連玉君

(中山大學(xué) 嶺南學(xué)院，廣東 廣州 510275)

一、隨機(jī)邊界模型簡(jiǎn)介

隨機(jī)邊界模型(Stochastic Frontier Aanalysis，后文簡(jiǎn)稱SFA)由Aigner等(1977)和Meeusen和Broeck(1977)提出，目前已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。Kumbhakar和Lovell(2000)，Murillo-Zamorano(2004)，Coelli等(2005)，F(xiàn)ried等(2008)，Greene(2008)，Kumbhakar和Tsionas(2011)進(jìn)行了非常細(xì)致的綜述。Belotti等(2013)，Kumbhakar等(2015)詳述了多種SFA模型在Stata中的實(shí)現(xiàn)方法。

(一)SFA的基本思想

從理論上講，任何經(jīng)濟(jì)個(gè)體的“實(shí)際產(chǎn)出”都無(wú)法超出“產(chǎn)出邊界”，二者的偏離程度便可視為其效率損失或非效率。假設(shè)一個(gè)廠商在理想狀況下(沒(méi)有任何效率損失)的產(chǎn)出水平為f(z)——給定投入要素z的最大產(chǎn)出，亦稱“理論產(chǎn)出”或“產(chǎn)出邊界”。在現(xiàn)實(shí)中，總是存在各種因素導(dǎo)致效率損失(如工人偷懶、管理不當(dāng)?shù)?，從而使實(shí)際產(chǎn)出q低于產(chǎn)出邊界f(z)，即g

(1)

以上述思想為基礎(chǔ)，可以定義如下模型：

qi=f(zi,β)·TEi

(2)

其中，0

在上述設(shè)定中，f(zi,β)是第i家廠商的“產(chǎn)出邊界”，但并非“隨機(jī)邊界”，因?yàn)榍罢卟⑽纯紤]隨機(jī)因素的影響。例如，對(duì)于兩家各方面特征(包括技術(shù)效率)都相同的廠商，A廠商的產(chǎn)出略低可能只是因?yàn)樗倪\(yùn)氣差一點(diǎn)(如遭遇雷電、CEO車禍意外身亡等)。然而，按照模型(2)的設(shè)定，這種壞運(yùn)氣都會(huì)被歸入TE之中。又如，在實(shí)證分析過(guò)程中，產(chǎn)出變量通常都會(huì)存在衡量偏誤，等式右側(cè)的模型設(shè)定也可能存在偏誤，若這些隨機(jī)偏誤不能得到妥善的處理，都有可能被歸入TE。為此，需要在模型中增加一個(gè)隨機(jī)干擾項(xiàng)，以便“吸收”這些廠商自身無(wú)法控制的隨機(jī)因素，使得TE的設(shè)定更加“干凈”：

qi=f(zi,β)·TEi·exp(vi)

(3)

yi=[f(xi,β)exp(vi)]·TEi

(4)

則“[ ]”中的部分其實(shí)就是所謂的“隨機(jī)邊界”，而所謂“隨機(jī)”是指對(duì)產(chǎn)出邊界的設(shè)定中考慮了隨機(jī)因素的影響。換個(gè)角度來(lái)看，與模型(2)相比，模型(3)將影響效率的因素分成兩類：一類是由生產(chǎn)效率決定的(如管理能力、激勵(lì)機(jī)制等)；另一類則是由那些我們無(wú)法控制的隨機(jī)因素導(dǎo)致的。這種分離的好處在于能使我們對(duì)產(chǎn)出效率的分析更加有針對(duì)性。

對(duì)(3)式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：

ln(qi)=ln{f(zi,β)}+vi-ui

(5)

其中，ui=-ln(TEi)，由于0

TEi=exp(-ui)

(6)

需要說(shuō)明的是，多數(shù)情況下，我們會(huì)施加約束條件cov(ui,vi)=0，即，影響產(chǎn)出邊界周圍的那些隨機(jī)干擾因素v與廠商的技術(shù)無(wú)效率u是彼此獨(dú)立的。換言之，我們假設(shè)生產(chǎn)過(guò)程中的好運(yùn)氣或壞運(yùn)氣完全是隨機(jī)因素，與技術(shù)無(wú)效率無(wú)關(guān)。

圖1非常直觀地呈現(xiàn)了隨機(jī)邊界模型的核心思想。廠商1在生產(chǎn)中遭遇了壞運(yùn)氣，若使用[f(x1,β)-y1]衡量其非效率產(chǎn)出，顯然會(huì)高估其非效率水平。同理，對(duì)于廠商2，不考慮其好運(yùn)氣帶來(lái)的隨機(jī)偏差，則會(huì)導(dǎo)致我們低估其非效率水平。

圖1 隨機(jī)邊界模型釋義(Porcelli，2009)

