復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)采樣同步控制

陳剛，王信，肖伸平，羅昌勝

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復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)采樣同步控制

陳剛1, 2，王信1, 2，肖伸平1, 2，羅昌勝1, 2

(1. 湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲，412007； 2. 電傳動控制與智能裝備湖南省重點實驗室，湖南 株洲，412007)

利用Lyapunov?Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式方法，研究具有時變時滯復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)采樣同步控制問題。首先，建立包含更多時滯信息以及采樣間隔信息的Lyapunov?Krasovskii泛函，運用更優(yōu)積分不等式方法處理泛函導(dǎo)數(shù)中的積分二次型項，獲得一種新的保證誤差系統(tǒng)指數(shù)同步的穩(wěn)定性判據(jù)。其次，基于此判據(jù)設(shè)計保證系統(tǒng)同步穩(wěn)定的采樣控制器。仿真結(jié)果表明：所得判據(jù)具有更小保守性，且采樣控制器可行。

Lyapunov-Krasovskii泛函；復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)；指數(shù)采樣同步控制

復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(complex dynamic networks，CDNs)其實質(zhì)是一種內(nèi)節(jié)點的集合。其中各個節(jié)點對應(yīng)確定的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，而邊緣連接線則代表網(wǎng)絡(luò)之間的聯(lián)系。近10年來，復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)受到人們極大關(guān)注，并且已經(jīng)廣泛地運用于實際系統(tǒng)如互聯(lián)網(wǎng)、萬維網(wǎng)、生態(tài)鏈、社交網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等中[1?3]。在眾多網(wǎng)絡(luò)動態(tài)行為中，同步性是一種典型的集體行為。而在人們的日常生活中，同步現(xiàn)象隨處可見，如數(shù)字信號或模擬信號在網(wǎng)絡(luò)中的傳輸。目前，已經(jīng)提出許多同步問題如牽制同步、隨機同步、脈沖同步、自適應(yīng)同步、分布式同步等等。復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步性不僅可以解釋大量的自然現(xiàn)象，而且存在潛在利用價值。人們對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步性進行了大量研究[4?14]。由于網(wǎng)絡(luò)中信息傳遞速度的限制，時滯現(xiàn)象不可避免，而時滯的存在往往會使得系統(tǒng)變得不穩(wěn)定、震蕩，因此，對時滯現(xiàn)象的研究具有重要意義。ZENG等[15?16]對時滯現(xiàn)象進行了研究。對于含有時滯的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，研究其穩(wěn)定狀態(tài)下的最大允許時滯具有重要意義。在研究復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步控制問題中，已經(jīng)提出多種控制方法，如狀態(tài)觀測器控制[17]、自適應(yīng)控制[18]、脈沖控制[19]、牽制控制[20]、采樣控制[21]等。另外，在實際應(yīng)用中，控制策略要求數(shù)字反饋以及數(shù)字控制具有及時性、小型化、精確性以及低成本等特性，因此，復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步控制具有很大的研究空間。采樣控制作為一種實用、簡潔的控制方法，其核心問題是采樣區(qū)間的選取?？梢酝ㄟ^Lyapunov?Krasovskii泛函方法，獲得保證系統(tǒng)同步的穩(wěn)定性判據(jù)，在此條件下，便可以得到最大采樣間隔。同時，可以設(shè)計出保證系統(tǒng)同步的采樣控制器[7?8, 11?12]。指數(shù)穩(wěn)定性作為一種穩(wěn)定規(guī)則，能夠更加全面地解釋系統(tǒng)穩(wěn)定的特性。在眾多穩(wěn)定性研究方法中，Lyapunov?Krasovskii泛函方法與其他方法相比更加方便、直觀。其核心問題包括2個方面：1) 構(gòu)造更加優(yōu)越的Lyapunov?Krasovskii泛函；2) 對其導(dǎo)數(shù)的界定。而在研究過程中，并沒有找到一種固定的、無保守性的方法，在大多數(shù)情況下，都是依據(jù)個人經(jīng)驗，因此，仍需對Lyapunov?Krasovskii泛函方法進行研究。為此，本文作者在文獻[8]的基礎(chǔ)上，對于含有時變時滯的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建含有更多時滯信息以及采樣間隔信息的增廣Lyapunov?Krasovskii泛函。值得注意的是，文獻[12]中構(gòu)造的含有采樣點信息的泛函是不連續(xù)的，而在泛函中加上(t+1?)，就能很好地避免這一問題。隨后，對泛函求導(dǎo)，并利用積分不等式方法對導(dǎo)數(shù)中的積分二次型項進行界定，得到保證誤差系統(tǒng)指數(shù)同步的充分性條件。為使獲得的判據(jù)條件具有更小的保守性，采用ZENG等[22]推導(dǎo)的新自由矩陣積分不等式方法?；诖伺袚?jù)，設(shè)計出保證系統(tǒng)指數(shù)同步的采樣控制器。最后，通過數(shù)值算例以及狀態(tài)軌跡圖證明所推導(dǎo)的判據(jù)具有更小的保守性，而且所得控制器是可行的。

