“合并同類項(xiàng)”教學(xué)設(shè)計(jì)

（東北師范大學(xué)附屬中學(xué)）

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

同類項(xiàng)的概念、合并同類項(xiàng)的法則.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是華東師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第三章第四節(jié)“整式的加減”的第1課時(shí)，是在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了有理數(shù)及其運(yùn)算、代數(shù)式的概念、整式的概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究整式的加減運(yùn)算的第一步.

整式的加減運(yùn)算是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中最基本的運(yùn)算，它是學(xué)生今后學(xué)習(xí)整式乘除、因式分解、分式和根式運(yùn)算、方程，以及函數(shù)等知識(shí)的重要基礎(chǔ)，而同類項(xiàng)及合并同類項(xiàng)的法則是學(xué)習(xí)整式加減運(yùn)算的基礎(chǔ).整式的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算具有一致性，由于整式中的字母表示數(shù)，因此數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律在式的運(yùn)算中仍然成立.本節(jié)課由數(shù)的運(yùn)算出發(fā)，通過(guò)類比研究，得出同類項(xiàng)的概念、合并同類項(xiàng)的法則，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)式通性，為后續(xù)數(shù)與式的學(xué)習(xí)打開(kāi)思路，指明研究方法.由有背景的數(shù)字運(yùn)算，到抽象掉背景的數(shù)字運(yùn)算，再擴(kuò)充到式的運(yùn)算，這是代數(shù)發(fā)展的歷程，本節(jié)課將引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷這一歷程.

本節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)為同類項(xiàng)概念及同類項(xiàng)法則.學(xué)習(xí)難點(diǎn)為感受數(shù)式通性及類比、抽象方法.

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）理解同類項(xiàng)的概念；

（2）掌握合并同類項(xiàng)的方法；

（3）經(jīng)歷通過(guò)抽象、類比數(shù)的運(yùn)算探究合并同類項(xiàng)法則的過(guò)程，從中體會(huì)數(shù)式通性和類比的方法．

2.目標(biāo)解析

同類項(xiàng)的概念是判斷同類項(xiàng)的依據(jù)，所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同是同類項(xiàng)的本質(zhì)特征.

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是學(xué)生會(huì)用概念判斷同類項(xiàng)，會(huì)在一個(gè)多項(xiàng)式中找到同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)的依據(jù)是分配律，合并是指將同類項(xiàng)的系數(shù)相加所得的結(jié)果作為結(jié)果項(xiàng)的系數(shù)，保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變；達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是能準(zhǔn)確合并同類項(xiàng)，能通過(guò)合并同類項(xiàng)進(jìn)行多項(xiàng)式的化簡(jiǎn).

目標(biāo)（3）是本節(jié)課所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.學(xué)生將經(jīng)歷由實(shí)物到數(shù)的抽象、由數(shù)的運(yùn)算到整式加減的擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)數(shù)與式的運(yùn)算是統(tǒng)一的，其并不是孤立的.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

由于七年級(jí)學(xué)生的抽象概括能力和知識(shí)遷移能力還有待提高，故在教學(xué)時(shí)會(huì)遇到以下問(wèn)題.

問(wèn)題1：由數(shù)到式的轉(zhuǎn)換需要一個(gè)過(guò)程，學(xué)生往往會(huì)將之前數(shù)的知識(shí)與整式的知識(shí)孤立起來(lái)，不對(duì)二者進(jìn)行類比.

問(wèn)題2：不能真正理解數(shù)式通性的意義，不知道該怎么運(yùn)用數(shù)式通性.

問(wèn)題3：在判斷同類項(xiàng)時(shí)，對(duì)“字母相同，但順序不同”和“字母相同，但指數(shù)不同”的兩類問(wèn)題產(chǎn)生疑問(wèn).

在教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從最基本的數(shù)的運(yùn)算開(kāi)始分析，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算原理，從而類比到同類項(xiàng)的合并，體會(huì)數(shù)與式運(yùn)算原理的一致性，便于學(xué)生進(jìn)行數(shù)與式的類比，進(jìn)而解決問(wèn)題1和問(wèn)題2.

在歸納得出同類項(xiàng)的概念后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念辨析所給例子是否是同類項(xiàng).由于字母表示數(shù)，字母與數(shù)字作用相同，字母可以像數(shù)一樣參與運(yùn)算，因此數(shù)的運(yùn)算律對(duì)字母同樣適用，引導(dǎo)學(xué)生使用結(jié)合律概念來(lái)辨析，進(jìn)而解決問(wèn)題3.

