張小強(qiáng)，張 琪，羅 濤，張蓉蓉*

(1.西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，成都610031；2.廣州鐵路集團(tuán)公司貨運(yùn)處，廣州510088)

0 引言

集裝箱運(yùn)輸在經(jīng)濟(jì)性和方便性方面的優(yōu)勢(shì)突出，是鐵路降低運(yùn)輸成本、提高運(yùn)作效率的有效方法之一.然而，相比于其他發(fā)達(dá)國(guó)家，我國(guó)鐵路集裝箱運(yùn)輸目前仍然處于落后階段，僅占鐵路總貨運(yùn)量的2%～3%.現(xiàn)行的鐵路集裝箱定價(jià)方法仍存在一定的不足，例如沒(méi)有根據(jù)市場(chǎng)需求進(jìn)行及時(shí)反應(yīng)，而損失了部分貨源，尤其是在鐵路運(yùn)價(jià)逐步放開的大環(huán)境下，原有的定價(jià)方法更加缺乏競(jìng)爭(zhēng)力.為了提高鐵路集裝箱貨運(yùn)的競(jìng)爭(zhēng)力，增大鐵路的收益，尋求更為科學(xué)合理的定價(jià)方案是必要的.

動(dòng)態(tài)定價(jià)作為企業(yè)提高收益能力的一種重要管理工具，在國(guó)內(nèi)外航空運(yùn)輸、鐵路客運(yùn)領(lǐng)域的研究和應(yīng)用已較為成熟.Levin[1]采用期權(quán)理論，假設(shè)售票公司向客戶銷售有期權(quán)的產(chǎn)品，并建立了離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型.李豪等[2]首先研究了兩種相同易逝品在兩個(gè)零售商競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下考慮客戶策略行為的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，并將模型拓展到考慮顧客分類和庫(kù)存控制的情況.關(guān)于集裝箱貨運(yùn)定價(jià)的研究，目前多數(shù)應(yīng)用在海洋運(yùn)輸和多式聯(lián)運(yùn)當(dāng)中，Rajkovic[3]建立了使海運(yùn)集裝箱運(yùn)輸成本和運(yùn)輸時(shí)間最小的多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型，并提供最佳的運(yùn)輸路線.劉迪等[4]從單起訖點(diǎn)著手，研究了隨機(jī)需求下海鐵聯(lián)運(yùn)的集裝箱動(dòng)態(tài)定價(jià)，建立對(duì)協(xié)議銷售進(jìn)行艙位控制的同時(shí)對(duì)自由銷售進(jìn)行動(dòng)態(tài)定價(jià)的兩階段模型.

關(guān)于批量訂購(gòu)的研究，李根道等[5]分別提出了完全信息下，考慮需求學(xué)習(xí)的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，并將模型拓展到考慮批量購(gòu)買的情況.Zhang Xiaoqiang等[6]為了降低團(tuán)體旅客的流失率從而提高列車的期望收益，建立了考慮團(tuán)體旅客的高速鐵路客運(yùn)動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，并計(jì)算出使鐵路收益最大的團(tuán)體旅客最優(yōu)折扣.這兩篇文獻(xiàn)是從易逝品銷售及高鐵客運(yùn)角度研究的，目前研究集裝箱批量訂購(gòu)的定價(jià)問(wèn)題者較少.

綜合當(dāng)前研究的不足，本文針對(duì)鐵路集裝箱批量訂購(gòu)問(wèn)題，建立了考慮批量訂購(gòu)的鐵路集裝箱動(dòng)態(tài)定價(jià)模型.該模型能夠優(yōu)化客戶訂購(gòu)不同數(shù)量艙位時(shí)的最優(yōu)價(jià)格，使得鐵路運(yùn)營(yíng)企業(yè)收益最大化.

1 構(gòu)建模型

1.1 問(wèn)題描述

(1)提前T時(shí)刻開始出售某趟貨運(yùn)列車的集裝箱艙位，預(yù)售艙位數(shù)量為C，出售的艙位按標(biāo)準(zhǔn)TEU(Twenty-foot Equivalent Unit)集裝箱.

(2)根據(jù)客戶一次訂購(gòu)的集裝箱艙位數(shù)將對(duì)應(yīng)的訂購(gòu)價(jià)格劃分成不同等級(jí).

(3)客戶需求到達(dá)，并以一定的概率訂購(gòu)j個(gè)艙位.

