初中數(shù)學(xué)絕對(duì)值問題探究

曹恒

【摘 要】初中生對(duì)絕對(duì)值問題的理解，常常不那么深入，往往是定義背得熟透了，一到回答問題或者寫作業(yè)的時(shí)候就老是犯錯(cuò)誤，只停留在死記硬背定義的層面，不能靈活運(yùn)用，我們首先對(duì)絕對(duì)值問題進(jìn)行深入講解，然后結(jié)合足夠例子的演講，以期能提供給初中數(shù)學(xué)老師參考，共同搞好初中數(shù)學(xué)教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】絕對(duì)值；正數(shù)；數(shù)軸；原點(diǎn)；距離

中圖分類號(hào)： G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）34-0240-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.34.099

如果一個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么它的絕對(duì)值就是它自己；如果一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么它的的絕對(duì)值就是它的相反數(shù)；如果一個(gè)數(shù)是零，那么它的絕對(duì)值就是零。即：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。這樣一來，任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)。

化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的式子，關(guān)鍵的地方是去絕對(duì)值符號(hào)，先根據(jù)所給的條件，確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)a的正負(fù)（即a>0，a<0還是a=0）。如果已知條件沒有給出其正負(fù)，應(yīng)該分類討論（即分別討論a>0，a<0和a=0的情形）。分類思想是數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想。

以下我們用具體例子來加以說明。

例l.x+1+x-1的最小值是（ ）。

A.2 B.0 C.1 D.-1

【分析】常規(guī)方法是去掉絕對(duì)值，分類討論，但我們還可從絕對(duì)值幾何意義入手。

【解法一】分類討論：

當(dāng)x<-1時(shí)，x+1+x-1=-（x+1）-（x-1）=-2x>2；

當(dāng)-1？燮x？燮1時(shí)，x+1+x-1=x+1-（x-1）=2；

當(dāng)x>l時(shí)，x+1+x-1=x+1+（x-1）=2x>2.

比較可知，x+1+x-1的最小值是2，選A。

【解法二】 由絕對(duì)值的幾何意義知，x-1表示數(shù)x所對(duì)應(yīng)昀點(diǎn)與數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；x+1表示數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；x+1+x-1的最小值是指到點(diǎn)1與點(diǎn)-1兩點(diǎn)之間距離之和的最小值，如圖1。

易知，當(dāng)-1？燮x？燮1時(shí)，x+1+x-1的值最小，最小值是2，故選A。

例2.若a+b+1與（a-b+1）互為相反數(shù)，則a與b的大小關(guān)系是（ ）。

A.a>b B.a=b C.a

【分析】互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，若這兩數(shù)均為非負(fù)數(shù)，則這兩數(shù)均為0。

【解法一】因?yàn)閍+b+1？叟0，（a-b+1）2？叟0，且a+b+1與（a-b+1）2互為相反數(shù)，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)：一個(gè)不大于0，另一個(gè)不小于0。

所以，即，解得。故a

【解法二】 由解法一知a-b+1=0，所以b=a+l，所以a

例3.下列選項(xiàng)中，（ ）的解集如圖2所示。

A.x-4<3 B.x-4>3 C.x+4<3 D.x+4>3

【分析】這是一道關(guān)于數(shù)形結(jié)合的絕對(duì)值問題，應(yīng)考慮絕對(duì)值的幾何意義：x-4表示在數(shù)軸上點(diǎn)x離開點(diǎn)4的距離。

【解】 對(duì)于A有17或x<1；對(duì)于C有-7-l或x<-7，所以選C。

【探密】1.解絕對(duì)值問題常與數(shù)軸緊密相連.若能理解絕對(duì)值的幾何意義和數(shù)軸間的關(guān)系，本題求解就會(huì)得心應(yīng)手了。

2.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問題的常用技巧，主要包括：①數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)的正負(fù)性；②數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

例4.如果m-3+（n+2）=0，則方程3mx+1=x+n的解是____。

【分析】 想辦法先去絕對(duì)值，再解方程。

【解】 由絕對(duì)值的性質(zhì)，得m-3？叟0，又（n+2）2？叟0.所以m-3=0且n+2=0，解得m=3，n=-2。于是，方程3mx+1=x+n轉(zhuǎn)化為9x+l=x-2，解得x=-。

【參考文獻(xiàn)】

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