王琦 張國(guó)志

摘?要：對(duì)于由最小路徑描述的含有備用元件的復(fù)雜系統(tǒng)，在子系統(tǒng)壽命服從形狀參數(shù)m已知的威布爾分布條件下，針對(duì)定數(shù)截尾樣本，運(yùn)用WCF方法，我們給出了由最小路徑矩陣表示的含備用元件的復(fù)雜系統(tǒng)的可靠度置信下限，同時(shí)此結(jié)論也適用于元件壽命服從指數(shù)分布的情形。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜系統(tǒng);備用元件;WCF方法;置信下限;最小路徑

DOI：10.15938/j.jhust.2018.06.026

中圖分類號(hào)： O213.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2018）06-0146-05

Abstract：In this paper?we study the complex system containing stand-by components and describe the minimal path.?Under the condition that the subsystem life obeys Weibull distribution with the m is given?for the sample of type-ΙΙ censoring?we give the lower confidence limits of reliability for the system by WCF method.?In addition?when the subsystem life obeys exponential distribution?this conclusion is still valid.

Keywords：complex systems; stand-by components; WCF method; lower confidence limits; minimal path

0?引?言

對(duì)于由多個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)，其可靠度置信下限的研究一直倍受國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。目前，對(duì)于特定系統(tǒng)置信下限研究的成果很多，對(duì)于串聯(lián)系統(tǒng)，Winterbottom（1974）[1]提出了W排序法及工程上廣泛使用的L-M法（Lindstrom和Madden法），鄭忠國(guó)等[2]研究了其漸近性質(zhì)，并提出了修正的L-M法[3]。Fang和Chen（1999）[4]對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行了研究。

對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的研究，通常是基于子系統(tǒng)的壽命樣本，而由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要得到其精確的置信下限是非常困難的。1979年，Winterbottom[5-6]在Cornish-Fisher[7-8]展開方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)James?G.S.?[9-10]提出的變量的累量的性質(zhì)，假定系統(tǒng)可靠度函數(shù)已知，給出了系統(tǒng)可靠度函數(shù)置信下限的漸近展開式，稱為WCF方法。閆霞，于丹，李國(guó)英[11]利用WCF方法的原理，對(duì)于參數(shù)估計(jì)量不獨(dú)立的參數(shù)函數(shù)的置信限進(jìn)行了研究，這一理論應(yīng)用到威布爾型元件和含有該類型元件的系統(tǒng)的可靠度評(píng)估上，文章對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)進(jìn)行了模擬研究。于丹[12]在子系統(tǒng)壽命服從單參數(shù)指數(shù)分布，樣本為定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，利用WCF方法對(duì)系統(tǒng)可靠度置信限進(jìn)行了研究，其結(jié)果適用于某特定的系統(tǒng)，并對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)，并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行了模擬。于丹等[13-14]在假設(shè)復(fù)雜系統(tǒng)可靠度函數(shù)已知且子系統(tǒng)具有不同的可靠度這一情況下，利用WCF方法獲得了系統(tǒng)可靠度的置信下限，該下限是由假定已知的可靠度函數(shù)來求得的，其中涉及很多復(fù)雜運(yùn)算。

然而對(duì)于基于最小路徑矩陣或最小割集矩陣表示的一般復(fù)雜系統(tǒng)僅有少量的研究成果。舒印[15]基于成敗型數(shù)據(jù)給出一般復(fù)雜系統(tǒng)在完全數(shù)據(jù)下的可靠度置信下限，廖春芳[16]給出不完全數(shù)據(jù)時(shí)子系統(tǒng)壽命服從指數(shù)分布的復(fù)雜系統(tǒng)可靠度置信下限。

對(duì)于含備用元件的這類復(fù)雜系統(tǒng)，其研究成果卻很少。威布爾分布又是壽命分布中較廣泛的一種常見分布，它包含了指數(shù)分布。因此探求威布爾分布下含備用元件的復(fù)雜系統(tǒng)的可靠度置信下限，這是一個(gè)既有理論意義又有應(yīng)用價(jià)值的課題。張國(guó)志[17-20]對(duì)于最小路徑矩陣描述的復(fù)雜系統(tǒng)，給出了其可靠度函數(shù)的解析表達(dá)式。這為后續(xù)的研究工作奠定了基礎(chǔ)。

1?復(fù)雜系統(tǒng)的可靠度函數(shù)

