沈良朵， 王晉寶， 鄒志利， 趙西增

(1. 浙江海洋大學(xué) 港航與交通運(yùn)輸工程學(xué)院, 浙江 舟山 316022; 2. 大連理工大學(xué) 海岸與近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024; 3. 浙江大學(xué) 海洋學(xué)院, 浙江 杭州 310058)

沿岸流作為近岸流的一種，人們很早就已經(jīng)認(rèn)識(shí)這一水動(dòng)力現(xiàn)象[1-3]，從波浪輻射應(yīng)力的概念出發(fā)分析沿岸流，是對(duì)沿岸流研究的重要發(fā)展。該方法認(rèn)為，波浪斜向入射，從深水區(qū)傳到淺水區(qū)，因水深減小引起淺水變形，使得波高增大，最終發(fā)生破碎，而波浪破碎后通過破波帶時(shí)，為平衡輻射應(yīng)力梯度，將沿岸波動(dòng)動(dòng)量轉(zhuǎn)化為時(shí)均沿岸流動(dòng)從而產(chǎn)生了波生沿岸流。劉秋興等[4]指出波浪輻射應(yīng)力對(duì)于近岸風(fēng)暴增減水起著十分重要的作用，鄭金海等[5-6]總結(jié)了波浪輻射應(yīng)力理論的應(yīng)用和研究進(jìn)展，并給出了波浪輻射應(yīng)力張量的垂向變化。對(duì)于規(guī)則波作用下輻射應(yīng)力的計(jì)算，Longuet-Higgins和Stewart[7]已經(jīng)給出成熟的結(jié)果，對(duì)于不規(guī)則波作用下的輻射應(yīng)力，李孟國(guó)等[8]給出了綜合考慮多種變形因素的近岸多向不規(guī)則波傳播數(shù)學(xué)模型，唐軍等[9]考慮到入射波浪的隨機(jī)性，采用JONSWAP[10]波浪譜對(duì)入射處單向不規(guī)則波浪要素進(jìn)行離散，基于拋物型緩坡方程中的波浪勢(shì)函數(shù)等參數(shù)計(jì)算波浪輻射應(yīng)力[11]，并對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。相對(duì)于規(guī)則波，不規(guī)則波更能反映實(shí)際波浪的運(yùn)動(dòng)狀況，本文通過將不規(guī)則波視為一系列規(guī)則波(微幅波)的疊加給出不規(guī)則波作用下輻射應(yīng)力的計(jì)算方法，包含不規(guī)則波輻射應(yīng)力的精確計(jì)算方法和近似計(jì)算方法，并對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行了分析比較，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步用試驗(yàn)結(jié)果[12]對(duì)不規(guī)則波輻射應(yīng)力近似計(jì)算方法中的關(guān)鍵變量波能進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明窄譜情況下，近似計(jì)算方法已有很好的精度，可節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間，從而提高計(jì)算效率。

1 不規(guī)則波輻射應(yīng)力精確計(jì)算方法

本節(jié)通過將不規(guī)則波視為一系列規(guī)則波(微幅波)的疊加來計(jì)算不規(guī)則波的輻射應(yīng)力。首先考慮單向不規(guī)則波，其波面升高可表達(dá)為：

(1)

式中：θi=kix-ωit+εi；Ai為組成波的波幅，由波浪能量譜S(ω)確定；Re表示對(duì)復(fù)數(shù)取實(shí)部。

(2)

圖1 波浪能量譜及其分割Fig.1 Wave energy spectrum and its division

式中：ki和ωi分別為組成波的波數(shù)和頻率；εi為隨機(jī)相位(在0～2π間平均分布)。式(1)是將不規(guī)則波看作一系列規(guī)則波(微幅波)的疊加。各組成波的頻率和波幅由將波能譜分割成寬為Δω的條形的中心頻率和面積確定，見圖1。這里的分割是等間距的，Δω為常數(shù)。

(3)

可得x和y方向的輻射應(yīng)力為

(4)

(5)

由波浪水質(zhì)點(diǎn)的速度勢(shì)函數(shù)

(6)

可得

(7)

(8)

