數(shù)學(xué)欣賞視角下提升解題能力的實證研究*

☉江蘇省太倉高級中學(xué) 張 敏

一、提升解題能力的重要意義

與初中數(shù)學(xué)不同，高中數(shù)學(xué)無論是內(nèi)容上還是學(xué)習(xí)難度上都有明顯的提升，知識點繁多，分布分散，使得高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成為了一大難點.又因為數(shù)學(xué)學(xué)科在高考中所占的比重較大，因此也是學(xué)習(xí)的重點.盡管如此，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不是毫無章法的，在解決不同類型的習(xí)題時可以尋找、總結(jié)出規(guī)律.

在教育改革不斷深入的背景下，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不再局限于知識點的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點.數(shù)學(xué)是一門對學(xué)生的邏輯思維能力要求較高的學(xué)科，解題能力在一定程度上能體現(xiàn)學(xué)生的理論知識掌握情況.正因如此，全方位、多途徑地提升學(xué)生的解題能力，才能使得學(xué)生更好地理解高中數(shù)學(xué)知識，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，把不同學(xué)習(xí)階段的內(nèi)容串聯(lián)起來，形成一個完整的知識體系，在這個過程中也能形成適合自己的數(shù)學(xué)解題思想.

二、解題能力提升策略導(dǎo)向

（一）穩(wěn)抓基礎(chǔ)知識，加強理解學(xué)習(xí)

要想提升學(xué)生的解題能力，首先要做的就是強化學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的掌握，加強學(xué)生對基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，做到內(nèi)化于心.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)習(xí)題都是教材中基礎(chǔ)知識點的變換或變形，歸根結(jié)底就是課本上的性質(zhì)或定理，只是加上了具體的數(shù)學(xué)情境.盡管如此，在解決這些數(shù)學(xué)問題的過程中，有相當(dāng)一部分的學(xué)生把這些“變形基礎(chǔ)題”看成難題，這就說明這部分學(xué)生對于課本知識點掌握得不牢固，理解不深刻，看不出習(xí)題的本質(zhì)所在.

在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中，基礎(chǔ)知識都比較簡單，是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的入門資料.盡管如此，在日常的教學(xué)過程中，教師不能忽略了教材基礎(chǔ)知識，一味地求難、求異，只有強化基礎(chǔ)訓(xùn)練，才能使得學(xué)生將理論知識融會貫通，在做題時能較快地想到解題思路.除此之外，數(shù)學(xué)教師在講授過程中也要注意方法，在講解習(xí)題時要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)習(xí)題背后的數(shù)學(xué)概念或基礎(chǔ)定理、性質(zhì)，讓學(xué)生知其然，更知其所以然，提高解題能力.

（二）提升審題能力，明確解題方法

由于中學(xué)生的思維能力尚不發(fā)達，在題干要求比較復(fù)雜時，難免會存在理解不完全甚至理解錯誤的情況.因此，教師在強調(diào)審題的同時，要加強學(xué)生理解能力的培養(yǎng)，從根本上提升學(xué)生的審題能力.比如，蘇教版高中數(shù)學(xué)選修的導(dǎo)數(shù)部分有這樣一題：

（三）知識內(nèi)容為主，思想方法為輔

高中數(shù)學(xué)知識點繁多，融合了代數(shù)、幾何等諸多的知識，難度水平較高，因此對學(xué)生的基礎(chǔ)知識掌握情況以及知識運用能力是較大的考驗.盡管如此，知識點都是成體系的，不同的知識點、不同的習(xí)題都可能存在共通性，題目不同但采用的思想方法可能是相同的.因此，在日常的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師需要從思想方法著手，引導(dǎo)學(xué)生探索、總結(jié)有效的解題思路與解題方法.

1.方程與函數(shù)思想

函數(shù)思想就是對函數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容更深層次的概括，在不等式、數(shù)列、方程等內(nèi)容中均有所體現(xiàn).與函數(shù)思想相關(guān)的，方程思想也是現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的思想方法，也是各地高考命題的重要內(nèi)容.方程思想在各類數(shù)學(xué)計算題中應(yīng)用廣泛，能極大地展現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力.對比各地歷年的高考數(shù)學(xué)試題，筆者發(fā)現(xiàn)方程內(nèi)容占比相當(dāng)大.

