黃 強(qiáng)

（廣州市從化區(qū)第四中學(xué)，廣東 廣州）

進(jìn)入高三復(fù)習(xí)的后期階段，學(xué)生要面臨為數(shù)不少的數(shù)學(xué)模擬測(cè)試，數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課自然成為高三數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要課型．有效的試卷講評(píng)，不僅能幫助學(xué)生糾正和鞏固自己知識(shí)結(jié)構(gòu)中的薄弱環(huán)節(jié)，而且對(duì)發(fā)展學(xué)生思維、激發(fā)求知欲、達(dá)到發(fā)展和完善學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)有重要意義．如何提高試卷講評(píng)的有效性，使學(xué)生學(xué)習(xí)效益最大，一直是廣大教師關(guān)注和研究的重要課題．本文在CPFS理論指導(dǎo)下，以數(shù)列為例，探索如何提高試卷講評(píng)效率．

一、CPFS結(jié)構(gòu)理論簡(jiǎn)介

關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，喻平、單墫教授在數(shù)學(xué)知識(shí)分類、表征的基礎(chǔ)上，提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)即CPFS結(jié)構(gòu)．CPFS結(jié)構(gòu)是概念域、概念系、命題域、命題系形成的心理結(jié)構(gòu)．其涵義為：（1）個(gè)體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).各知識(shí)點(diǎn)（概念、命題）在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中處于一定位置，知識(shí)點(diǎn)之間具有各種抽象關(guān)系，如等值抽象（等價(jià)）關(guān)系，或強(qiáng)抽象關(guān)系，或弱抽象關(guān)系，或廣義抽象關(guān)系.（2）由于網(wǎng)絡(luò)中知識(shí)點(diǎn)之間具有某種抽象關(guān)系，而這些抽象關(guān)系本身就蘊(yùn)涵著思維方法，因而網(wǎng)絡(luò)中各知識(shí)點(diǎn)之間的連線包含著數(shù)學(xué)方法.（3）CPFS結(jié)構(gòu)既包含了表征陳述性知識(shí)的圖式，又包括表征程序性知識(shí)的產(chǎn)生式系統(tǒng).

從CPFS結(jié)構(gòu)來(lái)看，概念域反映了對(duì)同一概念不同角度的描述，概念系則刻畫等價(jià)數(shù)學(xué)概念在頭腦中的貯存方式．命題域是一組等價(jià)命題的圖式，命題系是一個(gè)半等價(jià)命題網(wǎng)絡(luò)的圖式.命題域（系）精確地描述了數(shù)學(xué)命題及其關(guān)系在頭腦中的組織形式，因此，CPFS結(jié)構(gòu)更本質(zhì)地反映學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，是一種數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

二、數(shù)學(xué)試卷講評(píng)，需要做到“三備好”

為了提高試卷講評(píng)有效性，必須要做好講評(píng)前的備課工作．充分的準(zhǔn)備才能發(fā)揮好激勵(lì)、診斷、示范和強(qiáng)化作用，才能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高學(xué)習(xí)的積極性．

1.備好“考情”分析

我們知道一份數(shù)學(xué)試卷體現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)各方面的考查要求，因此在測(cè)試后，應(yīng)做好小題得分、大題得分和分?jǐn)?shù)段等數(shù)據(jù)、數(shù)表和圖表的統(tǒng)計(jì)，歸類分析學(xué)生是在哪個(gè)方面存在問(wèn)題，難易度如何，是否有共性問(wèn)題，同時(shí)也要做好草稿紙的回收和調(diào)查，分析學(xué)生在考試期間的思維走向.

2.備好“學(xué)情”分析

做好、做足考后與學(xué)生思想交流，了解學(xué)生在考試期間的心理狀況、解題習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法；了解學(xué)生智力和非智力因素對(duì)考試的影響.通過(guò)調(diào)查，做好錯(cuò)誤歸因，使講評(píng)更具有針對(duì)性和時(shí)效性.

