均值-LPM模型在發(fā)電商資產(chǎn)組合中的應(yīng)用

周自強(qiáng)，顏 擁，文福拴

（1.國網(wǎng)浙江省電力有限公司電力科學(xué)研究院，杭州 310014；2.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，杭州 310027）

0 引言

在電力市場環(huán)境下，發(fā)電商面臨如何在日前市場、實時市場、合同市場、備用市場等市場中分配發(fā)電量來達(dá)到利益最大化，并且使風(fēng)險最小或者將風(fēng)險控制在一定的范圍之內(nèi)。資產(chǎn)組合理論是研究發(fā)電商資產(chǎn)分配問題的有效方法，文獻(xiàn)[1]首先將資產(chǎn)組合理論應(yīng)用于現(xiàn)貨市場和合約市場的出力分配問題。

在Markowitz均值-方差模型中，風(fēng)險被定義為資產(chǎn)組合期望收益的可能變化，一般用方差或標(biāo)準(zhǔn)差表示[2-3]。用方差或標(biāo)準(zhǔn)差度量風(fēng)險隱含的假設(shè)是投資者對負(fù)的損失和正的收益賦予相同的權(quán)重，對待二者的態(tài)度是相同的。采用收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述風(fēng)險只有在投資者具有二次效用函數(shù)或資產(chǎn)收益率呈正態(tài)分布時才是可行的，而電力市場中資產(chǎn)收益服從哪種分布目前尚無定論，因此亟需一種更有效的度量方法。

文獻(xiàn)[3-8]采用VAR（條件風(fēng)險價值）來度量電力市場中的交易風(fēng)險。文獻(xiàn)[9]按照合同是否受電價波動影響將電力市場中的能量合同分為無風(fēng)險合同和有風(fēng)險合同，分別采用了低于期望值的下半方差和VAR來衡量電價風(fēng)險，討論了在無風(fēng)險合同、有風(fēng)險合同和日前能量市場3種資產(chǎn)中的分配問題。文獻(xiàn)[10]采用VAR描述風(fēng)險，將期望及風(fēng)險構(gòu)成效用函數(shù)，以最大化該效用函數(shù)為目標(biāo)來優(yōu)化發(fā)電商在雙邊合同市場、實時電能市場以及旋轉(zhuǎn)備用市場之間的資產(chǎn)分配問題。但是基于VAR進(jìn)行資產(chǎn)組合選擇時，必須假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布。文獻(xiàn)[11]采用CVAR評估風(fēng)險，最小化CVAR對發(fā)電商在年度合約市場、月度合約市場、日前市場和實時市場中分配資產(chǎn)，但是均值-CVAR模型只滿足二階隨機(jī)占優(yōu)，不與三階或者更高階隨機(jī)占優(yōu)相一致。

Markowitz資產(chǎn)組合選擇模型采用Pearson線性相關(guān)系數(shù)來反映資產(chǎn)收益的相關(guān)性，該系數(shù)僅在隨機(jī)變量服從橢圓分布時才能有效表示隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，且Pearson線性相關(guān)系數(shù)不是根據(jù)隨機(jī)變量聯(lián)合分布度量隨機(jī)變量相關(guān)性的方法，常常導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。因此，在資產(chǎn)的收益率明顯具有非正態(tài)分布特征和非線性相關(guān)時，必須采用合理的方法度量資產(chǎn)收益之間的相關(guān)性。

