隋云云，馬樹才，付云鵬(.濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 606； .遼寧大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 沈陽 0036)

一、引 言

Markwitz提出的均值-方差模型將投資理論帶入了一個(gè)量化時(shí)代[1]。將證券的收益率看做隨機(jī)變量，用隨機(jī)變量在過去某時(shí)期的均值作為該證券未來的期望收益率，再將其在該時(shí)期的方差作為該證券風(fēng)險(xiǎn)的度量。由于在進(jìn)行投資時(shí)人們只會(huì)考慮那些收益率大于期望收益率的證券，于是Markwitz又提出了半方差風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)[2]188-201。但是，Markwitz的投資組合優(yōu)化模型在實(shí)際中并未得到廣泛應(yīng)用，主要原因在于計(jì)算困難：一方面，是在計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)時(shí)需要協(xié)方差矩陣，計(jì)算量大；另一方面，是當(dāng)證券數(shù)量較多時(shí)需要求解一個(gè)大規(guī)模的二次規(guī)劃問題。為此，許多學(xué)者采用了一些近似方案以避免這個(gè)困難[3]。

概率論雖然是金融學(xué)中分析不確定性的主要工具，但其并不能夠完全描述金融市場的一些不同于隨機(jī)因素的其他不確定性因素。因此，可以借助于其他工具來描述這些不確定性因素,例如Zadeh所提出的模糊集理論以及可能性理論等不失為一種新的思路[4]。近年來，如Ramaswamy、Tanaka和Guo、高振斌等已經(jīng)基于模糊集相關(guān)理論和可能性理論對投資組合優(yōu)化問題進(jìn)行了研究[5-7]。在這些投資組合模型中，通常假設(shè)證券收益率的分布是已知的，然而這在現(xiàn)實(shí)中對投資者而言是不可能的，因此部分學(xué)者又利用區(qū)間數(shù)來解決這一問題，如路應(yīng)金等將區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃運(yùn)用到證券投資組合分析中，在求解區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃問題時(shí)通過引入一個(gè)反映投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的系數(shù)，將區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為參數(shù)線性規(guī)劃[8]；趙玉梅等建立了多目標(biāo)區(qū)間線性規(guī)劃問題，通過引入兩個(gè)參數(shù)(反應(yīng)收益-風(fēng)險(xiǎn)偏好的參數(shù)和優(yōu)化水平的參數(shù))將多目標(biāo)區(qū)間線性規(guī)劃問題化為參數(shù)規(guī)劃問題來求解[9]；徐曉寧等針對市場上允許賣空的情況，以經(jīng)典Markwitz模型為基礎(chǔ)，建立了關(guān)于投資組合的區(qū)間二次規(guī)劃模型，并利用區(qū)間數(shù)的相關(guān)理論將該模型轉(zhuǎn)化為確定性的投資組合二次規(guī)劃模型并進(jìn)行求解[10]。上述模型大多是在Markwitz投資模型基礎(chǔ)上利用區(qū)間數(shù)反應(yīng)證券收益率以及風(fēng)險(xiǎn)損失率的不確定性，并沒有考慮到投資者的效用，而武可棟等盡管也是以投資者的效用最大為目標(biāo)，但也未考慮到證券收益率的區(qū)間彈性問題[11]。本文將兼顧兩個(gè)方面：一是從投資者角度進(jìn)行考察，以投資者的效用函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)、以投資者效用最大化為目的；二是考慮到證券收益率以及風(fēng)險(xiǎn)的彈性，將使用區(qū)間數(shù)來刻畫之?；谏鲜鰞牲c(diǎn)，本文將建立一個(gè)基于效用最大化的區(qū)間值投資組合模型：首先，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)將證券的收益率看做是區(qū)間數(shù)；其次，利用歷史數(shù)據(jù)采用模糊統(tǒng)計(jì)方法得到證券的區(qū)間收益率，將Mansini和Speranza所提出的半絕對偏差函數(shù)作為對風(fēng)險(xiǎn)的度量；最后，基于投資者的效用最大化構(gòu)建投資組合模型，并應(yīng)用于組合投資決策。

二、區(qū)間值投資組合模型

(一)傳統(tǒng)均值-方差模型

Markwitz的投資組合模型是針對假設(shè)投資者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的理性投資者構(gòu)建的，即在給定的同樣收益率條件下的股票，將投資者偏好風(fēng)險(xiǎn)最小的股票作為投資選擇，因此投資者想要獲得高收益的同時(shí)必須承擔(dān)較高的風(fēng)險(xiǎn)。