3.備好“教法”選擇

通過(guò)調(diào)查學(xué)生答題情況和錯(cuò)因分析，策劃好講評(píng)的側(cè)重，能做到突出重點(diǎn)，以點(diǎn)帶面；能多練夯實(shí)，突破難點(diǎn)；能拾漏補(bǔ)遺，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)；能拓展應(yīng)用，舉一反三，最終發(fā)揮講評(píng)教學(xué)的最大效益，從而達(dá)到完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、發(fā)展思維、提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的效果.

三、概念題的講評(píng)，應(yīng)當(dāng)精心設(shè)問(wèn)，促進(jìn)對(duì)概念體系的建構(gòu)

在講評(píng)試卷時(shí)，學(xué)生最關(guān)心的是自己為什么錯(cuò)，導(dǎo)致錯(cuò)誤的主因往往是對(duì)概念理解不深入或不完善，因此教師不能簡(jiǎn)單地以題論題，不能簡(jiǎn)單復(fù)述概念的定義就認(rèn)為學(xué)生理解了概念，恰恰相反，講評(píng)的重心是引導(dǎo)學(xué)生如何理解概念.以CPFS理論觀點(diǎn)，對(duì)概念的理解是內(nèi)化了抽象邏輯關(guān)系，這種關(guān)系越多，理解就越深.對(duì)概念不理解，內(nèi)化知識(shí)聯(lián)系就少，或有缺失，在講評(píng)中可以設(shè)置問(wèn)題鏈來(lái)突出這種關(guān)系，示范解決問(wèn)題的思維過(guò)程，從而使學(xué)生在關(guān)系中深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，達(dá)到希伯特所說(shuō)的“數(shù)學(xué)被理解了”.

例1（2017年廣州調(diào)研題）已知數(shù)列 ｛an｝滿足a1+4a2+42a3+L+

（1）求數(shù)列 ｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）略.

4n-1an=，即an=，當(dāng) n=1所以

本題的得分率不高，反映學(xué)生沒(méi)有把握好怎樣認(rèn)識(shí)a1+4a2+.筆者認(rèn)為在講評(píng)中通過(guò)不斷設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生理解以下兩點(diǎn)：首先認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是研究數(shù)列 ｛4n-1an｝和 ｛Sn｝之間的關(guān)系；其次是要依據(jù)這個(gè)基本關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)從｛an｝研究 ｛Sn｝或從 ｛Sn｝研究 ｛an｝.

問(wèn)題 1：a1+4a2+42a3+L+4n-1an=左邊是什么？回答：前n項(xiàng)和.

問(wèn)題2：是數(shù)列 ｛an｝的前n項(xiàng)和嗎？回答：是數(shù)列 ｛4n-1an｝的前n項(xiàng)和.

問(wèn)題3：｛Sn｝是什么數(shù)列？回答：｛Sn｝是等差數(shù)列，通項(xiàng)公式是

問(wèn)題4：數(shù)列 ｛4n-1an｝與數(shù)列 ｛Sn｝有什么關(guān)系？回答：4n-1an=

問(wèn)題5：通過(guò)上述關(guān)系我們可以得到數(shù)列 ｛4n-1an｝的什么關(guān)系？回答：通項(xiàng)公式.

另外，對(duì)于an與Sn向哪個(gè)方向轉(zhuǎn)化，以不同角度分析，轉(zhuǎn)化方向就不同，解題的難易度也不同，因此在講評(píng)試題時(shí)，要讓學(xué)生細(xì)心審題，啟發(fā)學(xué)生一題多解，學(xué)會(huì)反思擇優(yōu)，從而完善概念系的建構(gòu)。

例2（2015年全國(guó)高考題）Sn為數(shù)列 ｛an｝的前n項(xiàng)和，已知an>0，an2+2an=4Sn+3.

（1）求 ｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）略.