以下主要研究無風(fēng)險合同、風(fēng)險合同、日前市場3種資產(chǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)發(fā)電商的發(fā)電成本近似為常數(shù)，故只需計算發(fā)電商的總收入而不用分別計算發(fā)電商的收益率來求解資產(chǎn)組合問題。假設(shè)歷史電價數(shù)據(jù)可以表示未來電價的趨勢，但未假設(shè)服從哪種類型的分布，可適用于電價服從非正態(tài)分布的情況。通過闡明期望效用理論、隨機(jī)占優(yōu)理論和收益-風(fēng)險模型之間的關(guān)系，說明了采用 LPM（lower partial moments）比方差、VAR和CVAR等指標(biāo)來度量風(fēng)險更加符合人們的投資心理過程。文中首次采用LPM評估發(fā)電商在電力市場中的交易風(fēng)險，把基于Copula函數(shù)的Kendall相關(guān)系數(shù)作為相關(guān)性度量指標(biāo)，建立了滿足三階隨機(jī)占優(yōu)的均值-2階LPM模型，將資產(chǎn)組合理論應(yīng)用于發(fā)電商的資產(chǎn)分配問題，為電力市場風(fēng)險管理分析提供了新的方法。

1 發(fā)電商資產(chǎn)組合模型

考慮發(fā)電商最基本的資產(chǎn)，包括電力合同、能量現(xiàn)貨和輔助服務(wù)等，把發(fā)電商持有的這些電力產(chǎn)品稱為電力資產(chǎn)。電力市場中能量合同種類很多，從發(fā)電商角度出發(fā)，按照是否受到電價風(fēng)險的影響，將合同分為有風(fēng)險合同（如單向差價合同）和無風(fēng)險合同（如雙向差價合同）2類。文中主要研究無風(fēng)險合同、風(fēng)險合同、日前市場[12-13]，假設(shè)發(fā)電商的資產(chǎn)分配情況不會影響價格的波動。

發(fā)電商的發(fā)電成本可以表示如下：

式中：P為發(fā)電機(jī)組的有功出力；a，b，c為系數(shù)。

（1）無風(fēng)險合同收益率。

（2）風(fēng)險合同。

在電力市場中，有很多類型的風(fēng)險合同，簡單起見，以下只考慮發(fā)電商和ISO（獨立電力調(diào)度機(jī)構(gòu)）的可中斷合同（假設(shè)是基于電力庫的電力市場）。電力系統(tǒng)運行的一個重要特點就是需求和供給必須時刻保持平衡，但是電力需求和供給受到各種不確定性因素的影響，可能出現(xiàn)暫時的不平衡，這就需要中斷用戶的用電或者發(fā)電商的供電?？芍袛嗪贤甘袌霭l(fā)電過剩時，ISO為了降低市場低價風(fēng)險并且控制系統(tǒng)運行成本而提前與發(fā)電商簽訂的合同。

可中斷合同模型如下：

式中：pIn為中斷電價；pa為日前市場電價大于或等于中斷電價時的執(zhí)行電價；pc為日前市場電價小于中斷電價時的執(zhí)行電價。日前市場電價小于中斷電價時的執(zhí)行電價時，可中斷合同的電量不能發(fā)，ISO會給發(fā)電商一定的補(bǔ)償。如果pc=0，則表示發(fā)電商不獲得任何補(bǔ)償，該合同為無補(bǔ)償可中斷合同。

可中斷合同收益率為：

（3）日前市場資產(chǎn)收益率。

值得注意的是，可中斷合同的發(fā)電成本如式（6），合同發(fā)生中斷的概率一般比較小，可中斷合同的發(fā)電成本可看成一個定值。但是這并不意味著可中斷合同的收入風(fēng)險可以忽略，因為一旦合同中斷，在無補(bǔ)償可中斷合同中發(fā)電商得到中斷補(bǔ)償為零，發(fā)電商的收入銳減。

發(fā)電商的總成本等于各項資產(chǎn)成本之和。由式（6）可知，發(fā)電商的總成本可近似為一個定值，因此發(fā)電商的總資產(chǎn)收益率最大問題可以轉(zhuǎn)換為發(fā)電商的總收入最大問題，可由式（7）表示：

2 相關(guān)性度量

目前，最常用的相關(guān)性度量是采用Pearson線性相關(guān)系數(shù)，但是Pearson線性相關(guān)系數(shù)只適用于橢圓分布，只能度量隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系。線性相關(guān)系數(shù)只是在嚴(yán)格遞增的線性變換下才是不變的，但是在嚴(yán)格遞增的非線性變化下是變化的。

