數(shù)學(xué)中的一對(duì)“姐妹花”

江美紅

方程與不等式是初中數(shù)學(xué)中的一對(duì)“好姐妹”，她們是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要模型.在變化、規(guī)律、動(dòng)靜之中，兩個(gè)“好姐妹”既獨(dú)立又相互聯(lián)系，共同組成數(shù)與代數(shù)的核心內(nèi)容，也常受到中考的“青睞”，中考考查的試題往往圍繞這兩個(gè)核心知識(shí)的交匯處.

【課本原題】（蘇教版《數(shù)學(xué)》七下第141頁(yè)）

若關(guān)于x的方程x-（2x-a）=2的解為正數(shù)，求a的取值范圍.

【思路分析】方程的解為正數(shù)，即x>0，因此先求出方程中的x（用含a的代數(shù)式表示），再根據(jù)x>0列出不等式，確定a的取值范圍.

【解答】∵x-（2x-a）=2，

∴x=a-2，

∵x>0，∴a-2>0.

解得：a>2.

【演變過(guò)程】本題是由解一元一次方程直接演變而來(lái)，設(shè)計(jì)一個(gè)含參的一元一次方程，已知這個(gè)含參方程的解滿足的條件，從而確定方程中參數(shù)的值或取值范圍.

【考題在線】

變式1：（2017·宜賓）若關(guān)于x、y的二元一次方程組[x-y=2m+1，x+3y=3]的解滿足x+y>0，則m的取值范圍是 .

【思路分析】方程組的解滿足x+y>0，觀察方程組中x，y的系數(shù)，只需將兩個(gè)方程相加，用含m的代數(shù)式表示x+y，再列出不等式，確定m的取值范圍.

【解答】∵[x-y=2m+1， （1）x+3y=3， （2）]

∴（1）+（2）得：2x+2y=2m+4，

∴x+y=m+2.

∵x+y>0，∴m+2>0.

解得：∴m>-2.

【解后反思】本題考查了二元一次方程組與一元一次不等式，用含m的代數(shù)式表示x+y是解題之關(guān)鍵.題中給出的是含參的二元一次方程組，解含參的二元一次方程組是一個(gè)難點(diǎn).本題利用兩個(gè)方程相加，整體表示出x+y，巧妙地避開了這一難點(diǎn).

變式2：（2017·瀘州）若關(guān)于x的分式方程[x+mx-2]+[2m2-x]=3的解為正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

【思路分析】本題中的x滿足x>0且x≠2，故先解含參分式方程，再代入不等式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解答】∵[x+mx-2]+[2m2-x]=3，

∴x+m-2m=3（x-2），

解得：x=[6-m2].

∵x>0且x≠2，

∴[6-m2]>0且[6-m2]≠2，

解得：m<6且m≠2.

【解后反思】本題考查了含參分式方程的解法.分式方程的解為正數(shù)，除了滿足x>0，還應(yīng)考慮分式的分母不為0，即：x≠2，這是同學(xué)們很容易忽視的地方，值得重視.

變式3：（2017·太倉(cāng)暑假自主學(xué)習(xí)調(diào)研卷）已知a、b滿足3a+2b=1.

（1）若2a-b=10，求a、b的值；

（2）若b>2，求a的取值范圍；

（3）若a>0，b>0，且m=3a-2b，求m的取值范圍.

【思路分析】第（1）問(wèn)直接列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值；第（2）問(wèn)用含a的代數(shù)式表示b，代入不等式，求出a的取值范圍；第（3）問(wèn)根據(jù)a>0，b>0確定a的取值范圍，再用含a的代數(shù)式表示m，根據(jù)a的取值范圍，確定m的取值范圍.

【解答】（1）根據(jù)題意得：[3a+2b=1，2a-b=10，]

解得：[a=3，b=-4.]

∴a、b的值分別為3、-4.

（2）∵3a+2b=1，

∴b=[1-3a2].

∵b>2，

∴[1-3a2]>2，

∴a<-1.

（3）∵a>0，b>0，

∴[a>0，1-3a2>0，]

解得：0

∴m=3a-2b=3a-（1-3a）=6a-1，

∵0

∴-1

【解后反思】本題涉及二元一次方程組、一元一次不等式、一元一次不等式組等知識(shí)，涉及的重要思想方法是“轉(zhuǎn)化”，將二元轉(zhuǎn)化為一元.同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中要注重“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，提升將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力.

在中考復(fù)習(xí)中，我們要注重知識(shí)間的聯(lián)系，將方程（組）與不等式（組）知識(shí)有機(jī)結(jié)合，明白相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，強(qiáng)化訓(xùn)練綜合題型，提高綜合運(yùn)用能力，做到融會(huì)貫通.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）