Markwitz投資組合優(yōu)化模型如下：

{maxf(x)=∑ni=1E(ri)xi

s.t.∑ni=1∑nj=1σijxixj≤ω

∑ni=1xi=1

li≤xi≤μi；i=1,2,…,n

(1)

{minf(x)=∑ni=1∑nj=1σijxixj

s.t.∑ni=1E(ri)xi≥r0

∑ni=1xi=1

li≤xi≤μi；i=1,2,…,n

(2)

模型(1)說明基于一定風(fēng)險(xiǎn)水平時(shí)期望收益率達(dá)到最大，而模型(2)是基于一定收益時(shí)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)最小。在這兩個(gè)模型中，xi表示投資者將總資金投入到證券i的比例，E(ri)表示證券i的期望收益，R=(E(r1),E(r2),…,E(rn))T為投資組合的期望收益率；∑ni=1∑nj=1σijxixj是投資組合的方差，用來度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，其中σij為證券i與證券j之間的協(xié)方差，ω表示投資者能夠承受的風(fēng)險(xiǎn)上限，r0表示投資者所期望的收益下限，li、μi分別表示證券i投資比例的下限和上限。

(二)投資者效用函數(shù)

本文采用半絕對偏差函數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)的度量，故先介紹半絕對偏差風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。半絕對偏差風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)由Mansini和Speranza于1999年提出，令：

rit=pitc-pit0pit0

(3)

ri=1T∑Tt=1rit

(4)

其中pit0、pitc分別表示證券i在t時(shí)期的開盤價(jià)和收盤價(jià)，則該投資組合在t時(shí)期的半絕對偏差為：

wt(x)=|min{0,∑ni=1(rit-ri)xi}|

=max{0,∑ni=1(ri-rit)xi}

t=1,2,…,n

投資者在進(jìn)行投資時(shí)會(huì)受到一些不確定因素的影響，而且不同的投資者對風(fēng)險(xiǎn)的偏好程度也會(huì)有所不同。研究表明，投資者的偏好不僅受到證券收益和風(fēng)險(xiǎn)的影響，而且還受到諸如投資環(huán)境、年齡、性別等因素的影響，故投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好并不穩(wěn)定，而環(huán)境等因素會(huì)影響其偏好，因此本節(jié)研究投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。近年來，也有不少學(xué)者基于效用函數(shù)研究投資組合選擇模型，如Christer等人[12]，但是一般情況下效用函數(shù)很難確定。因此，為了簡化計(jì)算，使用效用函數(shù)U(W)=E(W)-AVar(W)，其中Var(W)代表風(fēng)險(xiǎn)，E(W)代表收益，基于該效用函數(shù)可建立如下模型：

(P1){maxU(X)=βE(R～)-(1-β)1T∑Tt=1wt(x)

s.t.XTe=1

(5)

其中1T∑Tt=1wt(x)為衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)；β為風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，β越大則投資收益對投資者越重要，β越小則投資風(fēng)險(xiǎn)對投資者越重要，在本模型中有兩個(gè)特例，即β=0和β=1，當(dāng)β=1時(shí)，該投資者只關(guān)注投資收益完全不考慮風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)投資者為風(fēng)險(xiǎn)偏好者；當(dāng)β=0時(shí)，該投資者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者，只關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)而不關(guān)心收益。

對于模型(P1)中目標(biāo)函數(shù)U(X)可做如下化簡：

U(X)=βE(R～)-(1-β)1T∑Tt=1wt(x)

=β∑ni=1rixi-(1-β)1T∑Tt=1|min{0,∑ni=1(rit-ri)xi}|

=β∑ni=1rixi-(1-β)1T∑Tt=1max{0,∑ni=1(ri-rit)xi}

=β∑ni=1rixi-(1-β)1T

∑Tt=1∑ni=1(ri-rit)xi+|∑ni=1(ri-rit)xi|2

=β∑ni=1rixi-(1-β)12T∑Tt=1∑ni=1(ri-rit)xi-

(1-β)12T∑Tt=1|∑ni=1(ri-rit)xi|

=β∑ni=1rixi-(1-β)12T∑ni=1(∑Tt=1(ri-rit))xi-

(1-β)12T∑Tt=1|∑ni=1(ri-rit)xi|

=∑ni=1(βri-(1-β)2Tξi)xi-(1-β)2

∑Tt=1|∑ni=1(ri-rit)xi|T

其中ξi=∑Tt=1(ri-rit),i=1,2,…,n，故規(guī)劃問題(P1)可轉(zhuǎn)化為：

(P2){max ∑ni=1(βri-(1-β)2Tξi)xi-(1-β)2∑Tt=1utT

s.t.ut+∑ni=1(ri-rit)xi≥0,t=1,2,…,T

ut-∑ni=1(ri-rit)xi≥0,t=1,2,…,T

XTe=1

(6)