(4)客戶在不同時(shí)間到達(dá)鐵路系統(tǒng)并訂購(gòu)j個(gè)艙位的概率服從獨(dú)立同分布.

(5)不考慮超訂、退訂的情況.

1.2 符號(hào)說(shuō)明

j——客戶訂購(gòu)的集裝箱艙位數(shù)；

i——運(yùn)價(jià)的等級(jí)，運(yùn)價(jià)共分為I={1 ,2,…,n}等級(jí)；

Ji——i等級(jí)運(yùn)價(jià)下的客戶訂艙數(shù)；

p——每個(gè)TEU艙位出售的基準(zhǔn)價(jià)；

W——折扣集合其中每一個(gè)ωl代表一個(gè)折扣；

ωi——第i等級(jí)運(yùn)價(jià)可以接受的折扣，且ωi∈W；

Pj——客戶訂購(gòu)j個(gè)集裝箱艙位的概率，服從泊松分布；

V(t,k)——t時(shí)刻，剩余艙位為k時(shí)鐵路的期望收益.

1.3 建立模型

根據(jù)方程max[V(t-1,k-j)+pi'j,V(t-1,k)]確定鐵路是否接受折扣集合中的各個(gè)折扣.當(dāng)t=T時(shí)刻，表示鐵路開始銷售集裝箱艙位，當(dāng)t=0時(shí)刻，表示列車開行.該方程第1項(xiàng)表示在t-1時(shí)刻，鐵路以價(jià)格pi'售出j個(gè)艙位的期望總收益，此時(shí)剩余艙位為k-j；第2項(xiàng)表示在t-1時(shí)刻，鐵路未出售任何艙位的期望總收益，此時(shí)剩余艙位仍為k；只有當(dāng)售出時(shí)的期望總收益大于未售出時(shí)的期望總收益時(shí)，決策者才愿意出售集裝箱艙位.進(jìn)而，客戶愿意以價(jià)格pi'訂購(gòu)艙位的概率為F(pi')，則對(duì)應(yīng)的期望收益為F(pi')max[V(t-1,k-j)+pi'j,V(t-1,k)]；而 不 愿意以價(jià)格pi'訂購(gòu)艙位的概率為1-F(pi')，則對(duì)應(yīng)的期望收益為[1 -F(pi')]V(t-1,k).進(jìn)而，客戶訂購(gòu)j個(gè)艙位的期望收益為而客戶未訂購(gòu)艙位的期望收益為P0V(t-1,k).為了實(shí)現(xiàn)鐵路收益最大化，從所有滿足以上條件的折扣中選擇使得期望收益最大的折扣作為最優(yōu)折扣進(jìn)行銷售.因此，鐵路在t時(shí)刻，剩余艙位為k時(shí)的期望總收益可以表示為

其中，式(3)表示所有價(jià)格等級(jí)下客戶訂購(gòu)集裝箱艙位數(shù)集合構(gòu)成了允許客戶訂購(gòu)集裝箱艙位數(shù)全集；式(4)表示任意兩個(gè)等級(jí)的允許訂購(gòu)艙位數(shù)不重復(fù).

參考Logit模型，給出了旅客的購(gòu)買概率模型為

式中：參數(shù)b為正數(shù)，表示客戶對(duì)于價(jià)格的敏感程度，當(dāng)b越大時(shí)表示客戶對(duì)價(jià)格越敏感；參數(shù)a=-p*b，其中p*可近似認(rèn)為市場(chǎng)價(jià)格.

1.4 求解過(guò)程

Step 1設(shè)置，給一次性最多訂購(gòu)艙位數(shù)Z賦值.

證明

Step 2將艙位預(yù)售期分為T個(gè)時(shí)刻，在每一個(gè)時(shí)刻t下進(jìn)行如下計(jì)算.

Step 3給k賦初始值，k=1.

Step 4t時(shí)刻客戶可能訂購(gòu)的集裝箱艙位數(shù)m=min(k,Z)，并根據(jù)該訂購(gòu)數(shù)量m確定運(yùn)價(jià)等級(jí)i.

Step 5從l=1開始循環(huán)，

將折扣集合W中的第l個(gè)值ωl賦給ωi，即ωi←ωl，計(jì)算pi'=pωi.

根據(jù)價(jià)格pi'，按照式(1)計(jì)算期望收益V(t,k)，每次循環(huán)完執(zhí)行l(wèi)←l+1，直到l=L結(jié)束循環(huán).