綜上，廣大一線數(shù)學(xué)教師要注意學(xué)生函數(shù)思想和方程思想的培養(yǎng).下面是蘇教版數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用實例：

例2 若不等式x2+ax+1≥0在范圍內(nèi)恒成立，試求a的最小值.

方法2：設(shè)函數(shù)y=x2+ax+1，結(jié)合二次函數(shù)圖像分析，注意對稱軸與區(qū)間]的相對位置關(guān)系，分三種情況討論.

方法3：設(shè)函數(shù)y1=x2+1，y2=-ax，可將原問題轉(zhuǎn)化為），可得a≥，即a的最小值為

2.分類討論思想

分類討論的解題思想的依據(jù)就是待解決對象的性質(zhì)和特征，以此為基礎(chǔ)，從多個情況對問題進行劃分，單獨分析，最終匯總得出結(jié)論.這一解題思想的一大特點就是涉及的數(shù)學(xué)知識點比較多，邏輯性與綜合性較強，因此是對學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握程度以及分類思想的直接體現(xiàn).下面以蘇教版教材中的數(shù)列問題為例.

在等差數(shù)列的教學(xué)過程中，根據(jù)公差的正負(fù)情況可以將等差數(shù)列分成遞增數(shù)列、常數(shù)列以及遞減數(shù)列；與此相類似的，對于等比數(shù)列，可以根據(jù)公比q以及首項a的范圍對其進行分類：

如果a1＞0，q＞1或者a1＜0，0＜q＜1，那么該數(shù)列為遞增數(shù)列；

如果a1＞0，0＜q＜1或者a1＜0，q＞1，那么該數(shù)列為遞減數(shù)列；

如果q=1，那么該數(shù)列為常數(shù)列；

如果a1＜0，q＜1，那么該數(shù)列為擺動數(shù)列.

除此之外，在求等比數(shù)列前n項和Sn時，首先需要確定公比q的值是否等于1，若已知條件不能判斷，則需要分成以下兩種情況進行討論：

3.數(shù)形結(jié)合思想

在高中數(shù)學(xué)問題的解決過程中，數(shù)形結(jié)合這一解題思路極為實用.通過這一解題技巧，學(xué)生可以將代數(shù)與圖形有機地結(jié)合起來，運用圖像將題目中的代數(shù)關(guān)系直觀描述.掌握數(shù)形結(jié)合的解題思想，準(zhǔn)確運用圖像與數(shù)量的相互關(guān)系，學(xué)生能厘清條件以及結(jié)論之間的層次關(guān)系，更好地解決這些問題.

【解答過程】題干中的已知函數(shù)可以理解成點（2，3）到動點（cosx，sinx） 的斜率. 因為cos2x+sin2x=1，所以動點（cosx，sinx）圍成的軌跡是一單位圓，原問題也就轉(zhuǎn)化成了點（2，3）到單位圓某一點連線的斜率問題.由圖1可知，最大值與最小值分別出現(xiàn)在兩切線處，解得原函數(shù)值域為y∈

圖1

4.轉(zhuǎn)化思想

在做題過程中，常常會出現(xiàn)條件缺失或者是解題方法明確但解答過程繁雜的情況，這是教師就需要引導(dǎo)學(xué)生換個角度看問題，將問題進行轉(zhuǎn)化，巧妙地解決問題，而不是一味地進行計算.

例4 a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，試判斷長度為a，b，c的三邊組成的△ABC的形狀.

【解答過程】因為a2+b2+c2=ab+ac+bc，

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，

所以（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0.

所以a=b，a=c，b=c，

所以△ABC為等邊三角形.

四、結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)知識是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想與解題能力是關(guān)鍵.為了有效地提升廣大高中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材為依托，從高中學(xué)生核心素養(yǎng)的要求出發(fā)，探索了數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)方法，通過具體數(shù)學(xué)案例詳細(xì)介紹了常見的解題技巧，希冀切實提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，強化高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地思考、學(xué)習(xí)，進而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績.