解法 1因?yàn)閍n2+2an=4Sn+3，an-12+2an-1=4Sn-1+3，n≥2兩式相減得an2-an-12+2（an-an-1)=4an，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0.因?yàn)閍n>0，所以an-an-1=2，又因?yàn)閍12-2a1-3=0，解a1=-1（舍去），a1=3.

所以數(shù)列 ｛an｝是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式an=2n+1，（n∈N*）．

解法 2 因?yàn)閍n2+2an=4Sn+3，所以an2+2an+1=4Sn+4，即（an+1）2=4Sn+4．因?yàn)閍n>0，Sn>0，則1，即（，所以（，則，所以｝是等差數(shù)列．當(dāng)n=1 時(shí)，由a12+2a1=4a1+3，得a1=-1（舍去），a1=3，由，得Sn=n2+2n．

從而知：｛an｝是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式an=2n+1，（n∈N*）．

四、解題方法的講評(píng)，應(yīng)當(dāng)把握好上位概念，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的滲透

我們知道函數(shù)是數(shù)列的上位概念，數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列性質(zhì)是函數(shù)的基本性質(zhì)在數(shù)列上的反映，是特殊與一般的關(guān)系.在講評(píng)試卷時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生理解這種上下位關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)去解決數(shù)列中的問(wèn)題，促使知識(shí)的正遷移，達(dá)到通一法會(huì)一類的效果．

例3（2016年全國(guó)高考題）設(shè)Sn為等差數(shù)列 ｛an｝的前n項(xiàng)和，且a1=1，S7=28．記bn=［lgan］，其中［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如［0.9］=0，［lg99］=1．

（1）求b1，b11，b101；（2）求數(shù)列 ｛bn｝的前1000項(xiàng)和．

略解 （1）設(shè) ｛an｝的公差為d，S7=7a4=28，由a4=4得=1，an=a1+（n-1）d=n．所以b1=［lga1］=［lg1］=0，b11=［lga11］=［lg11］=1，b101=［lga101］=［lg101］=2．

略解 （2）記 ｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，則T1000=b1+b2+…+b1000=［lga1］+［lga2］+…+［lga1000］．

當(dāng) 0≤lgan<1 時(shí)，n=1，2，…，9；當(dāng) 1≤lgan<2 時(shí)，n=10，11，…，99；當(dāng) 2≤lgan<3 時(shí)，n=100，101，…，999，當(dāng) lgan=3 時(shí)，n=1000．

所以T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893．

本題中的函數(shù)觀點(diǎn)在兩個(gè)小問(wèn)中都起到了關(guān)鍵的認(rèn)識(shí)作用.在第1小問(wèn)中考查了學(xué)生當(dāng)序號(hào)n取1，11，101時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列項(xiàng)即函數(shù)值變化并不大，在直觀上可以使學(xué)生想象到隨著自變量n的變化，這個(gè)函數(shù)值變化非常平緩。在第1小問(wèn)三個(gè)函數(shù)值的啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生判斷該數(shù)列本質(zhì)是分段函數(shù)類型，從而對(duì)自變量在1至1000范圍進(jìn)行分類，最后得到T1000.

例4已知數(shù)列 ｛an｝的通項(xiàng)公式為求數(shù)列 ｛an｝中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

由于數(shù)列是特殊函數(shù)，用函數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題是通法．在評(píng)講中強(qiáng)化函數(shù)觀念的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的相通性和整體性，進(jìn)一步理解數(shù)列的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高．