Step 6選擇以上期望收益中最大的V(t,k)，并取對(duì)應(yīng)的ωl作為本次優(yōu)化的最優(yōu)折扣.

Step 7執(zhí)行k←k+1，并重復(fù)Step4～Step7，計(jì)算每個(gè)k情況下的最大的期望收益V(t,k)及最優(yōu)折扣，直到k=K結(jié)束循環(huán).

通過(guò)以上步驟，可求解動(dòng)態(tài)定價(jià)下的最優(yōu)折扣價(jià)格，使得鐵路收益最大.

2 性能分析

2.1 最優(yōu)解性質(zhì)

當(dāng)p滿足關(guān)系式時(shí)，取得的p為最優(yōu)價(jià)格.

可將該方程簡(jiǎn)化為

因此可將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的最大值問(wèn)題.

對(duì)V(t,k)求二階導(dǎo)數(shù)得

所以，當(dāng)p滿足關(guān)系式時(shí)，取得的p為最優(yōu)價(jià)格，根據(jù)公式即可求出對(duì)應(yīng)的最優(yōu)折扣.

2.2 性能分析

性質(zhì)1期望收益是a的減函數(shù).

證明

對(duì)G(a)求一階導(dǎo)數(shù)，得

∴G'(a)＜0恒成立

∴期望收益是a的減函數(shù)

因?yàn)閍=-p*b，所以該性質(zhì)也可以等價(jià)為期望收益是市場(chǎng)價(jià)格的增函數(shù).

性質(zhì)2當(dāng)a+bp＞0時(shí)，期望收益V隨著b的增大而減??；當(dāng)a+bp=0時(shí)，期望收益V不變；當(dāng)a+bp＜0時(shí)，期望收益V隨著b的增大而增大.

證明

(1)當(dāng)a+bp＞0時(shí)，e-(a+bp)為減函數(shù).

即期望收益V隨著b的增大而減小.

(2)當(dāng)a+bp=0時(shí)

即期望收益V不變.

(3)當(dāng)a+bp＜0時(shí)，e-(a+bp)為增函數(shù).

即期望收益V隨著b的增大而增大.

通過(guò)最優(yōu)解條件可以在已知市場(chǎng)價(jià)格和客戶敏感性系數(shù)的情況下，對(duì)最優(yōu)價(jià)格和期望收益進(jìn)行估計(jì)，而根據(jù)性能分析的性質(zhì)，可以在市場(chǎng)價(jià)格和客戶敏感性變化時(shí)，對(duì)鐵路可獲得的期望收益進(jìn)行估計(jì)，從而優(yōu)化出最優(yōu)價(jià)格.

3 算例分析

大朗到大紅門的集裝箱直達(dá)班列，滿軸40輛車，每車可裝2個(gè)TEU，即列車預(yù)售艙位數(shù)C為80TEU.以整車出售，每個(gè)集裝箱艙位售價(jià)3萬(wàn)元.允許客戶對(duì)集裝箱艙位進(jìn)行批量訂購(gòu).為了對(duì)運(yùn)價(jià)進(jìn)行細(xì)分，鐵路按照客戶訂購(gòu)的集裝箱艙位數(shù)，將運(yùn)價(jià)分為不同的等級(jí)：將一次性訂購(gòu)1～10個(gè)集裝箱艙位數(shù)對(duì)應(yīng)的運(yùn)價(jià)，分為10個(gè)價(jià)格等級(jí)，即一次性訂購(gòu)1個(gè)集裝箱艙位對(duì)應(yīng)的價(jià)格設(shè)為第1級(jí)價(jià)格，以此類推.由于客戶一次性訂購(gòu)超過(guò)10個(gè)集裝箱艙位的情況為小概率事件，因此本文未將其作為主要研究對(duì)象，并將一次性訂購(gòu)10個(gè)以上集裝箱艙位情況下的價(jià)格按照一次性訂購(gòu)10個(gè)的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)化.客戶到達(dá)鐵路并訂購(gòu)j個(gè)集裝箱艙位的概率服從λ=1.5的泊松分布.客戶訂購(gòu)集裝箱艙位的購(gòu)買概率分布函數(shù)的參數(shù)a、b的取值如表1所示.

表1 購(gòu)買概率的參數(shù)取值Table 1 The parameter of purchase probability

3.1 結(jié)果分析

通過(guò)動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，優(yōu)化得出的在不同時(shí)刻訂購(gòu)不同數(shù)量的集裝箱艙位時(shí)，使收益最大的最優(yōu)折扣如圖1所示.

