凍土熱物理性質(zhì)的統(tǒng)計特征及分布規(guī)律

石梁宏，李雙洋，王沖，尹楠

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凍土熱物理性質(zhì)的統(tǒng)計特征及分布規(guī)律

石梁宏1, 2，李雙洋1，王沖3，尹楠1

(1. 中國科學院 西北生態(tài)環(huán)境資源研究院 凍土工程國家重點實驗室，甘肅 蘭州，730000； 2. 中國科學院大學，北京，100049；3. 蘭州大學 土木工程與力學學院，甘肅 蘭州，730000)

為揭示凍土熱物理性質(zhì)的隨機性及內(nèi)在規(guī)律，以青藏高原粉質(zhì)黏土為研究對象，分別對5種典型溫度條件下凍土的熱物理參數(shù)進行50組大樣本測試。研究結(jié)果表明：即使在同一溫度下，試樣的熱物理參數(shù)也存在明顯的隨機性，但又呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律；凍土的熱物理參數(shù)(導熱系數(shù)和容積熱容量)服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，并利用總體分布假設(shè)的2檢驗法驗證了分布規(guī)律的正確性。

凍土；熱物理性質(zhì)；導熱系數(shù)；容積熱容量；概率分布；2檢驗法

近年來，隨著國民經(jīng)濟的發(fā)展，我國對高寒、高海拔地區(qū)的開發(fā)力度不斷加大，一系列的重大工程逐漸在凍土地區(qū)修建，如何保證這些工程的穩(wěn)定性一直是施工建設(shè)中所關(guān)注的熱點問題[1]。作為一種多相介質(zhì)材料，凍土主要由固體土顆粒、未凍水、冰晶體和空氣等組成[2]，其物理力學性質(zhì)對外界環(huán)境的變化十分敏感。由于含水量、干密度等內(nèi)部因素和氣候變化、工程擾動等外部因素的相互作用，不可避免地會改變土體的熱物理性質(zhì)，進而影響到土水體系與外界環(huán)境之間的熱交換過程，由此可能引發(fā)次生的不良凍土現(xiàn)象，直接影響到工程的穩(wěn)定性[3?5]。因此，為了保證凍土地區(qū)工程設(shè)計和施工的安全，滿足結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的要求，對凍土的熱物理性質(zhì)進行研究具有十分重要的意義。目前，對土體熱物理性質(zhì)的研究主要集中在對熱參數(shù)的試驗測試和影響因素分析2個方面。在熱參數(shù)的測試方面，國內(nèi)的相關(guān)規(guī)范以表格的形式給出了幾種典型土在不同密度和不同含水量下的熱物理參 數(shù)[6?8]。此外，葉萬軍等[9]對不同含水率下黃土的導熱系數(shù)進行了測試；OVERDUIN等[10]對相變區(qū)附近的土體導熱系數(shù)進行了研究；徐捷等[11]對淤泥質(zhì)黏土在高溫下的導熱系數(shù)進行了研究；談云志等[12]提出了非飽和土熱導率的預估模型。在熱參數(shù)的影響因素分析方面，馬祖羅夫[13]通過對大量文獻的研究，給出了凍融土的熱物理性質(zhì)與其顆粒組成、容重、含水率、飽和度、孔隙率、密度、塑限之間的關(guān)系；陶兆祥等[14]研究了容重和含水量的變化對高含水(冰)凍融土導熱系數(shù)的影響；ABU-HAMDEH[15]研究了干密度對砂土熱導率的影響；ORAKOGLU等[16]考慮了凍融循環(huán)次數(shù)、纖維體積含量對加筋土體導熱系數(shù)的影響；COSENZA等[17]研究了初始體積含水量對土體導熱系數(shù)的影響。以上工作都是將土體的熱物理參數(shù)視為一個確定值來展開研究，但是在實際的工程中，尤其在負溫條件下，由于土體的含水量、含冰量、密度等因素分布的不均勻性，即使在同一溫度下，土體的熱物理參數(shù)也呈現(xiàn)出很強的離散性和隨機性。當前的工程熱工計算是用乘以安全系數(shù)的方法考慮熱參數(shù)的離散性，這種計算勢必會增加工程成本，無法保證工程的經(jīng)濟性，如果不考慮熱參數(shù)的隨機特征，又可能會影響到工程的安全性。因此，為了描述土體熱物理參數(shù)的隨機分布特點，采用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法研究凍土熱參數(shù)的統(tǒng)計特征及分布規(guī)律，為深入分析凍土類材料的熱物理性質(zhì)提供理論依據(jù)和參考。目前，對凍土熱物理參數(shù)不確定性及離散現(xiàn)象的研究較少，吳曉光[18]對高溫凍土的熱參數(shù)進行了統(tǒng)計分析，給出了高溫凍土熱參數(shù)的概率分布函數(shù)，但是缺少對其分布函數(shù)進行假設(shè)檢驗，且該研究僅限于?1.5 ℃的高溫凍土，因而其成果應用有一定的局限性。本文作者對青藏高原粉質(zhì)黏土在不同溫度條件(20，?1，?2，?5和?10 ℃)下的熱物理參數(shù)(導熱系數(shù)、容積熱容量)分別進行50組大樣本試驗，通過對試驗數(shù)據(jù)離散程度及分布規(guī)律的統(tǒng)計分析，得到凍土熱物理參數(shù)的概率分布函數(shù)，并從理論上驗證提出的分布規(guī)律的正確性，為進一步研究凍土類材料及工程的熱力學性質(zhì)提供 依據(jù)。