由兩復(fù)數(shù)β1和β2的運(yùn)算公式(式中“*”表示復(fù)數(shù)共軛)

(9)

可得

(10)

(11)

(12)

將式(10)和(12)代入式(4)和(5)可得

(13)

(14)

式中：

對(duì)以α角度入射的行進(jìn)波，可應(yīng)用二維張量坐標(biāo)變換得到相應(yīng)的輻射應(yīng)力張量，此時(shí)

(15)

2 不規(guī)則波輻射應(yīng)力近似計(jì)算方法

上面精確的計(jì)算方法可單獨(dú)考慮不規(guī)則波的每一個(gè)組成波，但每一個(gè)時(shí)間步都要對(duì)各組成波進(jìn)行累積求和，計(jì)算量較大。這里對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化近似，以達(dá)到計(jì)算速度和精度都合適的結(jié)果。該方法是針對(duì)窄波能譜情況，即波譜S(ω)只在峰頻ω附近才有較大數(shù)值。這樣的波譜所對(duì)應(yīng)波面具有明顯波群特征。

由波浪能量譜S(ω)確定波面η(x,t)的表達(dá)式之后，可得波面時(shí)間歷程的包絡(luò)表達(dá)式為

(16)

同樣可近似按規(guī)則波的結(jié)果計(jì)算各時(shí)刻各位置的輻射應(yīng)力，對(duì)以α角度入射的行進(jìn)波，有

(17)

由不規(guī)則波輻射應(yīng)力的計(jì)算表達(dá)式可知，相對(duì)不規(guī)則波輻射應(yīng)力的精確計(jì)算方法，該近似方法得到的輻射應(yīng)力結(jié)果有兩處近似：一處來自式(17)中各時(shí)刻各位置的波能Ew(x,t)的計(jì)算，它是假定初始時(shí)刻的波能以峰頻對(duì)應(yīng)的傳播速度cg向前傳播近似得到；另一處來自式(17)中輻射應(yīng)力計(jì)算表達(dá)式中的波能傳遞率n=(1+2kph/sinh2kph)/2，它是由峰頻對(duì)應(yīng)的波數(shù)近似計(jì)算得到。這種方法以峰頻代替各組成波的頻率，只有在窄波能譜的情況下才有較好的精度。該方法的優(yōu)點(diǎn)是將不規(guī)則波近似看成規(guī)則波計(jì)算，原有的規(guī)則波結(jié)果可直接應(yīng)用，計(jì)算速度比精確的計(jì)算方法要快得多。本文試驗(yàn)中的不規(guī)則波采用JONSWAP譜生成，通過后面的分析可知，試驗(yàn)所生成的不規(guī)則波也為窄波能譜，用該計(jì)算方法能快速達(dá)到較好精度的結(jié)果。

3 兩種計(jì)算方法的分析比較

為了分析不規(guī)則波輻射應(yīng)力近似方法的計(jì)算精度和適用范圍，這里采用改進(jìn)的JONSWAP型譜[10]來生成不規(guī)則波，其表達(dá)式如下：

(18)

(19)

(20)

式中：f為波浪頻率；fp為譜峰頻率；Tp為譜峰周期；TH1/3為有效周期；H1/3為有效波高；γ為譜峰因子；σ為峰型系數(shù)，當(dāng)f≤fp時(shí)，σ取0.07，當(dāng)f>fp時(shí)，σ取0.09。

圖2 不同譜峰因子γ對(duì)應(yīng)的頻譜Fig.2 Spectrum diagrams for different spectral peak factors

圖3 不規(guī)則波輻射應(yīng)力精確計(jì)算結(jié)果與近似計(jì)算結(jié)果比較Fig.3 Comparison between accurate and approximate calculation results of irregular wave radiation stress

為了避免所模擬的組成波波浪頻率成周期性重復(fù)，在各頻率劃分區(qū)間范圍內(nèi)隨機(jī)選取頻率作為該區(qū)間的代表頻率。該譜式的優(yōu)點(diǎn)在于一旦選定γ值，即可由設(shè)計(jì)波要素確定譜形。這里選取3個(gè)譜峰因子γ，其值分別為3.3，5.0和8.0來進(jìn)一步分析比較，其他參數(shù)(TH1/3取1.5 s，H1/3取4.49 cm，水深h=0.045 m，波浪入射方向與岸線法線夾角α=30°)保持不變，由此得到不同譜峰因子γ對(duì)應(yīng)的頻譜圖如圖2所示，譜峰因子γ值越大，相應(yīng)的譜分布越窄。