四、教學(xué)支持條件分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是東北師范大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)的學(xué)生.在本節(jié)課教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)的運(yùn)算，了解了用字母表示數(shù)的意義，掌握了整式的概念.根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和授課對(duì)象的特點(diǎn)，課上將進(jìn)行黑板和多媒體的結(jié)合使用，這樣既能展示整個(gè)研究過(guò)程，將重點(diǎn)內(nèi)容在黑板上突出、留存，又能有效節(jié)省課堂時(shí)間、提高課堂效率.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.由實(shí)物到數(shù)的抽象

問(wèn)題1：1個(gè)蘋果和1個(gè)梨，能相加嗎？1個(gè)水果和1個(gè)水果呢？

師生活動(dòng)：在學(xué)生發(fā)表看法后，教師進(jìn)行總結(jié)：1個(gè)蘋果和1個(gè)梨的物理屬性不同，一個(gè)是蘋果，一個(gè)是梨，所以不能合并相加；1個(gè)水果和1個(gè)水果的物理屬性統(tǒng)一，所以可以合并相加.由此可以看出物理屬性是否相同的重要性.

【設(shè)計(jì)意圖】在實(shí)際問(wèn)題中，不同類別的實(shí)物無(wú)法合并.此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖在于讓學(xué)生體會(huì)實(shí)物歸類的前提為物理屬性相同，為分析數(shù)量的運(yùn)算做好鋪墊.

師生活動(dòng)：在學(xué)生充分發(fā)表看法后，教師進(jìn)行總結(jié)：數(shù)量的本質(zhì)應(yīng)當(dāng)是多與少，要衡量數(shù)量的多少需要一個(gè)公共單位作為橋梁，類似于問(wèn)題1中的物理屬性.整數(shù)運(yùn)算時(shí)這個(gè)公共單位是1；進(jìn)行的運(yùn)算時(shí)，這個(gè)公共單位是運(yùn)用分配律計(jì)算51×99-49×99時(shí)，公共單位是99.

【設(shè)計(jì)意圖】真正的知識(shí)來(lái)源于感性的經(jīng)驗(yàn)，是通過(guò)直觀和抽象而得到的.此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖在于讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)是存在公共單位作為橋梁，這與實(shí)際問(wèn)題是相通的，數(shù)量的運(yùn)算抽象于實(shí)際生活，但是更具有普適性，這將為由數(shù)推廣到整式做好鋪墊.

問(wèn)題3：有理數(shù)能夠運(yùn)算的基礎(chǔ)是什么？

師生共同總結(jié)，得出數(shù)能夠運(yùn)算的基礎(chǔ)是存在一個(gè)公共單位作為橋梁，不同的運(yùn)算，選取的公共單位可能不同（以后可以擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，包括無(wú)理數(shù)的運(yùn)算、虛數(shù)的運(yùn)算）.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納思考的結(jié)果，讓規(guī)律更加明晰.

2.由數(shù)到整式的擴(kuò)充

問(wèn)題4：用一個(gè)或幾個(gè)字母替換下列算式中的數(shù)，構(gòu)成新的算式，并將你認(rèn)為可以合并的項(xiàng)合并.

51×99-49×99.

師生活動(dòng)：學(xué)生到黑板上展示自己的成果，并闡述可以合并或不可以合并的理由，教師給予適當(dāng)點(diǎn)評(píng).

【設(shè)計(jì)意圖】充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生在嘗試用不同字母替換數(shù)字的過(guò)程中體會(huì)哪些項(xiàng)可以合并，哪些項(xiàng)不可以合并，可以合并的基礎(chǔ)是什么，初步體會(huì)同類項(xiàng)的特征.另外，這個(gè)探究還有驗(yàn)證合并是否正確的作用.

教師追問(wèn)：拋開(kāi)這個(gè)算式，你能再列舉一些能夠合并或者不能合并的單項(xiàng)式嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生繼續(xù)舉例，教師給予適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，并鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出設(shè)想，列舉出更復(fù)雜的單項(xiàng)式，同時(shí)兼顧正例與反例.

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出設(shè)想，讓初步形成的同類項(xiàng)的特征更加清晰.

3.反復(fù)推敲，總結(jié)收獲

問(wèn)題5：整式中的項(xiàng)能夠合并的條件是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生充分發(fā)表看法后，教師進(jìn)行歸納，并給出同類項(xiàng)的定義——所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，含幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng).以及合并同類項(xiàng)的定義——把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).

問(wèn)題6：通過(guò)化簡(jiǎn)上述多項(xiàng)式，你能從中得出合并同類項(xiàng)的方法嗎？

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)，得出合并同類項(xiàng)法則——合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)算理的理解、辨析，逐層歸納并總結(jié)同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的定義，以及合并同類項(xiàng)的法則.

4.學(xué)以致用，應(yīng)用新知

練習(xí)1：判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.