(二)模型設(shè)定和估計(jì)方法

假設(shè)有k個(gè)投入要素，且產(chǎn)出函數(shù)f(zi,β)是對(duì)數(shù)線性化的(如C-D生產(chǎn)函數(shù)或超越對(duì)數(shù)生產(chǎn)函數(shù))，則：

(7)

在實(shí)證分析過(guò)程中，SFA模型通常采用如下設(shè)定形式：

yi=xiβ+εi,εi=vi-ui

(8)

其中，yi=ln(qi)，xi表示解釋變量構(gòu)成的向量，其中第j個(gè)解釋變量(要素投入)為：xji=ln(zji)，β為相應(yīng)的參數(shù)向量。εi稱為“復(fù)合干擾項(xiàng)”，由兩部分組成：常規(guī)意義上的干擾項(xiàng)v和非效率項(xiàng)u。因此，我們亦可換個(gè)視角來(lái)看待SFA模型。相對(duì)于傳統(tǒng)的線性回歸模型(yi=xi'β+εi)，SFA將干擾項(xiàng)分成了兩個(gè)部分，一部分具有對(duì)稱分布，而另一部分則具有單邊分布(ui≥0)。同時(shí)，假設(shè)cov(xi,εi)=0，即解釋變量既不能與v相關(guān)，也不能與非效率項(xiàng)u相關(guān)，此時(shí)，采用OLS估計(jì)模型(8)可以得到β的無(wú)偏估計(jì)。

以此為基礎(chǔ)可以定義出如下三類典型的SFA模型：

(1)正態(tài)-半正態(tài)模型(Normal/half-normal model)：

(9)

(2)正態(tài)-截?cái)嘈桶胝龖B(tài)模型(Normal/truncated-normal model)：

(10)

(3)正態(tài)-指數(shù)模型(Normal/exponential model)：

(11)

其中，指數(shù)分布ui～Exp(σu)的密度函數(shù)為fu(ui)=θexp(-θui),θ=1/σu,ui≥0。需要說(shuō)明的是，ui的標(biāo)準(zhǔn)差為σu=1/θ。

最后需要說(shuō)明的是，為了獲得參數(shù)的無(wú)偏一致估計(jì)量，在上述模型中都會(huì)附加約束條件，即u和v不相關(guān)，而二者與x亦不相關(guān)。無(wú)論對(duì)于上述何種設(shè)定，雖然復(fù)合干擾項(xiàng)εi的分布都是非對(duì)稱的，但其密度函數(shù)卻可以很容易地推導(dǎo)出來(lái)，這使得上述模型都可以采用MLE進(jìn)行估計(jì)。③

(三)效率非效率的估計(jì)

根據(jù)(4)，我們可以將效率定義如下：

(12)

(13)

Jondrow等(1982)認(rèn)為可以直接用1-E(ui|εi)估計(jì)效率。Battese和Coelli(1988)指出，對(duì)于正態(tài)-半正態(tài)分布模型而言，技術(shù)效率(TEi)的最佳估計(jì)式為：④

(14)

二、異質(zhì)性隨機(jī)邊界模型

在傳統(tǒng)的線性回歸模型中，異方差的影響比較有限，此時(shí)估計(jì)量仍然是無(wú)偏且一致的，但缺乏有效性。然而，在SFA模型中異方差的影響要嚴(yán)重得多。在前文介紹的SFA模型中，復(fù)合干擾項(xiàng)通常都較為復(fù)雜。例如，在模型(15)中，復(fù)合干擾項(xiàng)中的常規(guī)的干擾項(xiàng)v和非效率項(xiàng)u都有可能存在異方差，從而影響系數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷的有效性。

考慮如下“正態(tài)-截?cái)嘈桶胝龖B(tài)”SFA模型：

(15)

(16)

(17)

事實(shí)上，異質(zhì)性設(shè)定的主要目的是研究非效率(平均值)及其不確定性(方差)的影響因素。核心參數(shù)是?i，它決定了偏離產(chǎn)出邊界的位置(無(wú)效率水平的期望值)，文獻(xiàn)中通常將其設(shè)定為一系列可能影響非效率水平的變量的線性函數(shù)(?i的取值沒(méi)有特定限制)：

?i=ziγ

(18)

例如，設(shè)定?i=γ0+γ1z1i+γ2z2i，其中，z1i和z2i是可能影響非效率的變量，如公司規(guī)模、所有權(quán)性質(zhì)等。⑥

對(duì)于面板數(shù)據(jù)模型而言，亦可采用上述設(shè)定方式。例如，Battese和Coelli(1995)、Habib和Ljungqvist(2005)設(shè)定γ=0，φ=0，重點(diǎn)分析了影響效率水平的因素；Hadri(1999)則設(shè)定γ=0，λ=0，重點(diǎn)研究了影響效率不確定性的因素；Wang(2003)、連玉君和蘇治(2009)則僅設(shè)定γ=0，采用了更為一般化的異質(zhì)性設(shè)定。