1 問題描述

采用如下標號：矩陣上標“T”和“?1”分別表示轉(zhuǎn)置矩陣以及逆矩陣；R和R×分別代表維向量和×維矩陣；矩陣＞0代表矩陣是正定的；diag{1，…，b}表示塊對角矩陣；和分別表示1個合適維度的零矩陣以及合適維度的單位矩陣；符號○表示張量積；sym{}代表矩陣T+；標記“*”表示塊對陣矩陣中的對稱項。

考慮下面的時變時滯復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，此系統(tǒng)含有個耦合節(jié)點，每個節(jié)點都是1個維動態(tài)系統(tǒng)：

其中：= 1，2，…，；()以及()分別表示節(jié)點狀態(tài)向量和控制輸入；為恒定耦合強度；=(a)×∈R×，為連接節(jié)點之間的恒定內(nèi)部耦合矩陣；=()×N，為網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的外部耦合組態(tài)矩陣。定義如下：若存在節(jié)點到節(jié)點(≠)的連接，則＞0；否則，= 0。矩陣中的對角元素滿足：

()表示離散時滯，并且滿足以下條件：

其中：和都是正常數(shù)。

假設(shè)1為連續(xù)的向量函數(shù)且滿足以下區(qū)間有界條件：

其中：和為合適維度的定值矩陣。

假設(shè)誤差系統(tǒng)(4)的狀態(tài)向量在時間點0＜0＜1＜…＜t＜…是可測的，并且在采樣間隔t≤＜t+1中，(t)是存在的。于是，針對于誤差系統(tǒng)(4)，將采樣狀態(tài)反饋控制器設(shè)計成為以下形式：

其中：為采樣反饋控制增益矩陣。假設(shè)在利用零階保持函數(shù)生成的控制信號下，采樣量是同步的，并且2個采樣點之間滿足：

其中：為正標量，代表最大采樣間隔。這里并不要求采樣間隔是周期性的，而只需滿足控制器以式(5)的形式可行，且其最大采樣間隔不大于。

隨后，將(5)代入系統(tǒng)(4)，可以得到下列誤差系統(tǒng)：

其中：=1，2，…，。于是，式(7)可以寫成

其中：=diag{1，2，…，}；()=[1()，2()，…，()]T；(())=[(1())，(2())，…，(())]T。

在給出主要結(jié)論之前，下面先介紹幾個引理。

其中：

引理2[12]：對于所有對稱正定矩陣以及可積函數(shù){() |∈ [,]}，有

引理3[22]：對于任意正定對稱矩陣，2個標量和滿足＞＞0，任意向量∈R，以及任意矩陣1，2∈R×，則

引理4[24]：對于任意合適維度矩陣1和2，1個對稱矩陣3＜0以及函數(shù)()∈[0，]，滿足

引理5[25]：存在合適維度的矩陣1，2和3，其中，1為對稱矩陣，2為對稱正定矩陣，則有

定義1 若誤差系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的，則復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)是指數(shù)同步的。換言之，存在2個常數(shù)＞0，＞0，有

2 主要結(jié)果

利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式的形式推導(dǎo)并給出保證誤差系統(tǒng)(8)指數(shù)漸進穩(wěn)定的充分條件，并給出式(5)的采樣控制器。為了使表達更加簡潔，有下面的定義：