1 分布規(guī)律模型及檢驗方法

概率分布函數(shù)是研究隨機變量的重要工具，為了描述凍土熱物理性質(zhì)的隨機分布特點和統(tǒng)計特征，引入3種典型的概率分布函數(shù)(正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布)；同時，為了驗證概率分布函數(shù)的正確性，采用χ2檢驗法對分布函數(shù)進行假設(shè)檢驗。

1.1 分布規(guī)律模型

1.1.1 正態(tài)分布

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)()：

式中：為樣本值；為正態(tài)分布的期望；為正態(tài)分布的標準差(＞0)。

正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為

1.1.2 對數(shù)正態(tài)分布

對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)()：

式中：為樣本值；為對數(shù)正態(tài)分布的均值；為對數(shù)正態(tài)分布的標準差。

對數(shù)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為

1.1.3 威布爾分布

威布爾分布的概率密度函數(shù)()：

式中：為樣本值；為威布爾分布的形狀參數(shù)；為威布爾分布的尺度參數(shù)。

威布爾分布的累積分布函數(shù)為

利用最大似然估計法可求得正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布中的未知參數(shù)，進而可得到對應的概率分布函數(shù)。

1.2 χ2檢驗法

當不確定隨機變量的總體服從何種類型分布時，利用2檢驗法可檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)。首先，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的分布特征，提出樣本總體可能服從某一概率分布的假設(shè)，記為0。由樣本觀測值求得

式中：2為統(tǒng)計量，可通過樣本值求出；f為試驗頻率；p為估計頻率；為樣本容量。

若在假設(shè)0下，由式 (7)計算后有

則在顯著性水平下假設(shè)檢驗通過[19]。式(8)中：為顯著性水平；為劃分的樣本子集個數(shù)；為計算概率分布時未知參數(shù)的個數(shù)。

2 試驗

2.1 試驗土樣

試驗土樣為青藏鐵路北麓河試驗段粉質(zhì)黏土。將原狀土過孔徑2 mm篩后，取粒徑小于2 mm的土樣作為本次試驗用土。試樣的基本物理參數(shù)見表1。

表1 試樣的基本物理參數(shù)

