羅志丹

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭，515063）

0 引言

最早關(guān)于復(fù)合算子描述的是Nordgren[1]，結(jié)合解析函數(shù)與泛函分析理論，解決了Hardy空間上的相關(guān)問(wèn)題.再則Cowen和MacClue刻畫(huà)了復(fù)合算子在一些具體函數(shù)空間內(nèi)的有界性和緊性[2].各類(lèi)函數(shù)空間上的復(fù)合算子在接下來(lái)的研究中得出了一些很好的成果[3-4].

近五年來(lái)，關(guān)于復(fù)合算子的研究，著重研究其在各類(lèi)函數(shù)空間上的有界性和緊性.比如與Bloch空間相關(guān)的文獻(xiàn)[5-9]；與Bergman空間相關(guān)的文獻(xiàn)[10-12]；與Zygmund空間相關(guān)的文獻(xiàn)[13-14].

2010年，李頌孝在文獻(xiàn)[5]中得到經(jīng)典微分復(fù)合算子DCφ從Zygmund空間到Bloch空間的有界性和緊性的充要條件.我們討論二階微分復(fù)合算子D2Cφ，為推廣到一般廣義微分復(fù)合算子DmCφ作必要準(zhǔn)備.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

定義微分復(fù)合算子：

2 引理

引理2.1[14]設(shè)f屬于Zygmund空間，則

引理2.2當(dāng)n≥2時(shí)，單位圓盤(pán)上的解析函數(shù)f屬于Zygmund空間，則

證明類(lèi)似文獻(xiàn)[4]中性質(zhì)8，此處省略.

引理2.3設(shè)算子D2Cφ∶Z→B是有界算子，則D2Cφ是緊算子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的有界序列，當(dāng)它在D上內(nèi)閉一致收斂于0時(shí)，有

此引理為文獻(xiàn)[15]中引理2.10特殊情形.

3 主要結(jié)果及其證明

引理3.1設(shè)φ是單位圓盤(pán)D上的解析自映射，則為有界算子的充要條件是同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件

證明：充分性

必要性

因?yàn)镈2Cφ是上的有界算子，則存在常數(shù)C，使得

由函數(shù)φ（z）的有界性及三角不等式，可得

因此，

由D2Cφ的有界性，可得

由上式，可得

結(jié)合不等式（8），條件（2）得證.

選取函數(shù)

由D2Cφ的有界性，可得

由上式得

結(jié)合不等式（7），則（3）得證.

選取函數(shù)

由D2Cφ的有界性，可得

從而

即（1）得證.

引理3.2設(shè)φ是單位圓盤(pán)D上的解析自映射，算子是緊算子的充要條件是算子D2Cφ有界，且同時(shí)滿(mǎn)足

證明：充分性

若算子 D2Cφ有界，且（9）、（10）、（11）成立，由假設(shè)可知，對(duì)于?ε＞0，則?δ∈（0，1），當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足

分別對(duì)A、B項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，

應(yīng)用（4）、（5）和（6）對(duì) B 進(jìn)行估計(jì)

由于當(dāng)k→∞時(shí)，fk在D上的緊子集一致收斂到0，由柯西估值定理，k→∞時(shí)，在D上的緊子集K上有.因此，若k→∞時(shí)，ε任意小，我們得到

根據(jù)引理3.1.1，充分性得證.

必要性

若 D2Cφ是空間上的緊算子，顯然D2Cφ是有界算子，選取D上的點(diǎn)列{zk}k∈N使得當(dāng)k→∞時(shí)，有，也就是，對(duì)任意的ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)k＞N，有.

選取函數(shù)族

即（3.10）成立.

選取函數(shù)

{gk}也是空間上內(nèi)閉一致收斂于0的有界列，故由引理2.3得

所以

即（3.11）成立.

選取函數(shù)

{hk}也是空間上內(nèi)閉一致收斂于0的有界列，由引理2.3得

由（10）、（11）、（12）式得

即（9）成立.

[1]NORDGREN E A.Composition operators[J].Canad J Math，1968，20：442-449.

[2]COWENJRCC，MACCLUER B I.Composition operators on spaces of analytic functions[M].Boca Raton：CRC press，1995.

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