定理1：在條件(C1)下，給定正常數(shù)，，以及常數(shù)，若存在正定對稱矩陣∈R2n×2n，∈ R2n×2n(=1, 2)，∈R×(=1，2，3，4)，1∈R2n×2n，2∈R3n×3n，對稱陣∈R2n×2n，∈R×(= 1，3)，5∈R×，正定對角陣∈R×(= 1，2)，以及任意矩陣∈R×，2∈R×，∈R×(= 1，2)，∈ R×(= 1，2，…，)，∈R×(= 1，2，…，)，∈R×(= 1，2，…，)，∈R×(=1，2，3，4)。=diag{1，2，…，}，=diag{1，2，…，}，=diag{1，2，…，}，且有

其中：

則誤差系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的，其衰減率為。另外，系統(tǒng)(8)中的可行控制增益矩陣求得為=?1。

證明：構(gòu)建下面的增廣泛函：

其中：

通過對()的各項求導(dǎo)，可以得到一系列矩陣以及積分式。而要求得線性矩陣不等式條件，其關(guān)鍵在于對導(dǎo)數(shù)中積分進行處理。下面將分別介紹對不同積分項的處理方法。

對4()和5()求導(dǎo)，將會產(chǎn)生下面2個積分二次型：

同樣，對6()和7()求導(dǎo)，出現(xiàn)下面2種積分二次型：

對8()求導(dǎo)，出現(xiàn)下面的二次型。依據(jù)基本不等式原理，當存在任意對稱陣∈R2n×2n時，有下面不等式成立：

對7()利用同樣的方法處理。進一步對10()導(dǎo)數(shù)中含有采樣信息的積分項進行估計，當存在任意矩陣1和2時，有

根據(jù)條件(6)，式(17)可以寫成

另一方面，存在常數(shù)＞0，假設(shè)1中的條件(3)寫成如下形式：

基于系統(tǒng)(8)的等式描述，可以引入2個合適維度的矩陣和，有下面的零項等式成立：

將(19)和(20)代入泛涵()的導(dǎo)數(shù)中，并將(14)，(15)，(16)和(18)應(yīng)用于()的導(dǎo)數(shù)估計，于是，當t≤＜t+1時，()的導(dǎo)數(shù)可以寫成

因此，誤差系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的，其衰減率為。根據(jù)定義1，系統(tǒng)(1)是指數(shù)同步的，其指數(shù)同步率為。證明結(jié)束。

注釋1：相比于文獻[8]中方法，本文構(gòu)建1個新的增廣Lyapunov?Krasovskii泛函，并且引入8和9，增加了更多的采樣信息，使得所得判據(jù)具有更小的保守性。

注釋2：若=0(即無線趨近于0)，條件(10)，(11)以及(12)可行，則系統(tǒng)(8)擁有足夠小衰減率的指數(shù)同步，且據(jù)系統(tǒng)(8)中的可行控制增益矩陣求得=?1。

其中：

則誤差系統(tǒng)(8)是指數(shù)穩(wěn)定的，其衰減率為。且據(jù)系統(tǒng)(8)中的可行控制增益矩陣得=?1。

證明：構(gòu)建增廣泛函

其中：()，1()和9()含義見定理1，且

根據(jù)以上構(gòu)建的泛函，并利用Lyapunov- Krasovskii泛函方法(與定理1同理)，可以推導(dǎo)出定理2的結(jié)論。

注釋4：若=0(也就是無限趨近于0)，定理2可行，則系統(tǒng)(8)擁有足夠小衰減率的指數(shù)同步，且據(jù)系統(tǒng)(8)中的可行控制增益矩陣求得=?1。

注釋5：對比(C1)與(C2)這2種條件下的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步條件，顯然條件(C2)含有更多的時滯信息。其后的數(shù)值算理結(jié)果表明條件(C2)條件下所得的指數(shù)同步條件具有更小的保守性。