多數(shù)研究都集中于對(duì)?it的異質(zhì)性設(shè)定。Wang(2007)應(yīng)用Battese和Coelli(1992，1995)模型研究了30個(gè)國(guó)家的R&D效率，其中，?it設(shè)定為國(guó)內(nèi)R&D支出、PC使用率以及經(jīng)濟(jì)自由度的線性函數(shù)。白俊紅等(2009)采用相似的方法研究了1998～2007年中國(guó)30個(gè)省份研發(fā)創(chuàng)新效率。Kumbhakar等(2012)應(yīng)用異質(zhì)性SFA研究了歐洲公司研發(fā)效率的影響因素。

有關(guān)SFA異質(zhì)性設(shè)定的更詳細(xì)的介紹可以參考Greene(2008)、Kumbhakar和Lovell(2000)以及Kumbhakar等(2014)。

(一)模型設(shè)定問(wèn)題

在上述異質(zhì)性設(shè)定中，wi和zi中的變量可以有重合或者完全相同，因?yàn)槎叻謩e是影響效率水平和效率不確定性的因素。例如，Wang(2003)在研究融資約束對(duì)臺(tái)灣上市公司投資行為的影響時(shí)，便設(shè)定wi=zi，包括現(xiàn)金流與資本存量的比值和總資產(chǎn)的自然對(duì)數(shù)兩個(gè)變量。

然而，對(duì)于(wi,zi)與si中的變量是否能重合則沒(méi)有明確的判斷依據(jù)。一方面，在本文所提及的SFA模型中，都需要假設(shè)u和v不相關(guān)以便能識(shí)別參數(shù)，這意味著(wi,zi)與si中的變量要盡可能不重合；另一方面，由于si只是出現(xiàn)在v的方差中(二階矩)，而非其均值部分(一階矩)，所以即使(wi,zi)與si中的變量重合也不必然導(dǎo)致u和v相關(guān)。當(dāng)然，目前尚未有文獻(xiàn)對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行專門討論。

按照相似的思路，便會(huì)很自然地想到另一個(gè)更為重要的問(wèn)題：那些出現(xiàn)在產(chǎn)出邊界函數(shù)中的變量能否出現(xiàn)在非效率項(xiàng)或普通干擾項(xiàng)的異質(zhì)性設(shè)定中，即，x和w，z，s中的變量能否重合？如果可以的話，就相當(dāng)于違反了干擾項(xiàng)與x不相關(guān)的原假設(shè)；若不能的話，又與經(jīng)濟(jì)常識(shí)相矛盾，因?yàn)楹芏嘧兞渴峭瑫r(shí)影響產(chǎn)出和效率的。這是尚待解決的問(wèn)題。

(二)一步估計(jì)和兩步估計(jì)

使用SFA模型的一個(gè)主要目的是研究影響效率的因素，早期的文獻(xiàn)主要使用兩步法(two-stage approach)，而近期的文獻(xiàn)則主要使用一步法。

兩步法的第一步是估計(jì)SFA模型并得到TE的估計(jì)值，在第二步中再以TE為被解釋變量與理論上可能影響效率的因素進(jìn)行回歸分析。⑦這種處理方式主要存在如下兩個(gè)方面的問(wèn)題：其一，研究假設(shè)前后矛盾。在第一階段的分析中，需要假設(shè)無(wú)效率項(xiàng)u是獨(dú)立同分布的，即iid，唯有如此才能使用Jondrow等(1982)提出的方法估算效率值TE。然而，在第二步中，TE被設(shè)定為一系列公司特征變量的函數(shù)，這意味著TE并不是獨(dú)立同分布的，這與第一步中的假設(shè)相矛盾(Coelli等，1998；Kumbhakar和Lovell，2000；Greene，2005b)。Wang和Schmidt(2002)的Monte Carlo模擬分析表明，相對(duì)而言，一步估計(jì)法更為可靠。

三、面板隨機(jī)邊界模型

使用面板數(shù)據(jù)資料進(jìn)行SFA分析有幾個(gè)主要的優(yōu)點(diǎn)：其一，由于擁有兩期以上的資料，我們可以控制那些不可觀測(cè)的個(gè)體效應(yīng)，而采用截面數(shù)據(jù)則無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，從而導(dǎo)致效率的估計(jì)有偏；其二，利用面板資料可以分析效率的時(shí)序變化特征，這也是效率分析的一個(gè)重要研究主題，而使用截面數(shù)據(jù)則只能分析個(gè)體之間的差異；其三，面板資料的樣本量較大，是我們可以獲得更為有效的統(tǒng)計(jì)推斷。

(一)早期模型

前面介紹的基于截面數(shù)據(jù)的模型可以直接用在面板數(shù)據(jù)上，類似于線性回歸模型的Pooled OLS，但這并未充分利用面板數(shù)據(jù)提供的信息。考慮如下面板-SFA模型：