圖1 訂購(gòu)集裝箱艙位的最優(yōu)折扣圖Fig.1 Optimal discount of ordering containers

圖1為等高線圖，取圖中的點(diǎn)及其灰度，并對(duì)比右側(cè)色條，即可知該處對(duì)應(yīng)的最優(yōu)折扣.圖中下部黑色區(qū)域表示未滿足該等級(jí)價(jià)格下客戶的訂購(gòu)需求時(shí)，未對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，即第10等級(jí)運(yùn)價(jià)要求客戶預(yù)定10個(gè)艙位，當(dāng)艙位數(shù)k小于10時(shí)，不滿足客戶享受第10等級(jí)運(yùn)價(jià)的訂購(gòu)要求，因此不對(duì)此種情況進(jìn)行優(yōu)化.從圖中可知，當(dāng)剩余時(shí)間相同時(shí)，剩余艙位越多，最優(yōu)折扣越低；當(dāng)剩余艙位數(shù)相同時(shí)，剩余時(shí)間越少，最優(yōu)折扣越低.同時(shí)，對(duì)比10張圖可以看出，單次訂購(gòu)的艙位數(shù)越多，能夠享受的折扣越大.通過(guò)以上結(jié)果可知，在不同時(shí)刻訂購(gòu)不同數(shù)量的集裝箱艙位時(shí)，能夠計(jì)算出滿足鐵路收益最大的最優(yōu)折扣價(jià)格，解決了鐵路貨運(yùn)定價(jià)無(wú)法根據(jù)市場(chǎng)變化做出反應(yīng)的問(wèn)題.

客戶需求到達(dá)鐵路系統(tǒng)時(shí)，訂購(gòu)數(shù)量已確定.根據(jù)廣鐵集團(tuán)實(shí)際的訂購(gòu)數(shù)據(jù)信息分析，需求到達(dá)服從λ=1.5的泊松分布.因此在這種情況下，鐵路系統(tǒng)接收的是確定性需求，可將模型簡(jiǎn)化為

式中：V(i)表示第i個(gè)集裝箱艙位訂購(gòu)需求到達(dá)時(shí)鐵路的期望收益.

在該種情況下，假設(shè)所有訂購(gòu)數(shù)量的情況都存在，根據(jù)模型優(yōu)化出的最優(yōu)折扣如圖2所示.

圖2 模擬實(shí)際訂購(gòu)需求的最優(yōu)折扣Fig.2 Optimal discount simulating the real order

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果可知，一次性訂購(gòu)的集裝箱艙位數(shù)越多，能夠享受的折扣越大.

根據(jù)訂購(gòu)需求到達(dá)服從的泊松分布，通過(guò)MATLAB模擬的客戶需求為].由于本問(wèn)題研究的是客戶需求到達(dá)鐵路系統(tǒng)并訂購(gòu)艙位的問(wèn)題，而隨機(jī)數(shù)中產(chǎn)生的0表示客戶需求未到達(dá)鐵路系統(tǒng)，因此將該種情況舍去.

按照購(gòu)買概率進(jìn)行求算，當(dāng)按照全價(jià)向客戶出售時(shí)，購(gòu)買概率如表2所示.

表2 按照全價(jià)出售時(shí)的購(gòu)買概率Table 2 Purchase probability according the whole price

按照表2的購(gòu)買概率及隨機(jī)模擬的訂單需求，可獲得的期望收益為1 109 600元.

根據(jù)模型可以求算出各個(gè)訂單對(duì)應(yīng)的最優(yōu)折扣，如圖3所示.

圖3 模擬實(shí)際訂購(gòu)需求的最優(yōu)折扣Fig.3 Optimal discount simulating the real order

通過(guò)模型求算可知，客戶訂購(gòu)1、2個(gè)集裝箱艙位時(shí)均不享受折扣優(yōu)惠，客戶訂購(gòu)3個(gè)集裝箱艙位時(shí)享受8.8折優(yōu)惠，客戶訂購(gòu)4個(gè)集裝箱艙位時(shí)享受7.9折優(yōu)惠，客戶訂購(gòu)5個(gè)集裝箱艙位時(shí)享受6.4折優(yōu)惠，在隨機(jī)生成訂單需求模擬實(shí)際訂購(gòu)情況下可獲得的最大期望收益為1 158 700元.由此可知，采用該模型優(yōu)化使得鐵路的收益提高了4.24%.