2.2 試驗儀器

試驗主要使用QL–30熱分析儀測定試樣的熱物理參數(shù)，該熱分析儀的工作原理為非穩(wěn)態(tài)法中的熱脈沖法。

通過可控式恒溫冰箱調(diào)節(jié)不同的測試溫度(20，?1，?2，?5和?10 ℃)，冰箱中設(shè)置了溫度探頭，調(diào)節(jié)冰箱溫度可模擬5種溫度條件。

2.3 試驗步驟

試驗所用土樣的干密度為1.82 g/cm3，含水量為10.00%。試驗步驟如下。

1) 稱取一定量的土樣烘干，根據(jù)所需含水量，將去離子水均勻噴灑在土樣上，經(jīng)過充分攪拌后裝入盛土容器中密封24 h，以保證水分在土樣中擴散均勻。

2) 將土裝入制樣的標準模具中，制備直徑×高度為61.80 mm×50.00 mm的試樣50個。在制備試樣的過程中，嚴格要求分層裝入土樣，從而保證試樣截面的平整性，試樣制備完成后，立即用保鮮薄包裹，以減少水分蒸發(fā)。

3) 根據(jù)GB/T 50123—1999“土工試驗方法標 準”[20]，將試樣置于恒溫冰箱，設(shè)置試驗溫度(溫度分別為20，?1，?2，?5和?10 ℃)后等待48 h，使得整個試樣溫度達到測試溫度。

4) 連續(xù)3次測定試樣表面溫度，當3次的溫差小于0.1 ℃時，則認為溫度穩(wěn)定，可進行凍土熱參數(shù)的測量試驗。

3 試驗結(jié)果及統(tǒng)計特征分析

3.1 試驗結(jié)果

將制備的50個試樣放入冰箱，測試每種溫度下各組試樣的導熱系數(shù)和容積熱容量。不同溫度條件下各組試樣導熱系數(shù)和容積熱容量的測定值如圖1和圖2所示。

圖1 各組試樣的試驗導熱系數(shù)測定值

3.2 統(tǒng)計特征分析

圖3和圖4所示分別為導熱系數(shù)和容積熱容量試驗數(shù)據(jù)的箱形圖，箱形圖可直觀地反映出數(shù)據(jù)的離散特點。從圖3可以看出：在同一溫度下，試樣導熱系數(shù)的離散性均較大；當溫度為20 ℃時，導熱系數(shù)的變化范圍為1.281~1.471 W·m?1·K?1，最大值和最小值之間相差15.0%；在?1 ℃時，導熱系數(shù)最大相差 0.197 W·m?1·K?1，最大值和最小值之間相差14.8%；在?2 ℃時，導熱系數(shù)最大相差0.079 W·m?1·K?1，最大值和最小值之間相差5.4%，為5種試驗溫度下的最小差值；在?5 ℃時，導熱系數(shù)最大值和最小值之間相差7.5%；在?10 ℃時，導熱系數(shù)最大相差6.2%。

圖2 各組試樣的試驗容積熱容量測定值

圖3 各組試樣導熱系數(shù)的箱形圖

圖4 各組試樣容積熱容量的箱形圖

由圖4可以看出：在同一溫度下，試樣的容積熱容量不是某一確定值，也呈現(xiàn)出較強的離散性。例如，在20 ℃時，容積熱容量的變化范圍為1.45~1.50 MJ·m?3·K?1，其他4種溫度下的容積熱容量也均在一定的范圍內(nèi)波動。

經(jīng)過對試驗數(shù)據(jù)分析后發(fā)現(xiàn)：在同一溫度下，凍土的熱物理參數(shù)(導熱系數(shù)、容積熱容量)存在較強的離散性和隨機性，用確定的數(shù)值來描述凍土的熱物理參數(shù)并不符合實際，因而需要對其進行概率統(tǒng)計分析。

4 熱物理性質(zhì)的分布規(guī)律分析

將每個溫度下凍土熱物理參數(shù)(導熱系數(shù)和容積熱容量)的試驗值代入正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布中，繪制出3種典型分布函數(shù)的理論概率分布圖像；然后，根據(jù)理論概率分布和實測概率分布圖像的吻合情況，提出熱物理參數(shù)可能服從的概率分布假設(shè)；最后，利用2檢驗法進行假設(shè)檢驗，驗證所提出分布函數(shù)的正確性。