(19)

1.效率非時(shí)變模型

此類模型假設(shè)無(wú)效率項(xiàng)u不隨時(shí)間變化，即uit=ui。例如，Pitt和Lee(1981)(簡(jiǎn)稱PL81)將ui視為隨機(jī)變量，提出了RE-SFA模型；而Schmidt和Sickles(1984)(簡(jiǎn)稱SS84)則將ui視為非隨機(jī)變量(即N-1個(gè)虛擬變量)，提出了FE-SFA模型。無(wú)論是FE-SFA還是RE-SFA，本身都只能捕捉非效率的長(zhǎng)期變化(persistent component)，而無(wú)法反映隨時(shí)間變化的非效率項(xiàng)。⑧

2.效率時(shí)變模型。

此類模型允許u隨時(shí)間發(fā)生變化。通常是將uit設(shè)定為ui和一個(gè)反映時(shí)間變化特征的函數(shù)g(t)的乘積，即uit=g(t)·ui。不同模型之間的差別在于對(duì)g(t)函數(shù)的設(shè)定形式不同，如Cornwell等(1990)(簡(jiǎn)稱CSS90)，Lee和Schmidt(1993)(簡(jiǎn)稱LS93)，Kumbhakar(1990)(簡(jiǎn)稱Kumb90)，以及Battese和Coelli(1992)(簡(jiǎn)稱BC92)。

例如，“CSS90模型”設(shè)定如下：

γit=α+xitβ+vit-uit,i=1,2,…,N,t=1,2,…,Ti
αit=ωi+ωi1t+ωi2t2,

(20)

其中，αit=α-uit。該模型的基本思想是把非效率項(xiàng)uit設(shè)定為時(shí)間t的二次函數(shù)，以便捕捉效率的時(shí)間變化特征。

“LS93模型”則將uit設(shè)定成如下形式，以便減少待估參數(shù)：

uit=g(t)·u

(21)

其中，g(t)表示一組時(shí)間虛擬變量。這種模型設(shè)定方式僅需估計(jì)較少的參數(shù)，但靈活性卻降低了很多，因?yàn)樯鲜鲈O(shè)定意味著在同一年度上所有個(gè)體的效率都相同。

“Kumb90模型”只需兩個(gè)參數(shù)，但對(duì)非效率項(xiàng)的設(shè)定卻非常靈活：

uit=g(t)·ui=[1+exp(γt+δt2)]-1·ui

(22)

其中，γ決定了效率水平的高低，δ決定了效率變化速度的快慢。

“BC92模型”亦稱為“時(shí)間衰減(time decay)”模型，在文獻(xiàn)中應(yīng)用最為廣泛。⑨

uit=g(t)·ui=exp[-γ(t-Ti)]·ui

(23)

其中，Ti表示第i個(gè)個(gè)體中的最大時(shí)間長(zhǎng)度。η稱為延遲參數(shù)，用以衡量非效率項(xiàng)隨時(shí)間的下降程度。若η<0則表示隨著時(shí)間的推移，非效率程度在增強(qiáng)。由于在最后一期t=Ti，因此，對(duì)于公司i而言，最后一期的非效率程度即為該公司非效率程度的比較基準(zhǔn)。

(二)TFE-SFA模型

(24)

其中，αi表示不隨時(shí)間變化且不可觀測(cè)的個(gè)體效應(yīng)。

該模型由Greene(2005a)正式提出，為了區(qū)別于早期的FE-SFA模型，他將該模型命名為“真正的固定效應(yīng)模型”，簡(jiǎn)稱TFE-SFA(True Fixed Effect SFA)。為了克服TFE模型存在的冗余參數(shù)問(wèn)題，Wang和Ho(2010)將非效率項(xiàng)uit設(shè)定為ui和一個(gè)公司特征變量函數(shù)的乘積，稱為縮放因子模型，該模型的優(yōu)點(diǎn)在于可以事先通過(guò)組內(nèi)去心或一階差分去除個(gè)體效應(yīng)，進(jìn)而使用MMLE(Marginal MLE)進(jìn)行估計(jì)。Chen等(2014)，Belotti和Ilardi(2017)則在更為寬松的假設(shè)條件下提出了“一階差分一致估計(jì)量”。但是由于差分后的邊際極大似然函數(shù)沒(méi)有解析解，需要使用蒙特卡羅模擬進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，稱之為模擬邊際極大似然估計(jì)法(MMSLE方法)，缺點(diǎn)是計(jì)算所耗時(shí)間較長(zhǎng)。