2.1 Kendall相關(guān)系數(shù)

Kendall相關(guān)系數(shù)是一種優(yōu)于Pearson的線性相關(guān)系數(shù)的度量方法，隨機(jī)變量相關(guān)性的直觀度量就是度量2個隨機(jī)變量的變化趨勢一致性。如果隨機(jī)變量的變化趨勢相同的程度越大，則隨機(jī)變量間的正相關(guān)性就越強(qiáng)。如果隨機(jī)變量的變化趨勢完全相同，則隨機(jī)變量完全正相關(guān)。如果隨機(jī)變量的變化趨勢完全相反，則隨機(jī)變量完全負(fù)相關(guān)。

假設(shè)2個隨機(jī)向量x和y，Kendall相關(guān)系數(shù)τ的定義為：

式中：x1，x2和y1，y2分別為x和y的2個取值。

顯然，τ（x，y）的取值范圍為[-1，1]。當(dāng) τ（x，y）=0時，表示x和y不相關(guān)。文獻(xiàn)[14]證明了公式（9）：

式中：C（u，v）為隨機(jī)變量（x， y）的 Copula連接函數(shù)； u， v分別為（x，y）的邊緣分布。

2.2 Copula函數(shù)

Copula一詞原意是交換、連接，指把多個變量的聯(lián)合分布與它們的邊緣分布連接在一起的函數(shù)，Copula函數(shù)包含隨機(jī)變量之間的所有相關(guān)信息[15]。

設(shè) n 維隨機(jī)向量（ζ1， ζ2， …， ζn）的聯(lián)合分布為F（x1， x2， …， xn）， 邊緣分布為 F（x1）， F（x2）， …，F(xiàn)（xn）[16]。 則存在 n 維連接函數(shù) C∶[0， 1]n→[0， 1]，對于任意的n維向量X∈Rn，有：

研究發(fā)電商的收益風(fēng)險時，主要考慮收益的下尾風(fēng)險，因此以下采用Clayton Copula的密度函數(shù)。Clayton Copula的密度函數(shù)具有非對稱性，其密度分布呈“L”字型，即上尾低下尾高[17]。Clayton Copula函數(shù)對變量在分布下尾處的變化很敏感，因此能快速捕捉到下尾相關(guān)的變化。

Clayton Copula函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

由式（8）可得Kendall系數(shù)τ和Clayton Copula函數(shù)參數(shù)θ的關(guān)系為[18]：

由于電力市場中，目前對收益率的分布尚無統(tǒng)一認(rèn)識，采用規(guī)范化的CML（極大似然法）對Copula函數(shù)來估計出θ的值，這樣可以避免對邊緣分布函數(shù)的選擇。

3 期望效用理論、隨機(jī)占優(yōu)和投資組合理論

期望效用理論是被廣泛接受的如何在不確定情況下進(jìn)行決策分析的工具。隨機(jī)占優(yōu)理論，其核心內(nèi)容是在對投資者的偏好做出一些基本合理的假設(shè)下，為決策者提供一套投資可行性集合[19]。

隨機(jī)占優(yōu)理論與投資組合理論、期望效用原則關(guān)系密切，隨機(jī)占優(yōu)為均值-風(fēng)險占優(yōu)方法和期望效用原則兩者之間建立了一座橋梁。直接檢驗這個模型是否符合期望效用原則往往比較困難，而檢驗這個模型是否符合隨機(jī)占優(yōu)原則相對容易得多。由于隨機(jī)占優(yōu)原則建立在期望效用原則的基礎(chǔ)上，所以可以通過檢驗均值-風(fēng)險資產(chǎn)組合模型是否符合隨機(jī)占優(yōu)原則來檢驗該模型是否符合期望效用原則。