首先引入文[17]的結(jié)論，在此以引理形式給出。

4?結(jié)?論

一般的復(fù)雜系統(tǒng)通常是由最小路徑矩陣或最小割集矩陣描述的。本文研究的系統(tǒng)是基于最小路徑矩陣描述，且子系統(tǒng)含有備用元件的復(fù)雜系統(tǒng)。在假各設(shè)子系統(tǒng)壽命服從形狀參數(shù)m已知，尺度參數(shù)不盡相同的威布爾分布及定數(shù)截尾樣本下，結(jié)合WCF方法給出該系統(tǒng)可靠度的置信下限的解析表達(dá)式。

此置信下限表達(dá)式的給出，既方便了理論研究，也便于實(shí)際應(yīng)用。對(duì)于元件壽命服從形狀參數(shù)m已知的威布爾分布的含備用元件的復(fù)雜系統(tǒng)，可以通過計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)：只要輸入系統(tǒng)的最小路徑矩陣及每個(gè)子系統(tǒng)的定數(shù)截尾壽命樣本，便可以得到系統(tǒng)可靠度置信下限，同時(shí)該結(jié)論也適用于元件壽命服從指數(shù)分布的情形。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]?WINTERBOTTOM A.?Lower Confidence Limits for Serial Systems Reliability from Binomial Subsystem Data.?JASA?1974（69）：782-788.

[2]?鄭忠國(guó)?蔣繼明.?L-M法置信下限的漸近性質(zhì).?應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)?1992?8（4）： 403-410.

[3]?鄭忠國(guó)?金華.?串聯(lián)系統(tǒng)可靠性的兩層數(shù)據(jù)虛擬系統(tǒng)法置信下限.?北京大學(xué)學(xué)報(bào)?1993，29（1）： 26-33.

[4]?FANG X?CHEN J.?A Method to Compute Confidence Limits with EM.?Research Report of School Mathmetical Sciences.?Peking： Peking University.

[5]?WINTERBOTTOM A.?Asymptotic Expansions to Improve Large Sample Confidence Intervals for System Reliability.?Biometrika?1980?67： 351-357.

[6]?WINTERBOTTOM A.?Cornish-fisher Expansions for Confidence Limits.?J R Statist Soc B，1979?41： 69-75.

[7]?FISHER R A?CORNISH E A.?The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants.?Technometrics?1960?2： 209-225.

[8]?CORNISH?E.A. FISHER?R.A.1937）.?Moments and Cumulants in the Specification of Distributions.?Int.?Statist.?Rev.5?307-322.

[9]?JAMES?G.S.（1955）.?Cumulants of a Transformed Variate.?Biometrika 42?529-31.

[10]JAMES?G.S.??MAYNE?A.J.（1962）.?Cumulants of Functions of Random Variables.?Sankhya A24?47-54.

[11]閆霞?于丹?李國(guó)英.?求參數(shù)函數(shù)置信限的一般性WCF方法及其應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)?2007?27A（2）： 229-239.

[12]于丹?趙勇輝?薛宏旗. 指數(shù)壽命定時(shí)截尾數(shù)據(jù)下可靠度的置信限[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)?1999?19（2）： 240-245.

[13]于丹?戴樹森. 復(fù)雜系統(tǒng)可靠性綜合評(píng)估方法研究?研究報(bào)告?中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所?1996.

[14]于丹.?復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析中的若干統(tǒng)計(jì)問題與進(jìn)展[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)?2007，27（1）： 68-81.

[15]舒印?張國(guó)志.?基于最小路徑的復(fù)雜系統(tǒng)可靠度置信下限的研究[J]. 哈爾濱： 哈爾濱理工大學(xué)?2012： 12-31.

[16]廖春芳?張國(guó)志.?不完全數(shù)據(jù)下復(fù)雜系統(tǒng)可靠度置信下限的研究[J]. 哈爾濱： 哈爾濱理工大學(xué)?2015： 1-33.

[17]張國(guó)志.?復(fù)雜系統(tǒng)可靠性研究[D]. 北京： 北京工業(yè)大學(xué)?2009： 19-60.

[18]張國(guó)志.?復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社?2009： 1-185.

[19]ZHANG Guozhi?LIU Di?KONG Fanliang?et al.?Expression and Algorithm Implementation of Reliability for Complex System.?Advances in Systems Science and Applications.?2008?8（3）： 421-429.

[20]ZHANG Guozhi，ZHAO Wenhui，KONG Fanliang，et al.Properties of Estimation of Distribution Function for Complex System.Advances in Systems Science and Applications.2008?8（4）： 667-674.

（編輯：關(guān)?毅）