四、其他模型

(一)雙邊隨機(jī)邊界模型

在傳統(tǒng)的SFA模型中，實(shí)際產(chǎn)出始終是小于理論產(chǎn)出的。但在有些情況下，我們關(guān)注的y變量可以高于，也可能低于其理論上的最優(yōu)值y*。如一個(gè)人的體重、公司的投資支出、政府的財(cái)政支出等。以公司投資為例，y>y*稱為過(guò)度投資，反之則為投資不足。此時(shí)可以使用雙邊隨機(jī)邊界模型(two-tier SFA)來(lái)估算投資不足率和過(guò)度投資率。該模型由Kumbhakar和Christopher(2009)提出，并將應(yīng)用于研究工資議價(jià)問(wèn)題。模型設(shè)定如下：

yi=xiβ+εi
εi=vi+wi-ui

(25)

雙邊隨機(jī)邊界模型在諸多領(lǐng)域得到了應(yīng)用：Lian和Chung(2008)用該模型研究了中國(guó)上市公司的投資效率；盧洪友等(2011)用該模型估算了中國(guó)醫(yī)療市場(chǎng)中的信息不對(duì)稱程度；劉海洋等(2013)運(yùn)用2006年海關(guān)進(jìn)出口交易數(shù)據(jù)，估算了中國(guó)國(guó)有企業(yè)的國(guó)際議價(jià)能力。

(二)考慮內(nèi)生性和門檻特征的SFA模型

在多數(shù)面板SFA模型中，都假設(shè)樣本中的所有公司具有相同的生產(chǎn)函數(shù)。然而，個(gè)體異質(zhì)性(包括技術(shù)水平、生產(chǎn)模式、經(jīng)理人特征等)，以及外部環(huán)境(如監(jiān)管制度、法律保護(hù)、文化等)的差異都會(huì)導(dǎo)致這一假設(shè)無(wú)法滿足，從而導(dǎo)致效率估計(jì)值有偏。前面介紹的TFE，TRE，G-TRE以及對(duì)應(yīng)的異質(zhì)性設(shè)定模型都在嘗試刻畫(huà)上述公司內(nèi)部和外部的異質(zhì)性。

一個(gè)較為常用的方法是根據(jù)一些先驗(yàn)的指標(biāo)(如公司規(guī)模、所有權(quán)性質(zhì)、行業(yè)歸屬等)把樣本公司分成兩組或多組，分別針對(duì)每個(gè)子樣本組估計(jì)SFA模型，并對(duì)比組間系數(shù)或效率差異。這是處理組間異質(zhì)性的一個(gè)典型做法。然而這種做法的局限性也很明顯。其一，分組界點(diǎn)的確定往往是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)外生確定的。其二，子樣本的特征可能與分組變量密切相關(guān)，這意味著分組變量本身可能是內(nèi)生的，與最初的外生性假設(shè)相矛盾(Lai，2013)。

針對(duì)第一個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)中提出了馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換SFA模型(Tsionas和Kumbhakar，2004)、門檻SFA模型(Tsionas等，2017；Yélou等，2010；Wang和Huang，2009)。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，Greene(2010)、Kumbhakar等(2009)以及Horrace等(2016)提出了考慮樣本選擇偏誤的SFA模型。Lai(2013)則進(jìn)一步將上述兩種特征都納入同一個(gè)模型中，提出了考慮自我選擇偏誤的面板門檻SFA模型，模型的設(shè)定思路非常類似于Hansen(1999，2000)，但進(jìn)一步考慮樣本選擇偏誤。

一般化的內(nèi)生性問(wèn)題在SFA文獻(xiàn)中也逐漸得到重視，例如，Kutlu(2010)將文獻(xiàn)中廣泛應(yīng)用的Battese和Coelli(1992)模型擴(kuò)展為允許包含內(nèi)生變量的情形，并提供了基于MLE的估計(jì)方法。Tran和Tsionas(2013)則進(jìn)一步給出了基于GMM的估計(jì)方法。

在最近的研究中，Griffiths和Hajargasht(2016)基于貝葉斯分析，提供了一種較為一般化的處理SFA中內(nèi)生性的方法。該模型設(shè)定中，允許無(wú)效率項(xiàng)和隨機(jī)干擾項(xiàng)與解釋變量相關(guān)。主要的想法是通過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換將無(wú)效率項(xiàng)轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，進(jìn)而將其期望值設(shè)定為解釋變量的函數(shù)。

Karakaplan(2017)提供了sfkk命令，用于估計(jì)包含內(nèi)生性問(wèn)題的SFA模型。文中提供了多個(gè)范例來(lái)說(shuō)明該命令的使用方法。