期望效用理論中，當(dāng)投資者的效用函數(shù)為當(dāng)投資者的效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)非負(fù)時，即投資者在其他條件不變時，總愿意擁有更多的錢，這類投資者適合的有效性準(zhǔn)則是FSD（一階隨機(jī)占優(yōu)）。SSD（二階隨機(jī)占優(yōu)）進(jìn)一步假定效用函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)為負(fù)，它是風(fēng)險厭惡類型投資者的有效性準(zhǔn)則。TSD（三階隨機(jī)占優(yōu)）是DARA（風(fēng)險厭惡系數(shù)遞減）的必要條件，而風(fēng)險厭惡系數(shù)遞減的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義是在投資者財富增加時風(fēng)險投資增加，因為投資者在財富越大后抵抗風(fēng)險能力越強(qiáng)，會傾向于風(fēng)險資產(chǎn)以追求更高的收益。

一般采用資產(chǎn)組合的期望收益率來度量資產(chǎn)組合的收益，而如何度量資產(chǎn)組合的風(fēng)險尚未達(dá)成共識，有很多種度量方法，具體采用哪種度量方法需要結(jié)合實際情況。

文獻(xiàn)[20]證明了一個與（n+1）階隨機(jī)占優(yōu)相一致的風(fēng)險度量方法與n階隨機(jī)占優(yōu)相一致。這表明如果一個風(fēng)險度量方法與高階隨機(jī)占優(yōu)相一致，那么該風(fēng)險測度方法與較低階隨機(jī)占優(yōu)也相一致。因此，一個與較高階隨機(jī)占優(yōu)相一致的風(fēng)險度量方法比一個與較低階隨機(jī)占優(yōu)相一致的風(fēng)險度量方法更適用。

VAR與一階隨機(jī)占優(yōu)相一致，但是VAR與一階隨機(jī)占優(yōu)相一致并不一定與二階隨機(jī)占優(yōu)相一致。CVAR與二階隨機(jī)占優(yōu)相一致。n階-LPM是等級與（n+1）階隨機(jī)占優(yōu)相一致的，二階-LPM是與三階隨機(jī)占優(yōu)相一致的[21]。因此，二階-LPM要比方差、VAR和CVAR更能反映投資者的心理。

4 LPM

4.1 單個資產(chǎn)的LPM

LPM首先在文獻(xiàn)[20，22]中被提出，認(rèn)為只有收益低于風(fēng)險形成參考點T時，才產(chǎn)生風(fēng)險。LPM實際上是將低于T的收益取概率加權(quán)平均值。

連續(xù)形式為：

式中：n是LPM的階數(shù)；F（R）表示資產(chǎn)收益率R的分布函數(shù)。

離散形式為：

式中：K為歷史數(shù)據(jù)樣本的總數(shù)；Rt為第t個歷史數(shù)據(jù)樣本的資產(chǎn)收益率。

風(fēng)險形成參考點T表示投資者對風(fēng)險的心理認(rèn)知，只有當(dāng)收益率小于等于風(fēng)險形成參考點時才會帶來損失。風(fēng)險形成參考點T越高，表示投資者對損失的承受能力越弱。

由于在電力市場中，發(fā)電商和購電商簽訂的合同電量可以看成是無風(fēng)險資產(chǎn)。顯然，風(fēng)險形成參考點應(yīng)該大于或等于無風(fēng)險收益率。因此，根據(jù)LPM的定義可知無風(fēng)險資產(chǎn)的LPM不為零。

階數(shù)n能夠表示在收益率小于風(fēng)險形成參考點T時投資者的風(fēng)險偏好類型。當(dāng)階數(shù)n＜1時，投資者是風(fēng)險喜好型；當(dāng)階數(shù)n=1時，投資者是風(fēng)險中性型；當(dāng)階數(shù)n＞1時，投資者是風(fēng)險厭惡型[23]。在電力行業(yè)，投資者一般不會是風(fēng)險喜好型的，所以階數(shù)n的取值一般大于或等于1。

