鮑世杰

摘 要：抽屜原理是一個(gè)重要的組合數(shù)學(xué)原理， 也是組合數(shù)學(xué)中最基本的原理，是研究如何將元素分類的一個(gè)原理。它能夠用來解決各種有趣的問題，常常得出一些驚奇的結(jié)論。本文首先簡(jiǎn)要介紹了抽屜原理的簡(jiǎn)單形式及其衍生形式，其次重點(diǎn)論述抽屜原理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及生活領(lǐng)域方面中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：抽屜原理 簡(jiǎn)單形式 衍生形式

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）09（a）-0165-02

1 抽屜原理

設(shè)是n（n≥2）個(gè)非負(fù)整數(shù)，如果，

則必有正整數(shù)k（），使得tk≥2。

可用通俗的語(yǔ)言表述成：如果不少于n+1只鴿子飛進(jìn)n個(gè)籠子，則必有一個(gè)籠子，該籠子里至少有2只鴿子.

抽屜原理的定義非常簡(jiǎn)單，很容易理解，它在解決生活中或者是科研當(dāng)中的數(shù)學(xué)問題可以發(fā)揮很大的作用。使用抽屜原理是首先需要考慮問題自身的特點(diǎn)，根據(jù)不同的問題的特點(diǎn)來使用抽屜原理。主要應(yīng)該著重考慮一下問題是對(duì)哪一些元素進(jìn)行分類，然后根據(jù)所要求解的題目做出分類分類標(biāo)準(zhǔn)，也就是所說的制作抽屜的一個(gè)過程。

2 抽屜原理的應(yīng)用

當(dāng)一個(gè)問題可以使用抽屜原理來進(jìn)行求解的時(shí)候，這個(gè)問題一般不需要經(jīng)過非常多的計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵就是依據(jù)不同問題的自身特點(diǎn)來構(gòu)造出來一些抽屜，通過這樣的方式來使用抽屜原理。

2.1 抽屜原理在幾何中的形狀分割方面的應(yīng)用

如果所解決的問題是有關(guān)幾何圖形的一些位置的分布和研究他們的性質(zhì)的問題，那么就可以采用抽屜原理來進(jìn)行計(jì)算。在我們進(jìn)行使用的時(shí)候最常用的一種做法就是把題目當(dāng)中所給出來的圖形形狀分解成為幾個(gè)部分，然后把這幾個(gè)劃分出來的部分各自當(dāng)成同一個(gè)集合，最后根據(jù)相對(duì)應(yīng)的法則把要求的元素放到集合里面.在進(jìn)行圖形的分割時(shí)，最簡(jiǎn)單明了的方法就是把這些幾何圖形等分成比較常見的圖形，例如劃分成為圓形、正方形。

例1：把13個(gè)點(diǎn)以任意方式散落在一個(gè)邊長(zhǎng)為2m的正方形當(dāng)中。證明：在13個(gè)點(diǎn)里面一定會(huì)有4個(gè)點(diǎn)圍城一個(gè)面積小于或者等于1m2的四邊形。

證明：首先將題目中所給的大正方形平均分成面積是1的比較小的正方形。由13=3×4+1，那么根據(jù)前面的抽屜原理，一定會(huì)有4個(gè)點(diǎn)落在面積是1m2的小正方形內(nèi)部或者是它的邊上。

在上面問題進(jìn)行求解的時(shí)候，我們是把這個(gè)大的正方形分解成為了4個(gè)面積相同的正方形，然后把問題證明了出來。我們也一樣可以把這個(gè)大的正方形分成其他的形狀來求解。

2.2 抽屜原理在整數(shù)的性質(zhì)方面的應(yīng)用

如果需要解決的問題是有關(guān)整除的存在性的問題，那么就可以對(duì)模n進(jìn)行同余分類，然后進(jìn)行構(gòu)造n個(gè)抽屜，也就是把n當(dāng)作模，那么就可以把整數(shù)集分為“余0類”“余1類”，……，“余n一1類”一共n只抽屜，然后應(yīng)用抽屜原理。

例2：證明在自然數(shù)當(dāng)中隨便取5個(gè)整數(shù)，那么不管怎么取，總會(huì)存在3個(gè)整數(shù)的和能夠被3所整除。

證明：無論整數(shù)除以3，剩下的只能是0或1。如果選中的5個(gè)整數(shù)3除剩余的0，1，2，其余都是0，數(shù)字1和2的總和是零的余數(shù)。如果有一個(gè)余數(shù)沒有出現(xiàn)，根據(jù)5=2×2+1，這樣的話，按照抽屜原理的定義，有一個(gè)余數(shù)一定會(huì)出現(xiàn)3次或者是3次以上。所以根據(jù)以上的說明，例題就能夠證明出來。

2.3 抽屜原理在染色問題方面的應(yīng)用

染色問題通常利用顏色來進(jìn)行抽屜的構(gòu)造。

例3：如果在空間黨總的任意位置有6個(gè)點(diǎn)，但是這些點(diǎn)里面隨便3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，把這些點(diǎn)兩兩用一條紅色或者是藍(lán)色的線連起來。試證明：一定可以找到3個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形的三條邊都有相同的顏色。