4.1 導熱系數(shù)的分布概型確定

將每個溫度下導熱系數(shù)的50個數(shù)據(jù)分別代入式(2)，(4)，(6)，得到3種理論概率函數(shù)的分布圖像，然后與實測概率分布圖像進行比較。圖5所示為根據(jù)導熱系數(shù)的分布情況后假設(shè)的3種函數(shù)概率分布及實測概率分布圖像。從圖5可以看出：正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)的概率分布與實測值的概率分布吻合得更好。

表2所示為計算理論與實測概率分布曲線的最大差值，其中，威布爾分布的差值較大，尤其在20 ℃和?5 ℃下，威布爾的概率分布與實測概率分布的差值分別為0.322 6和0.463 6；而正態(tài)和對數(shù)正態(tài)的概率分布均與實測概率分布相差較小，其中最大差值出現(xiàn)在?10 ℃下，相差僅為0.109 9。為了驗證導熱系數(shù)是否滿足假設(shè)的3種經(jīng)典分布，本文利用2檢驗法對導熱系數(shù)可能服從的概率分布函數(shù)進行假設(shè)檢驗。

根據(jù)2檢驗法，檢驗各溫度條件下假設(shè)的導熱系數(shù)的分布函數(shù)。首先由概率分布曲線的吻合情況，提出導熱系數(shù)可能服從的概率分布假設(shè)0，通過式(7)和(8)計算2可判斷假設(shè)的函數(shù)是否成立。假設(shè)的導熱系數(shù)概率分布函數(shù)2的計算結(jié)果如表3所示。從表3可以看出：在20 ℃和?5 ℃下，威布爾分布的2均較高，超出了其限值2α(??1)，故拒絕在20 ℃和?5 ℃下導熱系數(shù)服從威布爾分布的假設(shè)。而在5種溫度條件下，正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布的2均在其限值范圍內(nèi)，即在不同溫度下，均可接受導熱系數(shù)服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布的假設(shè)。

溫度/℃：(a) 20；(b) ?1；(c) ?2；(d) ?5；(e) ?10

表2 導熱系數(shù)實測概率分布與理論概率分布之間的最大差值

結(jié)合表2、圖5以及表3可以得到：在5種溫度下，正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)的概率分布與實測導熱系數(shù)的概率分布更接近，且能通過假設(shè)檢驗。因此，總體來看，不同溫度下導熱系數(shù)的概率分布適宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布描述。

表3 不同溫度下各個分布的χ2(α=0.01)

4.2 容積熱容量分布概型的確定

將每個溫度下容積熱容量的試驗值代入式(2)，(4)和(6)，得到3種理論概率函數(shù)的分布圖像，然后與實測概率分布圖像進行比較(見圖6)。

從圖6可以看出：假設(shè)的3種容積熱容量的理論概率分布曲線與實測概率分布曲線都較接近；在20，?1，?2和?10 ℃下，正態(tài)和對數(shù)正態(tài)的概率分布與實測概率分布的吻合程度更高；而在?5 ℃下，威布爾的概率分布與實測值的概率分布吻合得更好。

表4所示為統(tǒng)計假設(shè)的3種容積熱容量概率函數(shù)分布與實測概率分布的最大差值。從表4可以得出，在不同的試驗溫度下，正態(tài)和對數(shù)正態(tài)的概率分布與實測概率分布的差值均較小，其中，最大差值出現(xiàn)在?2 ℃時的正態(tài)分布下，相差僅為0.109 3；相比之下，威布爾的概率分布與實測概率分布之間的差值均較大。同樣，采用2檢驗法，對不同溫度下容積熱容量可能服從的概率分布函數(shù)進行假設(shè)檢驗。根據(jù)式(7)和(8)計算2后，可判斷假設(shè)是否成立。