(三)零無(wú)效SFA模型

Kumbhakar等(2013)提出了一個(gè)新的模型：零無(wú)效SFA模型(zero inefficiency SFA model，簡(jiǎn)稱ZISF)。這一模型的基本思想類似于零膨脹泊松模型(ZIP，zero inflated poisson model)。傳統(tǒng)的SFA模型假設(shè)樣本中的所有公司都存在不同程度的效率損失，然而，在Kumbhakar等(2013)的模型中，則假設(shè)一部分公司是“零效率損失(zero inefficiency)”的，而另一部分公司則存在非零的效率損失。利用該模型可以檢驗(yàn)樣本是否存在零無(wú)效公司。在傳統(tǒng)SFA模型中，由于設(shè)定非效率項(xiàng)服從半正態(tài)分布或指數(shù)分布，相當(dāng)于先驗(yàn)地假設(shè)樣本公司都存在一定程度的效率損失，因?yàn)樵谶@些分布函數(shù)設(shè)定下，無(wú)效率項(xiàng)為零的概率為0。ZISF是介于OLS和SFA的一般化模型。因?yàn)椋绻麡颖局械乃泄径际峭耆行实?，則ZISF便轉(zhuǎn)變成傳統(tǒng)的OLS回歸；若所有公司都存在一定程度的效率損失，則ZISF便轉(zhuǎn)變成傳統(tǒng)的SFA模型。

除了上述模型，文獻(xiàn)中還提出了SUR-SFA模型(Lai和Huang，2011)、考慮衡量偏誤的SFA模型(Chang等，2012)。

五、隨機(jī)邊界分析的Stata實(shí)現(xiàn)

(一)Stata中的SFA命令

Stata中提供了一系列命令，可以很方便地進(jìn)行SFA估計(jì)和分析。包括官方命令：frontier，xtfrontier，外部命令：sfcross，sfpanel，sftfe，sfkk，SFA2tier等。

外部命令可以使用ssc install cmdname, replace命令安裝最新版?；蚴褂胒indit cmdname搜索，按照Stata的提示下載，這種方式的好處是可以同時(shí)下載作者提供的范例數(shù)據(jù)Do文檔。

sfcross和sfpanel命令可以完全實(shí)現(xiàn)Stata官方命令frontier，xtfrontier的功能，能夠估算的模型和效率的估算方法也更為豐富。Belotti等(2013)對(duì)這兩個(gè)命令的選項(xiàng)和具體使用方法做了非常細(xì)致的介紹。

sftfe用于估計(jì)Chen等(2014)，Belotti和Ilardi(2017)新近提出的“一階差分一致估計(jì)量”，其幫助文件提供了非常詳細(xì)的Stata范例。而sfkk則用于估計(jì)Karakaplan和Kutlu(2017)提出的內(nèi)生性SFA模型，具體語(yǔ)法格式和范例說(shuō)明參見(jiàn)Karakaplan(2017)。

SFA2tier用于估計(jì)第3節(jié)介紹的雙邊隨機(jī)邊界模型，由筆者編寫(xiě)，相關(guān)應(yīng)用參見(jiàn)盧洪友等(2011)。

下面通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行說(shuō)明。對(duì)于截面數(shù)據(jù)，可以使用sfcorss命令實(shí)現(xiàn)本文介紹的所有模型；對(duì)于面板數(shù)據(jù)，主要使用sfpanel和sftfe，雖然原理較為復(fù)雜，但操作上與sfcross命令無(wú)異。我們以Stata手冊(cè)中的范例數(shù)據(jù)frontier1.dta為例進(jìn)行說(shuō)明。

L1．webusefrontier1．dta，clearL2．globaly＂lnoutput＂ //yL3．globalx＂lnlaborlncapital＂ //x1x2L4．sfcross＄y＄x，distribution(hnormal) //Eq．(9)L5?-效率估計(jì)1：Jondrowetal．(1982，JLMS1982)L6．predictte＿jlms，jlms //TE=1-E(u|e)，Eq．(13)L7?-效率估計(jì)2：BatteseandCoelli(1988，BC88)L8．predictte＿BC88，bc //TE=E[exp(-u|e)]，Eq．(14)L9?-超越對(duì)數(shù)生產(chǎn)函數(shù)L10．sfcross＄yc．(＄x)##c．(＄x) //Eq．(26)L11?-異質(zhì)性SFAEq．(15)-(18)L12．sfcross＄y＄x，d(tn)emean(size)vsigma(lncapital)usigma(lnlabor)

第L4行的命令用于估計(jì)(9)式中的“正態(tài)-半正態(tài)”SFA模型。其中，非效率項(xiàng)的分布函數(shù)是由選項(xiàng)distribution(hnormal)來(lái)確定的，可以簡(jiǎn)寫(xiě)為d(hn)。若將其改為d(tn)或d(e)，則分別對(duì)應(yīng)模型(10)和(11)。完成估計(jì)后，可以使用predict命令獲得效率估計(jì)值，參見(jiàn)L6和L8。若將使用超越對(duì)數(shù)生產(chǎn)函數(shù)(26)，則可用Stata中的因子變量語(yǔ)法(help fvvarlist)進(jìn)行設(shè)定，寫(xiě)法見(jiàn)L10。