證明：假如這個(gè)點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F，如果存在的任意3個(gè)點(diǎn)都不在一條線上，那么對(duì)邊選取3個(gè)點(diǎn)就可以組成一個(gè)三角形。隨便去一個(gè)點(diǎn)A和其他的5個(gè)點(diǎn)相連接，那么就可以得到5條線段，AB、AC、AD、AE、AF ，因?yàn)檫@里的5條線段都涂有紅色或者是藍(lán)色，也就是5=2×2+1，根據(jù)抽屜原理可以發(fā)現(xiàn)，這里的5條線段最少會(huì)有3條的顏色是一樣的（如果把顏色表示成為抽屜，線段表示成元素），不如把AB、AC、AD都當(dāng)成是紅色，那么就研究三角形ABC3條邊的顏色，一共會(huì)有兩種情況。

（1）這三條邊里面不全部是藍(lán)色，不管哪一條邊是紅色，那么這個(gè)三角形就是一個(gè)每一條邊都是紅色的三角形。

（2）如果在這個(gè)三角形當(dāng)中沒有紅色的邊線，那么非常的明顯，這個(gè)三角形是一個(gè)每一條邊都是藍(lán)色的三角形。

從上面可以看出來無論是什么樣的一種情況，一定會(huì)有3條邊的顏色都一樣的三角形存在。

2.4 抽屜原理在劃分?jǐn)?shù)組方面的應(yīng)用

例4：從1到12里面隨便選擇7個(gè)數(shù)，那么不管怎樣選取，這7個(gè)數(shù)字里面一定會(huì)有一個(gè)相對(duì)比較大的數(shù)字是另外一個(gè)數(shù)字的整數(shù)倍。

分析：如果想要利用抽屜原理證明，那我就可以把這前面的12個(gè)數(shù)字分成6組，也就是把這12個(gè)元素風(fēng)別放在6個(gè)抽屜里面，然后就可以利用前面所說的抽屜原理來進(jìn)行證明了。

所以現(xiàn)在自然而然地就把問題轉(zhuǎn)化為怎么樣才能夠把這些數(shù)字進(jìn)行有效合理的分組。經(jīng)過觀察我們可以看出來，不管是哪一個(gè)自然數(shù)，它都能夠被一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)2的冪次方的乘積來表示出來。這樣的話，我們將這種表示方法當(dāng)中奇數(shù)部分相同的數(shù)分到一個(gè)組里面，當(dāng)作一個(gè)抽屜。

證明：經(jīng)過研究，12個(gè)數(shù)字可以劃分成下面的幾組：

從上面可以很明顯的看出來，在上面的每一個(gè)抽屜里面都沒有一樣的元素，并且，于是，根據(jù)抽屜原理可以得到，對(duì)于前面的12個(gè)自然數(shù)不管用什么樣的方式從他們里面拿出7個(gè)數(shù)，那么一定會(huì)存在兩個(gè)數(shù)在上面6個(gè)抽屜當(dāng)中的一個(gè)元素，所以，x、y不會(huì)存在這3個(gè)抽屜當(dāng)中，所以想x、y一定是前面3個(gè)抽屜當(dāng)中的一個(gè)，這樣的話，x和y這兩個(gè)數(shù)當(dāng)中較大的數(shù)一定是較小的數(shù)字的整數(shù)倍。

2.5 抽屜原理在等分區(qū)間方面的應(yīng)用

把這種方法往簡(jiǎn)單了說就是指：在一個(gè)長(zhǎng)度是一的線段里面存在有N個(gè)點(diǎn)，如果我們把這個(gè)線段平均分配成為N個(gè)比較小的區(qū)間，那么這樣的話根據(jù)前面所說的抽屜原理，不管怎么劃分，一定會(huì)有兩個(gè)點(diǎn)被劃分在一個(gè)比較小的區(qū)間里面，這樣的話這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離就會(huì)小于或者等于。在我們進(jìn)行不等式的證明的時(shí)候經(jīng)常會(huì)用到這樣的劃分方法。

例5：已知11個(gè)數(shù)，全滿足，證明必有兩個(gè)滿足。

證明： 如圖1，將實(shí)數(shù)軸上介于0與1那段（連同端點(diǎn)）等分為10小段（這10個(gè)小段也就是10個(gè)等分區(qū)間，即10個(gè)抽屜），每一小段長(zhǎng)為。由抽屜原理，11個(gè)點(diǎn)（數(shù)）中至少有個(gè)點(diǎn)落在同一條小線段上，這兩點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)之差的絕對(duì)值。

例6任給7個(gè)實(shí)數(shù)，證明必存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足。

證明： 設(shè)7個(gè)實(shí)數(shù)為，作，顯然，把等分成6個(gè)區(qū)間：，由抽屜原理，必有兩個(gè)屬于同一區(qū)間，不妨設(shè)為，而不論屬于哪個(gè)小區(qū)間都有，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，，不妨記，則，而由（*）知，又因?yàn)橛?，從而有?/p>

如果遇到給定了取值范圍要求證明不等式的問題，我們可以利用把取值范圍拆開的方法來進(jìn)行抽屜的構(gòu)建，就像上面所舉得例子一樣，我們?cè)诘确謪^(qū)間上面很方面的建立了一個(gè)抽屜，然后利用抽屜原理這種方式比較簡(jiǎn)單的證明出了不等式。和其他的不等式的證明方法例如創(chuàng)建一個(gè)函數(shù)的辦法相比較，利用抽屜原理求解更加簡(jiǎn)單快捷，方便。

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