3.2 性能分析

以第4等級(jí)運(yùn)價(jià)為例，分別對(duì)該等級(jí)運(yùn)價(jià)情況下，購(gòu)買概率的參數(shù)a、b進(jìn)行性能分析.

(1)確定參數(shù)a不變.

確定參數(shù)a=-27 000×b不變，通過(guò)變化參數(shù)b得到不同的期望收益和最優(yōu)折扣，如圖4所示.

圖4 參數(shù)b變化時(shí)期望收益及最優(yōu)折扣變化圖Fig.4 Expected revenue and optimal discount when parameterbchanging

根據(jù)圖4可知，當(dāng)確定參數(shù)a不變時(shí)，隨著參數(shù)b的增加，反映出客戶的敏感性不斷提高，結(jié)果使最優(yōu)折扣從1.00逐漸降低到0.72，并且其下降速度逐漸減慢.對(duì)期望收益而言，當(dāng)滿足a+bp=0時(shí)，p=270 000，介于價(jià)格27 900和26 100之間，對(duì)應(yīng)b的取值在[0.000 07,0.000 08]之間，因此在此區(qū)域期望收益達(dá)到最低點(diǎn)，而在該區(qū)域左側(cè)，滿足a+bp＞0，期望收益不斷減小，在該區(qū)域右側(cè)，滿足a+bp＜0，期望收益不斷增加，均符合性質(zhì)2.

在實(shí)際情況中，當(dāng)客戶對(duì)于價(jià)格的敏感性提高時(shí)，鐵路可以通過(guò)適當(dāng)降價(jià)來(lái)提高收益，客戶的敏感性提高的越快，價(jià)格降低得應(yīng)該越慢.

(2)確定參數(shù)b不變.

確定參數(shù)b=0.000 15不變，通過(guò)變化參數(shù)a得到不同的期望收益和最優(yōu)折扣，如圖5所示.

圖5 參數(shù)a變化時(shí)期望收益及最優(yōu)折扣變化圖Fig.5 Expected revenue and optimal discount when parameterachanging

從圖5可以看出，隨著a的不斷增大，期望收益和最優(yōu)折扣都呈現(xiàn)比較均勻的減小，符合性質(zhì)1.

由于a=-p*b，且b確定不變，因此該性質(zhì)可以等效為，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格不斷減小時(shí)，期望收益不斷減少.

在實(shí)際情況中，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格減小的情況下，鐵路應(yīng)該適當(dāng)降低價(jià)格，以達(dá)到該市場(chǎng)價(jià)格下的最大收益，同理，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格提高的情況下，鐵路應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高價(jià)格，以達(dá)到該市場(chǎng)價(jià)格下的最大收益，并且價(jià)格的變化應(yīng)該參考市場(chǎng)價(jià)格的變化而均勻浮動(dòng).

4 結(jié)論

本文針對(duì)批量訂購(gòu)集裝箱艙位進(jìn)行研究，按照客戶一次性訂購(gòu)集裝箱艙位的數(shù)量，將對(duì)應(yīng)的運(yùn)價(jià)進(jìn)行等級(jí)細(xì)分.以大朗到大紅門的集裝箱班列為例，建立使得鐵路集裝箱貨運(yùn)期望收益最大的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，能夠求算出在不同時(shí)刻客戶需求到達(dá)鐵路并訂購(gòu)不同數(shù)量的集裝箱艙位時(shí)，能夠滿足鐵路期望收益最大的最優(yōu)折扣，并按照客戶訂購(gòu)j個(gè)艙位服從的概率分布隨機(jī)生成一組確定性需求，當(dāng)需求確定的情況下，為使鐵路收益最大，對(duì)客戶訂購(gòu)不同數(shù)量的集裝箱艙位應(yīng)采取的最優(yōu)折扣價(jià)格.最后，通過(guò)性能分析得出市場(chǎng)變化情況下，鐵路應(yīng)采取的策略：一方面，當(dāng)客戶對(duì)于價(jià)格的敏感性提高時(shí)，鐵路可以通過(guò)適當(dāng)降價(jià)來(lái)提高收益，客戶的敏感性提高的越快，價(jià)格降低得應(yīng)該越慢；另一方面，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格提高的情況下，鐵路應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高價(jià)格，反之亦然，并且價(jià)格的變化應(yīng)該參考市場(chǎng)價(jià)格的變化而均勻浮動(dòng).

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