在L12中，我們?cè)O(shè)定了一個(gè)一般化的異質(zhì)性SFA模型，對(duì)應(yīng)(15)-(18)式。選項(xiàng)emean(size)用于設(shè)定(18)式中的z變量，即?i=γ0+γ1sizei。vsigma()和usigma()選項(xiàng)用于設(shè)定(16)和(17)式中的s和w變量。至于這三個(gè)選項(xiàng)該如何組合使用，請(qǐng)參閱第2節(jié)。

(二)實(shí)操中需要考慮的問(wèn)題

1.模型設(shè)定問(wèn)題

在多數(shù)SFA模型設(shè)定中，被解釋變量和解釋變量都應(yīng)采用對(duì)數(shù)形式(Stata15 Manual[R])。這是因?yàn)?，雖然模型(7)是文獻(xiàn)中慣用的模型設(shè)定形式，但它是模型(3)的對(duì)數(shù)線性化。唯有如此，才能保證(6)式定義的效率表達(dá)式具有正確的經(jīng)濟(jì)含義。

誠(chéng)如Greene(2008)所言，在SFA文獻(xiàn)中，函數(shù)形式的選擇通常被視為技術(shù)層面的問(wèn)題，并未得到太多關(guān)注。以文獻(xiàn)中廣泛使用的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為例，雖然經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后該模型具有很好的線性形式，但也隱含著非常嚴(yán)格的假設(shè)條件，如在給定要素價(jià)格的前提下，要素的需求彈性(demand elasticities)和要素份額(factor shares)均為常數(shù)，且要素的替代彈性均為-1。為了放松這些假設(shè)條件，我們可以使用更為靈活的“超越對(duì)數(shù)生產(chǎn)函數(shù)”，通過(guò)在模型中加入二次項(xiàng)來(lái)捕捉要素的交互影響和潛在的非線性關(guān)系(Kumbhakar，1989)：

(26)

2.分布函數(shù)的選擇

對(duì)于SFA分析而言，由于非效率項(xiàng)通常都被視為干擾項(xiàng)的一部分，因此非效率項(xiàng)的分布函數(shù)的設(shè)定雖然會(huì)在一定程度上影響效率的估計(jì)值，但起決定性作用的仍然是對(duì)模型主體部分的設(shè)定(即對(duì)產(chǎn)出函數(shù)的設(shè)定)，這需要做非常深入的理論分析，并結(jié)合前期文獻(xiàn)選擇模型的形式和核心變量的衡量方法(Greene，2005a)。在實(shí)證分析過(guò)程中，將無(wú)效率項(xiàng)ui設(shè)定為半正態(tài)分布或指數(shù)分布并不會(huì)產(chǎn)生太大的影響(Battese和Coelli，1992)。

3.不收斂問(wèn)題

在Stata中，SFA模型是通過(guò)極大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)得到參數(shù)估計(jì)值的，主要采用牛頓-萊布尼茲方法進(jìn)行數(shù)值求解(Stata15 Manual[R])。雖然Stata的數(shù)值求解功能已經(jīng)非常強(qiáng)大，使用戶基本不用自行設(shè)定初始值和步長(zhǎng)，但不收斂也是家常便飯。遇到這種情況，要從如下幾個(gè)方面入手。第一，模型設(shè)定。模型的形式越復(fù)雜，涉及的參數(shù)也就越多，也就越不容易收斂。因此，在保證理論分析合理的前提下，可以先從簡(jiǎn)單的模型設(shè)定入手，在保證收斂的前提下，再逐步提高模型的復(fù)雜度。第二，查驗(yàn)關(guān)鍵變量中是否包含了嚴(yán)重的離群值，若有則可以考慮使用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換或winsor縮尾處理。第三，變量的精度。在執(zhí)行SFA估計(jì)前，要把所有變量都設(shè)定為雙精度型。

最后，需要特別說(shuō)明的是，所謂“收斂”事實(shí)上有一定的主觀性。Stata中的收斂條件是：兩次擬合的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值之差小等于10-7，或兩次擬合的參數(shù)向量之差小于10-6。如果上述兩個(gè)條件都無(wú)法得到滿足，則Stata在默認(rèn)迭代16000次后即呈現(xiàn)估計(jì)結(jié)果，同時(shí)提示用戶尚未達(dá)到收斂條件。因此，在初步測(cè)試階段，我們可以先設(shè)定較為寬松的收斂標(biāo)準(zhǔn)，以便初步確認(rèn)模型設(shè)定和程序無(wú)誤。這可以使用tolerance(#)或ltolerance(#)選項(xiàng)來(lái)設(shè)定。

4.估計(jì)過(guò)程中的提示信息

MLE擬合過(guò)程中，在有些區(qū)間內(nèi)，對(duì)數(shù)似然函數(shù)的二階偏導(dǎo)是一個(gè)非常平坦的函數(shù)，Stata便會(huì)提示“Not Concave”信息，形如：

Iteration #: log likelihood = . . . (not concave)

有時(shí)Stata會(huì)改變搜索的步長(zhǎng)，以調(diào)整搜索精度，屏幕上則會(huì)提示：

Iteration #: log likelihood = . . . (backed up)