(P2)為一般線性規(guī)劃問題，利用Matlab、Lingo等可求得其解X*=X(β)。

例如，表1列出了5種證券代碼以及2009-2013年的年收益率。

其中收益率由式(3)式(4)計(jì)算得到。將表1的數(shù)據(jù)帶入(6)式，則得到如下參數(shù)規(guī)劃問題：

此問題可通過Matlab、Lingo等求得最優(yōu)解。

表2給出了對于不同的參數(shù)β值時(shí)，各個(gè)證券的投資比例及該投資組合所對應(yīng)的收益率。

表2 不同β對應(yīng)的投資比例及收益率

(三)模型建立

對于區(qū)間值線性規(guī)劃的解法，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，并提出了一些解決方法，如Yoon提出了誤差分析方法[13]；Bryson和Mobolurin提出了線性規(guī)劃方法[14]；Rommelfanger等研究了目標(biāo)函數(shù)系數(shù)為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃求解方法[15]。對于目標(biāo)函數(shù)和約束條件的系數(shù)均為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃的解法，也有學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，劉新旺等針對目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問題提出了一種基于模糊約束滿意度的求解方法，把區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為確定型的一般參數(shù)規(guī)劃問題來求解[16]。

路應(yīng)金等提出，目標(biāo)函數(shù)和約束條件的系數(shù)都是區(qū)間數(shù)的證券組合投資分析線性規(guī)劃方法，通過引入衡量投資者風(fēng)險(xiǎn)喜好的風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)α，將區(qū)間數(shù)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為參數(shù)線性規(guī)劃問題，使證券組合投資決策具有一定的靈活性。

本文用到如下區(qū)間線性規(guī)劃形式：

(7)

(8)

達(dá)慶利和劉新旺考慮到投資者的判斷及投資環(huán)境等因素，引入?yún)?shù)α將上述的雙目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為如下參數(shù)規(guī)劃問題[17]：

(9)

對于理性投資者而言，都希望在得到最大收益的同時(shí)承擔(dān)最小的風(fēng)險(xiǎn)，然而眾所周知風(fēng)險(xiǎn)總是與收益并存，高收益總是伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，或者說高收益是對高風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，因此對投資者而言，需要根據(jù)自身所能夠承受的風(fēng)險(xiǎn)及所期望的收益找到二者的一個(gè)平衡點(diǎn)。

由于收益及風(fēng)險(xiǎn)不確定，而進(jìn)行投資所關(guān)心的就是風(fēng)險(xiǎn)與收益，因此有必要利用偏好系數(shù)β將二者結(jié)合起來考慮。通過偏好系數(shù)β，可以將上述的雙目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃，同時(shí)由于考慮到偏好系數(shù)β而投資者可以根據(jù)自身的收益及風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)對投資比例調(diào)整，以增加投資的彈性。

本文采用半絕對偏差函數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)的測度，因此可建立在投資者效用基礎(chǔ)上的投資組合模型如下：

(10)

效用函數(shù)U(x)化簡如下：

(11)

其中

若考慮投資限制，則有如下模型：

(12)

上述模型為一次線性規(guī)劃問題，可通過Matlab、Lingo等軟件求解。

三、模型應(yīng)用

下面以中國股票市場中的實(shí)際數(shù)據(jù)，說明所構(gòu)建區(qū)間值組合投資模型的實(shí)際應(yīng)用。

(一)數(shù)據(jù)的選取

在中國股票市場中選取5種股票，即自2012年6月15日到2013年5月23日共100周的周開盤價(jià)和周收盤價(jià)數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù)來源于通達(dá)信)。

(二)所需要的變量值

(三)投資組合期望收益率的區(qū)間確定

第一步，基于股票100周的周收益率，將其分成10個(gè)子區(qū)間[ai,bi]，然后計(jì)算落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)周收益率的個(gè)數(shù)ni(i=1,2,…,10)。