溫度/℃：(a) 20；(b) ?1；(c) ?2；(d) ?5；(e) ?10

表4 容積熱容量實測概率分布與理論概率分布之間的最大差值

不同溫度下各種分布概型的2如表5所示。由表5可以看出：在20、?1、?2、?5和?10 ℃下，3種理論分布的2均小于2(??1)。故綜合來看，假設(shè)檢驗通過，3種理論分布函數(shù)均可描述不同溫度下凍土容積熱容量的分布規(guī)律。

結(jié)合圖6和表5可以得出：正態(tài)和對數(shù)正態(tài)的概率分布與實測容積熱容量的概率分布差值更小，吻合效果更好，且能通過假設(shè)檢驗。故總體來看，不同溫度下容積熱容量的概率分布更適宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布進行描述。

表5 不同溫度下各種分布概型的χ2(α=0.01)

5 結(jié)論

1) 由于密度、水分和含冰量等內(nèi)部因素的不均勻性，以及工程擾動、氣候變化等外界因素的影響，凍土的熱參數(shù)呈現(xiàn)出較強的離散性，但又具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，因此，使用某一確定值來描述凍土的熱參數(shù)并不合理，而采用概率分布函數(shù)對熱參數(shù)的分布規(guī)律進行描述更準確。

2) 在進行凍土導熱系數(shù)和容積熱容量的統(tǒng)計特征分析時，均宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。

3) 本文通過對凍土熱參數(shù)的隨機性和統(tǒng)計特征進行分析研究，得到了描述凍土熱物理性質(zhì)分布規(guī)律的概率函數(shù)，并采用2檢驗法對所提出分布函數(shù)的正確性加以驗證。本文所提出的凍土熱物理性質(zhì)的分布規(guī)律可為今后凍土材料的研究和工程熱力學的計算提供參考。

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Statistical characters and distribution laws of thermophysical properties of frozen soil

SHI Lianghong1, 2, LI Shuangyang1, WANG Chong3, YIN Nan1

(1. State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering, Northwest Institute of Eco-Environment and Resources, Chinese Academy of Sciences, Lanzhou 730000, China; 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. College of Civil Engineering and Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

To reveal the randomness and intrinsic regularity of the frozen soil, thermal physical parameters of 50 sets of silty clay in Qinghai—Tibet Plateau were tested in each temperature state. The result shows that even though under the same temperature, the thermal parameters of samples exhibit great randomness and uncertainty, but obey statistical rules to some extent. According to the analysis with probability and mathematical statistics method, the thermal physical parameters (thermal conductivity and volumetric heat capacity) of the frozen soil obey normal distribution or lognormal distribution, and this hypothesis is proven to be valid by the2hypothesis testing method.

frozen soil; thermophysical property; thermal conductivity; volumetric heat capacity; probability distribution;2testing method

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.12.020

TU411.2

A

1672?7207(2018)12?3060?08

2018?01?29；

2018?03?18

國家自然科學基金資助項目(41672315, 41230630)；中國科學院前沿科學重點研究項目(QYZDY-SSW-DQC015)；中國科學院“西部之光”項目(2014)；中國科學院青年創(chuàng)新促進會項目(2015349)；凍土工程國家重點實驗室自主研究課題(SKLFSE-ZY-18)；中國科學院STS項目(HHS-TSS-STS-1502)(Projects(41672315, 41230630) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(QYZDY-SSW-DQC015) supported by Key Research Program of Frontier Sciences of Chinese Academy of Sciences; Project(2014) supported by Light of West China Program of Chinese Academy of Sciences; Project(2015349) supported by Youth Innovation Promotion Association of Chinese Academy of Sciences; Project(SKLFSE-ZY-18)supported by State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering; Project (HHS-TSS-STS-1502) supported by STS Project of Chinese Academy of Sciences)

李雙洋，博士，副研究員, 從事凍土力學與寒區(qū)巖土工程研究; E-mail：lisy@lzb.ac.cn

(編輯 趙俊)