除非上述信息在迭代的最后一步出現(xiàn)，通常不用在意它。

六、簡(jiǎn)要評(píng)述

有關(guān)SFA模型的相關(guān)研究還在不斷深入。主要集中于如下幾個(gè)方面：其一，內(nèi)生性問(wèn)題的研究尚處于起步階段；其二，新近提出的動(dòng)態(tài)SFA模型在分析非效率的長(zhǎng)期和短期效應(yīng)方面非常有用，但相關(guān)的應(yīng)用研究還非常有限；其三，鑒于生產(chǎn)單元之間往往存在較強(qiáng)的互動(dòng)行為，在SFA框架下納入截面相關(guān)或空間相關(guān)就顯得尤為必要。

就實(shí)際應(yīng)用而言，Stata提供的sfcross，sfpanel，sftfe，sfkk，SFA2tier命令能夠估計(jì)文獻(xiàn)中使用最為廣泛的SFA模型，但還無(wú)法很好地支持內(nèi)生性-SFA，門限-SFA，動(dòng)態(tài)-SFA和空間-SFA的估計(jì)。有如下幾點(diǎn)建議：其一，雖然使用SFA的初衷是估計(jì)效率及其影響因素，但基本模型的設(shè)定(即產(chǎn)出邊界函數(shù)的設(shè)定)仍然是非常重要的，這需要做扎實(shí)的理論分析，在不遺漏關(guān)鍵變量的前提下盡可能使用精簡(jiǎn)的模型。其二，不可觀測(cè)的個(gè)體效應(yīng)到底歸入個(gè)體的異質(zhì)性(產(chǎn)出邊界函數(shù)部分)還是無(wú)效率項(xiàng)(干擾項(xiàng)部分)是目前文獻(xiàn)中頗具爭(zhēng)議的問(wèn)題(Greene，2005a)，誠(chéng)如Greene在多篇文章中強(qiáng)調(diào)的，或許二者無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)格的區(qū)分；其三，在第2小節(jié)中介紹的異質(zhì)性設(shè)定方法同樣適用于面板SFA模型，相對(duì)于兩步法，采用這種一步法分析效率的影響因素更為合理。

注釋：

①也可以將ui設(shè)定為形式上更為靈活的伽馬分布，詳情可參見(jiàn)Greene(2008)。我們可以借助Belotti等(2013)編寫(xiě)的sfcross命令估計(jì)“正態(tài)-伽馬”SFA模型.

②詳情參見(jiàn)第2小節(jié)有關(guān)異質(zhì)性SFA模型的介紹.

③詳情參見(jiàn)Greene(2008)以及Stata15手冊(cè)[R]。對(duì)于有興趣自行編寫(xiě)程序的讀者而言，可以采用Stata提供的ml命令定義似然函數(shù)并執(zhí)行估計(jì)。Stata官方命令frontier對(duì)應(yīng)的ado文檔(frontier.ado)，以及相應(yīng)的似然函數(shù)文檔(fron_hn.ado)都存儲(chǔ)于stata安裝目錄下… adoase f文件夾下。Gould等(2010)非常細(xì)致地介紹了如何在Stata中執(zhí)行MLE估計(jì).

④一個(gè)令人遺憾的事實(shí)是，這個(gè)應(yīng)用最為廣泛的TE估計(jì)式并不是一致估計(jì)量，因?yàn)?ui|εi)的方差獨(dú)立于i，意味著其方差不會(huì)隨著樣本數(shù)的增加而減小.

⑥相關(guān)應(yīng)用參見(jiàn)Habib和Ljungqvist(2005)、Wang(2003)、連玉君和蘇治(2009).

⑦Koutsomanoli-Filippaki和Mamatzakis(2010)采用兩步法估計(jì)了效率的調(diào)整速度。第一步采用傳統(tǒng)的SFA模型估計(jì)出TE值，第二步則以TE為被解釋變量，采用動(dòng)態(tài)面板模型估計(jì)調(diào)整速度.

⑧另需說(shuō)明的是，這里所謂的“個(gè)體效應(yīng)”指的是不隨時(shí)間變化的非效率項(xiàng)，而非產(chǎn)出函數(shù)中的個(gè)體效應(yīng)。因此，嚴(yán)格而言，這里的FE或RE并不是面板數(shù)據(jù)文獻(xiàn)中所言的真正意義上的FE或RE.

⑨Kumbhakar和Wang(2005)采用該模型研究了技術(shù)進(jìn)步的追趕效應(yīng)。Kumbhakar和Peresetsky(2013)綜合應(yīng)用了多種Panel-SFA模型分析了俄羅斯銀行業(yè)的效率.

⑩由于每個(gè)公司中包含的樣本區(qū)間(T)都比較短，?i的方差并不會(huì)隨著N的增大而降低.

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