第二步，ni除以100記為該區(qū)間的隸屬度ξi(i=1,2,…,10)。

所得到5種股票的區(qū)間收益率見表3。

表3 5種股票代碼及收益率區(qū)間表

(四)模型的建立及求解

有了上述的準(zhǔn)備工作，就可將上述數(shù)據(jù)帶入模型，將投資組合模型轉(zhuǎn)化為求下列參數(shù)規(guī)劃問題：

股票名稱b=0b=0．4b=0．6b=0．85b=1中體產(chǎn)業(yè)0．00．00．00．00．0招商銀行0．40．40．40．20．0中國石油0．40．40．40．40．4格力電器0．150．150．00．00．2中國平安0．050．050．20．40．4目標(biāo)函數(shù)值-0．0129-0．0084-0．0061-0．0032-0．0012

由表4可看出，不論市場期望b如何變化，該投資組合最少選擇3支股票進(jìn)行投資，但是有的股票不論市場的期望值b如何變化總是不會(huì)進(jìn)入投資組合當(dāng)中，例如中體產(chǎn)業(yè)，原因在于所選股票的期望收益率不穩(wěn)定，期望收益率的區(qū)間變化范圍較大；而有的股票，不論b取何值其投資比例總會(huì)達(dá)到投資上限，例如表4中的中國石油，其投資比例總是達(dá)到投資上限0.4，原因在于中國石油的期望收益比較平穩(wěn)，其期望收益率的變化范圍在這5種股票中是最小的，其次是招商銀行。

股票名稱b=0b=0．4b=0．6b=0．85b=1中體產(chǎn)業(yè)0．00．00．40．40．4招商銀行0．40．150．00．00．0中國石油0．40．40．1500．0格力電器0．150．40．40．40．4中國平安0．050．050．050．20．2目標(biāo)函數(shù)值-0．0100-0．0044-0．00080．00500．0086

由表5可以看出，對傾向于風(fēng)險(xiǎn)偏好者而言，當(dāng)經(jīng)濟(jì)環(huán)境向好(b值增大)時(shí)，期望收益率波動(dòng)較大的中體產(chǎn)業(yè)進(jìn)入到投資組合當(dāng)中，而期望收益率較平穩(wěn)的中國石油和招商銀行卻被排除在投資組合之外。由此可見，當(dāng)經(jīng)濟(jì)環(huán)境較好時(shí)傾向于風(fēng)險(xiǎn)偏好者會(huì)增加對期望收益率的權(quán)重，進(jìn)而也降低了對風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)重。

對比表4和表5可以發(fā)現(xiàn)：一方面，當(dāng)b值(即投資環(huán)境或投資者的判斷)為0時(shí)，在經(jīng)濟(jì)環(huán)境完全走壞的情況下，不論是傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避還是傾向于風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者，均會(huì)將期望收益率波動(dòng)較大的股票(中體產(chǎn)業(yè))排除在投資組合之外，轉(zhuǎn)而投資于期望收益率波動(dòng)較小的股票(中國石油)；當(dāng)b值為0.4時(shí)，在經(jīng)濟(jì)環(huán)境趨向于走壞的情況下，傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者在對待期望收益率波動(dòng)最大和最小的股票態(tài)度是一樣的，仍然將期望收益率波動(dòng)最大的股票置于投資組合之外，而將期望收益率波動(dòng)最小股票的投資比例達(dá)到上限，但對待期望收益率波動(dòng)較大和較小股票的態(tài)度是不同的：風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者將期望收益率波動(dòng)較小股票的投資比例達(dá)到上限，而傾向于風(fēng)險(xiǎn)偏好投資者卻將期望收益率波動(dòng)較大股票的投資比例達(dá)到了上限；當(dāng)b值為0.85時(shí)，此時(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境向好，傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者對于投資組合的態(tài)度是不同的：風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者此時(shí)仍然不會(huì)投資期望收益率波動(dòng)最大的股票，但會(huì)調(diào)整期望收益率波動(dòng)較小的幾個(gè)股票之間的投資比例，而風(fēng)險(xiǎn)偏好者會(huì)加大對期望收益率波動(dòng)最大股票的投資比例，相應(yīng)地降低了對期望收益率波動(dòng)較小股票的投資比例；當(dāng)經(jīng)濟(jì)環(huán)境完全好轉(zhuǎn)(即b值為1)時(shí)，傾向于風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者將期望收益率波動(dòng)最大股票的投資比例調(diào)整到上限，而將期望收益率較平穩(wěn)的兩個(gè)投資比例調(diào)整到0，但傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的投資者的投資策略則完全不同，隨著經(jīng)濟(jì)環(huán)境的好轉(zhuǎn)，該類投資者也逐步提高在期望收益率波動(dòng)較大股票上的投資比例，但期望收益率波動(dòng)最大的股票仍被排除在投資組合之外。