（1）3x與3xm是同類項(xiàng)； （ ）

（2）2ab與-ab是同類項(xiàng)； （ ）

（3）2yx2與3x2y是同類項(xiàng)； （ ）

（4）3ab2與3ab2c是同類項(xiàng)； （ ）

（5）32與23是同類項(xiàng). （ ）

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生用概念辨析同類項(xiàng)，進(jìn)一步鞏固同類項(xiàng)的概念.

練習(xí)2：找出下列多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)，并進(jìn)行合并.

3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的過(guò)程，并總結(jié)出易錯(cuò)點(diǎn)和解決辦法.

練習(xí)3：合并下列各式中的同類項(xiàng).

（2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2；

（3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2.

交流一下：你是怎么做到又快又準(zhǔn)地合并同類項(xiàng)的？

師生活動(dòng)：學(xué)生到黑板上展示自己的計(jì)算方法，教師給予適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，并鼓勵(lì)學(xué)生大膽展示自己的方法.

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固合并同類項(xiàng)法則，讓學(xué)生展示自己認(rèn)為好的計(jì)算方法，以便相互取長(zhǎng)補(bǔ)短，同時(shí)也讓進(jìn)行展示的學(xué)生體會(huì)到成就感.

5.課堂總結(jié)

問(wèn)題7：總結(jié)一下，本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)，運(yùn)用了哪些方法？

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)，得出本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)和研究方法，得出實(shí)物的歸類合并與數(shù)字運(yùn)算是相通的，數(shù)字運(yùn)算與整式的運(yùn)算是相通的.數(shù)與式的運(yùn)算是統(tǒng)一的.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和方法兩個(gè)角度總結(jié)所得.在梳理、強(qiáng)調(diào)本節(jié)所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也使學(xué)生感受抽象、類比的研究方法.

6.布置作業(yè)

教材第105頁(yè)練習(xí)題第2題.

目標(biāo)檢測(cè).

（1）下列各組中的兩項(xiàng)，屬于同類項(xiàng)的是（ ）.

（A）x2與x（B）-0.3xy與

（C）x2y與xy2（D）x與y

（2）若單項(xiàng)式-3am+1b2與單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，則m=________，n=________.

【設(shè)計(jì)意圖】第（1）（2）兩題檢測(cè)學(xué)生對(duì)同類項(xiàng)概念的理解與運(yùn)用.

（3）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）.

（A）3a+2b=5ab（B）3a2b-3ba2=0

（C）2x3+3x2=5x5（D）5y2-4y2=1

（4）化簡(jiǎn)下列各式.

①-m+0.5m+1.5m；

②7a+3a2-2a-a2+3；

③3m2-2mn-n2+5mn；

④3x3-3x2-y2+5y+x2-5y+y2.

【設(shè)計(jì)意圖】第（3）（4）兩題檢測(cè)學(xué)生對(duì)運(yùn)用合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的掌握情況.

六、教學(xué)反思

公共單位、數(shù)與代數(shù)這一知識(shí)模塊，是初中數(shù)學(xué)的基石，對(duì)高中數(shù)學(xué)也有一定的輻射作用.在教學(xué)過(guò)程中，筆者一直在思考數(shù)與式的運(yùn)算在算理方面有哪些相通之處，后來(lái)筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)與式運(yùn)算的統(tǒng)一之處就在于它們都存在一個(gè)類似的橋梁，為了便于學(xué)生理解這一橋梁的存在，暫時(shí)稱這一橋梁為公共單位，這并不是專有的數(shù)學(xué)名詞.在準(zhǔn)備這節(jié)課的時(shí)候，筆者特意請(qǐng)教了東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系博士生導(dǎo)師高夯教授，并得到了他的指點(diǎn)，公共單位這一概念就是他提出來(lái)的.從課堂反映來(lái)看，學(xué)生理解了它的存在，達(dá)到了預(yù)期的目的.

有理數(shù)運(yùn)算的公共單位并不唯一，但是整式合并的公共單位是唯一的，二者類似，但又不完全一致.例如，這一運(yùn)算的公共單位可以是也可以是的公共單位只能是ab.對(duì)于這一點(diǎn)，筆者在課上并沒(méi)有讓學(xué)生有足夠的體會(huì)，這對(duì)于學(xué)生對(duì)同類項(xiàng)概念的建立可能會(huì)造成一定的障礙.

學(xué)生的探究活動(dòng)進(jìn)行得不充分，教師干預(yù)的痕跡明顯.例如，讓學(xué)生自由列舉可以合并的單項(xiàng)式或不可以合并的單項(xiàng)式這一環(huán)節(jié)，學(xué)生舉例并不充分，且沒(méi)有讓學(xué)生充分表達(dá)自己的看法，教師控制的痕跡明顯.

參考文獻(xiàn)：

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［3］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008.