蘇長(zhǎng)鑫

【摘要】 拉格朗日乘數(shù)法是高數(shù)的重要知識(shí)，各教材沒(méi)有給出證明，而目前看到的各種證明比較復(fù)雜難懂.本文利用方程公共解及曲面族的性質(zhì)，給出了簡(jiǎn)單易懂的證明，并對(duì)其幾何意義做出了解析.

【關(guān)鍵詞】 拉格朗日乘數(shù)法;公共解;簡(jiǎn)易證明;幾何意義

引理 ?曲面（線）π： F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0 ?在曲面族k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）…+kmFm（x1，x2，…，xn）=0上.

證明 ?對(duì)任意滿足方程組π的（x1，x2，…，xn），有Fi（x1，x2，…，xn）=0（i=1，2，…，m），

代入（1）得k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn）=k10+k20…+km0=0.

得證.

定理 ?（拉格朗日乘數(shù)法）在p0（x10x20…xn0）的某個(gè)鄰域有連續(xù)偏導(dǎo)的曲面（線）y=f（x1，x2，…，xn），

在p處取得滿足條件

F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0 ?（Fi在p的某個(gè)鄰域有連續(xù)偏導(dǎo)，m<n，且方程的秩為m）

下極值，則有

（1） F xi （p0）=0（i=1，2，…，n），

其中F=f（x1，x2，…，xn）+k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn），

其極值點(diǎn)滿足 F xi （p0）=0（i=1，2，…，n），

即 f xi （p0）+ki F1 xi （p0）+…+km Fm xi （p0）=0（i=1，2，…，m）.

（2）F的這個(gè)極值點(diǎn)p0為f的條件極值點(diǎn).

證明 ?設(shè)（x1，x2…，xn，y）為方程組

F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0，y-f（x1，x2，…，xn）=0 ?的解.

由引理，可知（x1，x2，…，xn，y）滿足方程

（f（x1，x2，…，xn）-y）+k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn）=0，

即滿足y=f（x1，x2，…，xn）+k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn）=F（x1，x2，…，xn）.

設(shè)這個(gè)函數(shù)F在

F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0 ?的空間解集（線或面）為D：? p Fi （p）=0 （i=1，2，…，m）中取得極值.

不妨設(shè)在p0（x10x20…xn0）處取得極大值F（p0），那么ΔF=F（p）-F（p0）≤0.

當(dāng)p→p0時(shí)，xi的增量Δxi→0，

當(dāng)Δxi→0-時(shí)，有 lim Δxi→0? ΔF Δxi ≥0，

當(dāng)Δxi→0+時(shí)，有 lim Δxi→0? ΔF Δxi ≤0，

故有當(dāng)Δxi→0時(shí)， lim Δxi→0? ΔF Δxi =0.

即 f xi +∑ m j=1 kj Fj xi =0（j=1，2，…，m;i=1，2，…，n）.

現(xiàn)在證明此F的極值F0=f（x10x20…xn0）為所求.

因?yàn)樵趐0取得極?。ù螅┲?，

所以，ΔF=F0-F≤0（≥0），

y=f（x1，x2，…，xn）

定義在 F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0 ?的解集D：? p Fi （p）=0 ?（i=1，2，…，m，m<n）.

在p0的某個(gè)鄰域內(nèi)，有Fi（x1，x2，…，xn）=0，

ΔF=f（x10，x20，…，xn0）+k1F2（x10，x20，…，xn0）+k2F2（x10，x20，…，xn0）+…+kmFm（x10，x20，…，xn0）-f（x1，x2，…，xn）-k1F2（x1，x2，…，xn）-k2F2（x1，x2，…，xn）-…-kmFm（x1，x2，…，xn）=f（x1，x2，…，xn）-f（x10，x20，…，xn0）=Δy.

由ΔF≤0（≥0）得Δy≤0（≥0），

即F（p0）=f（p0）為y=f（x1，x2，…，xn）

定義在 F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0 ?的解空間D：? p Fi （p）=0 ??（i=1，2，…，m，m<n）的極大（小）值.

證畢.

拉格朗日乘數(shù)法的幾何解釋：y=f（x1，x2，…，xn）為定義在n維空間上的函數(shù)，其圖像為n+1維度上的曲面.對(duì)y=f（x1，x2，…，xn），當(dāng)y=c時(shí)（c在y值域內(nèi)），c=f（x1，x2，…，xn）是平行于n維度定義空間的曲線（等高線）.曲面由不同高度的等高線組成.

因此，y=f（x1，x2，…，xn）可視為在n+1維空間上由一族不同等高線組成的圖形.

F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0

視為在平行定義空間（n維空間）的一條曲線G=0，在n+1維度空間是一個(gè)母線平行第n+1維y軸的柱面，它由一組平行定義空間的等高線 G=0，y=c ?組成.假設(shè)G=0與y=f（x1，x2，…，xn）不相交.將G=0上下平移，當(dāng)柱面與曲面y相交時(shí)，交線即是定義在

F1（x1，x2，…，xn）=0，F(xiàn)2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0

上的函數(shù).交線上的點(diǎn)既在y的某條等高線c=f（x1，x2，…，xn）上，又在柱面上.得到y(tǒng)=G+y0與某條等高線相切，則有共同的切線，因此有相同的梯度：

grad（y）=kgrad（G+y0），即grad（f）=kgrad（G）.

此時(shí)切點(diǎn)在n維定義空間的投影滿足G=0.切點(diǎn)的函數(shù)值為最值，如圖所示.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第4版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]呂林根，許子道.解析幾何：第4版[M].北京：高等教育出版社，2006.