另一方面，不論是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者還是風(fēng)險(xiǎn)偏好者，其目標(biāo)函數(shù)值均隨著b的增加而增大，而b表示的是投資者的判斷及投資環(huán)境等經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素。在所建立的模型中，b越大表明經(jīng)濟(jì)環(huán)境越好和期望收益率越接近預(yù)期的收益率上限，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)越接近于所能夠承受的風(fēng)險(xiǎn)下限，從而目標(biāo)函數(shù)值就會(huì)越大。同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)于同一個(gè)b值，傾向于風(fēng)險(xiǎn)偏好投資者的目標(biāo)函數(shù)值總是大于傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避投資者的目標(biāo)函數(shù)值(見圖1)。

圖1 效用值隨b變化情況圖

四、結(jié) 論

本文考慮到投資者的效用，用區(qū)間數(shù)來測度投資組合的收益以及用半絕對偏差來衡量投資組合風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建出了一種新的基于效用的區(qū)間值投資組合模型，該模型對組合投資決策不失為一新的投資決策選擇工具，并可得到區(qū)間值規(guī)劃問題的最優(yōu)解；本文又引入了一個(gè)能夠反映市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素的系數(shù)，這樣就可將區(qū)間值規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一般的線性規(guī)劃問題，從而可求得該模型的解；通過結(jié)合中國證券市場一個(gè)組合投資實(shí)例，檢驗(yàn)了該模型的實(shí)用性，由檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，投資者完全可以根據(jù)自己的投資偏好選擇不同的投資比例，同時(shí)也可根據(jù)市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境的不同而調(diào)整自己的投資比例。

[1] Markwitz H.Portfolio Selection[J].The Journal of Finance,1952(1).

[2] Markwitz H.Portfolio Selection:Efficient Diversification of Investments[M].New York：Yale University Press,1959.

[3] 宋鵬,胡永宏.基于已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的高維金融資產(chǎn)投資組合應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇,2017(8).

[4] Zadeh L A.Fuzzy Sets[J].Information and Control,1965(3).

[5] Ramaswamy S.Portfolio Selection Using Fuzzy Decisin Theory[R].Switzerland:Working Paper of Bank for International Settlements,1998.

[6] Tanaka H,Guo P J.Portfolio Selection Based on Upper and Lower Exponential Possibility Distributions[J].European Journal of Operational Research，1999(1).

[7] 高振斌.基于可能度的模糊證券投資組合優(yōu)化模型[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇,2015(5).

[8] 路應(yīng)金,唐小我,周宗放.證券組合投資的區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃方法[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2004(1).

[9] 趙玉梅,陳華友.證券組合投資的多目標(biāo)區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃模型[J].運(yùn)籌與管理,2006(2).

[10] 徐曉寧,何楓,陳榮,張慶芝.允許賣空條件下證券投資組合的區(qū)間二次規(guī)劃問題[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2013(10).

[11] 武可棟,韋增欣.基于效用最大化的投資組合模型[J].中國管理信息化,2017(1).

[12] Christer C,Robert F,Péter M.A Possibilistic Approach to Selecting Portfolios with Highest Utility Score[J].Fuzzy Sets and Systems,2002(1).

[13] Yoon K.The Propagation of Errors in Multiple-attribute Decision Analysis：A Practical Approach[J].The Journal of the Operational Research Society,1989(7)．

[14] Bryson N,Mobolurin A.An Action Learning Evaluation Procedure for Multiple Criteria Decision Making Problems[J].European Journal of Operational Research,1997(2).

[15] Rommelfanger H,Hanuscheck R,Wolf J.Linear Programming with Fuzzy Objective[J].Fuzzy Sets and Systems,1989(1).

[16] 劉新旺,達(dá)慶利.一種區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃的滿意解[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),1999(2).

[17] 達(dá)慶利,劉新旺.區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃及其滿意解[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,1999(4).