越高的地方攔截概率越好。

3)當攔截點距發(fā)射點的地表距離為單一變量時，攔截概率隨著距離的增加而增加，即在距離發(fā)射點越遠的地方攔截越好。

上述3個變量成為影響殺傷區(qū)內攔截概率的主要因素，根據本文建立的模型，當來襲彈道數據和上述3個變量都已知時，可以對攔截概率進行相應的計算。將攔截概率與理論攔截點在殺傷區(qū)內的位置關系對應起來，為反導作戰(zhàn)和部署提供一定的參考。

另外本文中采用簡化的末制導相對運動模型，攔截過程和實際有一定的差距，并且攔截成功與否還與多方面因素相關，若要得到高精度的攔截概率必須綜合考慮各方面因素。

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