五、命題類的講評(píng)，應(yīng)注重變式訓(xùn)練，展現(xiàn)命題之間的關(guān)系

由于數(shù)學(xué)具有系統(tǒng)性和嚴(yán)密性的特點(diǎn)，決定了知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系構(gòu)成是解決問(wèn)題的思維路徑，因此在講評(píng)試卷時(shí)，通過(guò)試題變式進(jìn)一步揭示這種數(shù)學(xué)抽象關(guān)系，幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)某一命題的命題域和命題系，讓學(xué)生在變中認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，掌握其方法，促進(jìn)思維發(fā)散，靈活運(yùn)用知識(shí)解答問(wèn)題的效果．對(duì)試題變式訓(xùn)練可按照等價(jià)或不等價(jià)變式進(jìn)行．等價(jià)變式，即命題本質(zhì)不變，形式變化，加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，促使學(xué)生對(duì)某一命題的命題域的建構(gòu)；不等價(jià)變式，即命題本質(zhì)變化，形式變化，可通過(guò)對(duì)命題之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)命題系的建構(gòu).

例5在數(shù)列 ｛an｝中，a1=1，且an+1=an+2，（n≥1），求 ｛an｝的通項(xiàng)公式.

變式1：在數(shù)列 ｛an｝中，a1=1，an+1=an+n，（n≥1），求 ｛an｝的通項(xiàng)公式.

變式2：數(shù)列 ｛an｝中，a1=1，an+1=an+3n，（n≥1），求 ｛an｝的通項(xiàng)公式.

變式3：若各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 ｛an｝，滿足a2n-（2an+1-1）an-2an+1=0，求 ｛an｝的通項(xiàng)公式.

變式 4：設(shè)Sn為數(shù)列 ｛an｝的前n項(xiàng)和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，求Sn.

變式1、2和3將原問(wèn)題中的條件進(jìn)行變式，這些變式保持原問(wèn)題的本質(zhì)特征及解決策略不變.變式4問(wèn)題本質(zhì)及形式都發(fā)生改變，難度加大，但這幾個(gè)問(wèn)題都具有相同點(diǎn)：在弄清an+1，an和Sn+1，Sn的關(guān)系基礎(chǔ)上，運(yùn)用累加或累乘法求出數(shù)列通項(xiàng)公式.

六、試卷講評(píng)，應(yīng)當(dāng)注重自主探究，以拓展學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的過(guò)程，要進(jìn)一步提高講評(píng)效果，讓思維多走一步，重在激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)參與熱情.CPFS理論認(rèn)為探究能力的一個(gè)重要部分是提出問(wèn)題的能力，這種能力體現(xiàn)在能夠用概括、歸納的方式提出問(wèn)題，或者用類比的方法提出問(wèn)題，或者在問(wèn)題解決的過(guò)程中提出問(wèn)題等等．例如筆者在講評(píng)例6時(shí)就把這道題放在探究3中完成知識(shí)的拓展.

例6（2015山東文19）已知數(shù)列 ｛an｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列｝的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列 ｛an｝的通項(xiàng)公式.

探究1：此題源于人教版必修5習(xí)題2.3的B組第4題.

探究2：已知等差數(shù)列 ｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n-1，（n∈N*），求數(shù)列｝的前n項(xiàng)和.

探究3：（2015山東文19）已知數(shù)列 ｛an｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列｝的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列 ｛an｝的通項(xiàng)公式.

探究4：已知各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列 ｛an｝，求證

探究5：已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列 ｛an｝，若有，求證 ｛an｝為等差數(shù)列.

這樣設(shè)計(jì)例6的講評(píng)，既可以使學(xué)生看到高考題源自課本教材，是例題和習(xí)題的推廣，又可以在探究過(guò)程中，鞏固裂項(xiàng)求和法，an與Sn的關(guān)系等解題策略的運(yùn)用，從而使學(xué)生的命題系得到更多的關(guān)聯(lián)，加深對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的理解.

因此教師在試卷評(píng)講中只要有可能，就鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生自己提出問(wèn)題，不局限在問(wèn)題如何去解，而是把問(wèn)題進(jìn)一步深化、推廣，達(dá)到思維延伸的效果，同時(shí)又要注重知識(shí)方法的回歸，達(dá)到理解加深，鞏固知識(shí)，熟練運(yùn)用技能，從而完善和發(fā)展CPFS結(jié)構(gòu).