3 仿真實例

例1：對于誤差系統(tǒng)(8)，其內(nèi)耦合矩陣與外耦合矩陣分別為

假設(shè)=0.25，=0.5，則非線性函數(shù)為

很顯然，此函數(shù)滿足條件(3)，且

利用定理1與定理2中的充分判據(jù)，在 matlab工具箱中計算，可以得到在不同允許下的最大采樣間隔，其計算結(jié)果見表1。從表1可以看出：與文獻[6?10]中結(jié)果相比，本文所得最大采樣間隔都明顯增大；在文獻[11]中，當=0.75時，其采樣間隔大于本文結(jié)果。當=0.5時，本文所得采樣間隔提高非常顯著。同時，定理2與定理1相比，所得也提高，這說明耦合強度以及時滯導(dǎo)數(shù)條件對最大允許采樣間隔的獲得都有一定影響，同時說明本文所得判據(jù)具有一定優(yōu)越性。

表1 定理1中不同c下的最大允許h

下面用仿真圖來闡明所用方法的有效性。利用定理1，當=0.75，=0.944 9，=0.5，()=0.125+ 0.125 sin(4)時，利用Matlab中的SeDuMi工具箱可以計算得到采樣控制器為：

在以上狀態(tài)反饋控制器的基礎(chǔ)上，當初始狀態(tài)時，在該控制器下，無控制輸入誤差系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌跡見圖1，誤差系統(tǒng)(8)的控制輸入軌跡和狀態(tài)軌跡分別見圖2和圖3。從圖1~3可以看到：當無控制輸入時，系統(tǒng)是發(fā)散的；而當系統(tǒng)增加本文推導(dǎo)的數(shù)字輸入控制器時，狀態(tài)軌跡則將趨近于平衡點。這證明了本文方法推導(dǎo)的數(shù)字控制器是可行的。

在定理2所得判據(jù)下，當=0.5，=1.121 2，=0，()=0.15+0.01cos(5)時，采樣控制器為：

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

初始狀態(tài)為：

在該控制器以及初始狀態(tài)下，無控制器下的狀態(tài)軌跡見圖4，控制輸入軌跡見圖5，誤差系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌跡見圖6。同樣，與之前的結(jié)論相同，對于發(fā)散系統(tǒng)，當增加了前面所推導(dǎo)的數(shù)字采樣控制器時，系統(tǒng)軌跡以及輸入軌跡都將趨于平衡點。這說明該控制器是可行的。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

4 結(jié)論

1) 對含有離散時滯的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)進行研究，討論其在采樣控制下的指數(shù)同步問題，不僅得到保證網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步的充分性條件，而且給出了采樣控制器設(shè)計方法。

2) 基于減少穩(wěn)定性條件保守性的目的，在泛函中增加采樣信息，以及利用更優(yōu)積分不等式估計泛函導(dǎo)數(shù)中的積分二次型數(shù)值對比，在所得定理條件下，可以獲得更大采樣間隔，表示本文的方法是有效的，并且系統(tǒng)軌跡圖顯示所得采樣控制器能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，證明了控制器設(shè)計方法可行。

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Sampled-data exponential synchronization for complex dynamical networks

CHEN Gang1, 2, WANG Xin1, 2, XIAO Shenping1, 2, LUO Changsheng1, 2

(1. School of Electrical and Information Engineering, Hunan University of Technology, Zhuzhou 412007, China; 2. Key Laboratory for Electric Drive Control and Intelligent of Hunan Province, Zhuzhou 412007, China)

By using Lyapunov?Krasovskii functional method and linear matrix inequality method, the problem of sample-data exponential synchronization for complex dynamic networks with time-varying delays was studied. Firstly, the Lyapunov?Krasovskii functional with more information and the sampling interval delay information was constructed. Then, the preferable integral inequality methods were used to estimate the integral quadratic terms among derivative of Lapunov?Krasovskii functional and a new criterion was formulated to ensure the exponential synchronization of the error system. Secondly, a sampling controller was designed based on this criterion to ensure the synchronization of the system. The simulation results show that the derived synchronization criterion is less conservative and it is feasible.

Lyapunov?Krasovskii functional; complex dynamic networks; sampled-data exponential synchronization

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.12.013

TP273

A

1672?7207(2018)12?2993?09

2018?01?10；

2018?03?15

湖南省自然科學(xué)基金資助項目(2018JJ4075)；國家自然科學(xué)基金資助項目(6167225, 61304064)(Project(2018JJ4075) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Projects(6167225, 61304064) supported by the National Natural Science Foundation of China)

陳剛，博士，副教授，從事時滯系統(tǒng)、魯棒控制研究；E-mail：drchengang@163.com

(編輯 陳燦華)