4.2 資產(chǎn)組合的LPM

根據(jù)LPM的定義式（8）可知，資產(chǎn)組合的LPM計算公式如下：

式中： F（r）為收益率向量 r=（r1， r2， rN）′的聯(lián)合分布函數(shù)；ω=（ω1，ω2，ωN）′為權(quán)重向量。

即使知道收益率向量r的分布函數(shù)，但是式（16）中的權(quán)重向量ω不能從該式中分離出來，所以資產(chǎn)組合的LPM很難像資產(chǎn)組合的方差那樣表示成為權(quán)重向量ω的初等函數(shù)，理論計算還是非常復(fù)雜。

針對資產(chǎn)組合的LPM計算理論上非常困難的問題，人們提出了很多近似的方法。CLPM表示各項資產(chǎn)之間的聯(lián)動關(guān)系，類似于協(xié)方差的概念。非對稱的CLPM算法起源于協(xié)半方差[24]，文獻(xiàn)[25]推廣到N階的LPM。隨后文獻(xiàn)[26]提出了對稱的 CLPM， 即。

式中：ρi，j為資產(chǎn)i和資產(chǎn)j的Person線性相關(guān)系數(shù)。

文獻(xiàn)[27]經(jīng)過實證發(fā)現(xiàn)對稱的CLPM算法要優(yōu)于非對稱的CPLM算法。LPM的量綱是收益率的n次方，而CPLM的量綱是收益率的平方。為了使得對稱的CPLM和LPM的量綱一致，令n=2。同時，采用第二節(jié)介紹的Kendall相關(guān)系數(shù)τ來度量資產(chǎn)間的相關(guān)性，可得到如下改進(jìn)的對稱CLPM公式：

5 均值-LPM模型

文獻(xiàn)[28]給出了不存在無風(fēng)險資產(chǎn)的均值-LPM模型，進(jìn)一步推廣可得到含有無風(fēng)險資產(chǎn)的均值-LPM模型?？傎Y產(chǎn)組合的LPM由無風(fēng)險資產(chǎn)的LPM和風(fēng)險資產(chǎn)的LPM兩部分組成，因此，存在無風(fēng)險資產(chǎn)的均值-LPM模型可以表示為：

式中：μ為風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益率組成的列向量；I為和 ω=（ω1， ω2， ωN）′具有相同維數(shù)的單位列向量；Tr為目標(biāo)收益率；rf為無風(fēng)險資產(chǎn)收益率。矩陣A是由CLPMi，j，n形成的類似于協(xié)方差的矩陣，矩陣中的任意一個元素 Ai，j=CLPMi，j，n。

目標(biāo)收益水平應(yīng)該大于或者等于風(fēng)險形成參考點，因為如果設(shè)定的風(fēng)險形成參考點高于模型的期望收益水平，將會把高于風(fēng)險形成參考點的波動也看成風(fēng)險，顯然與下方風(fēng)險的思想相悖。

6 算例

以美國PJM電力市場中的某個發(fā)電商為例進(jìn)行計算來說明均值-二階LPM模型的可行性，該發(fā)電商擁有2臺火電機(jī)組，每臺容量約197 MW。基于PJM 1998年4月—2008年5月的歷史數(shù)據(jù)，對2008年6月該發(fā)電商的資產(chǎn)采用均值-二階LPM模型進(jìn)行資產(chǎn)組合決策。

目標(biāo)收益應(yīng)大于無風(fēng)險收益小于期望值，因為如果目標(biāo)收益小于無風(fēng)險收益，根據(jù)LPM定義，無論怎么分配這3種資產(chǎn)的比例，資產(chǎn)的LPM總是為零。因此，合理的目標(biāo)收益電價應(yīng)該在無風(fēng)險合同期望電價和日前市場期望電價之間，目標(biāo)收益電價的取值范圍為[50.2， 57.47]（$/MWh）。

取目標(biāo)平均電價和風(fēng)險形成參考點都為52$/MWh。通過歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計可得3種資產(chǎn)的期望電價，由LPM的定義可分別計算出其各自的LPM，詳見表1。

表1 各種資產(chǎn)的平均電價及其LPM

基于歷史數(shù)據(jù)，根據(jù)CML法估計出Clayton Copula函數(shù)的θ為1.18，由式（13）可得風(fēng)險合同月度平均電價和日前市場月度平均電價的Kendall相關(guān)系數(shù)τ為0.371。風(fēng)險合同月度平均電價和日前市場月度平均電價的Person線性相關(guān)系數(shù)為0.148。可見，線性相關(guān)系數(shù)和Kendall相關(guān)系數(shù)的差別很大。

由表2可知，雖然Person線性相關(guān)系數(shù)和Kendall相關(guān)系數(shù)差別很大，但是采用均值-二階LPM模型得到的優(yōu)化結(jié)果的差異性卻比較小。因此，在某些情況下可以采用線性相關(guān)系數(shù)代替Kendall相關(guān)系數(shù)。如果需要精確計算，就應(yīng)該采用Kendall相關(guān)系數(shù)。

表2 各市場的資產(chǎn)比例

基于Kendall相關(guān)系數(shù)計算得到風(fēng)險資產(chǎn)（風(fēng)險合同和日前市場的組合）LPM為1.898（$/MWh）2，而風(fēng)險合同和日前市場的加權(quán)LPM為6.881（$/MWh）2，可見資產(chǎn)組合的分散化風(fēng)險作用。

由圖1可知，無風(fēng)險合同的份額隨著目標(biāo)收益電價逐漸減小。當(dāng)目標(biāo)收益電價小于53$/MWh時，風(fēng)險合同比例從零開始逐漸增大；當(dāng)目標(biāo)收益電價大于或等于56$/MWh時，風(fēng)險合同比例為零。日前市場的份額隨著目標(biāo)收益電價逐漸增大，當(dāng)目標(biāo)收益電價到57.47$/MWh時，發(fā)電機(jī)組將所有的出力都投入日前市場中去才能達(dá)到目標(biāo)收益水平。

圖1 目標(biāo)收益的不同取值對最優(yōu)資產(chǎn)分配比例的影響

為了得到和均值-標(biāo)準(zhǔn)差類似的資產(chǎn)組合的有效前沿，采用總資產(chǎn)組合LPM的開方來表示風(fēng)險，因此可得目標(biāo)收益電價和總資產(chǎn)組合LPM的開方的有效前沿如圖2所示。

圖2 目標(biāo)收益與風(fēng)險之間的關(guān)系

由圖1和圖2可知，隨著目標(biāo)收益增大，風(fēng)險也越來越大。在目標(biāo)收益電價為50.2$/MWh時，將所有的資產(chǎn)全部用于簽訂無風(fēng)險合同，這樣得到的資產(chǎn)組合總LPM為零，即達(dá)到預(yù)期收益時風(fēng)險為零，這符合人們的心理感受。

7 結(jié)語

通過分析發(fā)現(xiàn)發(fā)電商的總成本可近似為一個定值，從而將發(fā)電商的總資產(chǎn)收益率最大問題轉(zhuǎn)換為發(fā)電商的總收入最大問題。通過采用電價代替收益率，就可采用金融中的方法去求解資產(chǎn)組合問題。

采用方差和VAR來度量風(fēng)險去求解資產(chǎn)組合時，通常需要假設(shè)收益率滿足正態(tài)分布，而發(fā)電商的資產(chǎn)收益率分布形式尚未有定論。同時，基于期望效用理論、隨機(jī)占優(yōu)理論和收益-風(fēng)險模型，二階LPM滿足三階隨機(jī)占優(yōu)，是比方差、VAR和CVAR更優(yōu)的一種風(fēng)險度量方法。當(dāng)投資者的財富增加時，投資者的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)減小，追求更大的收益。反之亦然。

針對Pearson相關(guān)性系數(shù)的不足，提出了基于Copula函數(shù)的Kendall相關(guān)性度量指標(biāo)，構(gòu)建了均值-LPM模型對電力資產(chǎn)組合進(jìn)行了研究。最后采用PJM中的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，結(jié)果表明均值-LPM模型能有效分配資產(chǎn)比例并能很好地控制市場風(fēng)險。

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