圖3給出了譜峰因子γ取值為3.3，5.0和8.0時(shí)，經(jīng)初始位置x=0 m處(不規(guī)則波入射邊界處)傳播20 s后，不規(guī)則波輻射應(yīng)力Sxx沿垂直岸方向精確計(jì)算結(jié)果與近似計(jì)算結(jié)果的比較。為衡量不規(guī)則波輻射應(yīng)力近似計(jì)算結(jié)果與精確計(jì)算結(jié)果的接近程度，圖中也給出了采用Wilmott[13]提出的統(tǒng)計(jì)參數(shù)di來加以判斷，參數(shù)di值在0～1之間，值等于1表示二者完全吻合，其值越接近于1，二者結(jié)果越接近，其計(jì)算表達(dá)式為

(21)

由圖3可見，隨著譜峰因子γ值增大，譜分布變窄(圖2)，統(tǒng)計(jì)參數(shù)di值由0.727 9逐漸增大到0.839 9，這表明譜分布越窄，不規(guī)則波輻射應(yīng)力Sxx的近似計(jì)算方法與精確的計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果更為接近。對(duì)于其他方向的輻射應(yīng)力(Syy，Sxy)也有與其一致的規(guī)律，因篇幅所限，這里不再給出?？傮w而言，針對(duì)由JONSWAP譜(譜峰因子γ=3.30)產(chǎn)生不規(guī)則波的試驗(yàn)波況，不規(guī)則波輻射應(yīng)力的近似計(jì)算方法與精確計(jì)算方法的結(jié)果也較吻合，誤差較小(di>0.7)。但進(jìn)一步比較會(huì)發(fā)現(xiàn)，不規(guī)則波波浪從入射邊界(x=0 m)開始傳播至離入射邊界4 m(x=4 m)之間，不規(guī)則波輻射應(yīng)力的精確計(jì)算與近似計(jì)算較為一致，當(dāng)不規(guī)則波波浪從x=4 m位置繼續(xù)向前傳播后，精確計(jì)算方法計(jì)算所得的輻射應(yīng)力結(jié)果相對(duì)近似計(jì)算結(jié)果有更多頻率更高幅值更大的波動(dòng)，這些波動(dòng)能更能精準(zhǔn)地反應(yīng)各時(shí)刻各位置輻射應(yīng)力的實(shí)際狀況，這對(duì)于進(jìn)一步研究沿岸流不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)有重要意義。

4 波能近似計(jì)算方法試驗(yàn)驗(yàn)證

通過由試驗(yàn)[12]所測(cè)波面升高時(shí)間歷程轉(zhuǎn)化得到的波能來驗(yàn)證本文波能近似計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。首先給出由試驗(yàn)測(cè)量得到的波面升高時(shí)間歷程η(t)來確定所對(duì)應(yīng)波能的方法。試驗(yàn)中沿垂直岸方向布置了浪高儀，可以用來記錄各個(gè)位置的波面升高歷程數(shù)據(jù)η(t)，經(jīng)Hilbert變換[10]可得η°(t)，利用A(t)=(η2(t)+η°2(t))1/2可得波浪的波包線，進(jìn)而由Ew(t)=1/2ρgA2(t)可求得浪高儀所在位置隨時(shí)間變化的波能Ew(t)。

數(shù)值計(jì)算中，入射邊界直接取離岸最遠(yuǎn)處第一個(gè)浪高儀(距離岸線22 m)所測(cè)的波面升高時(shí)間歷程數(shù)據(jù)η(t)經(jīng)轉(zhuǎn)化后得到的隨時(shí)間變化的波能Ew(t)，按第2節(jié)中的近似處理方法，假定波群以峰頻向前傳播，由波能量守恒方程可計(jì)算得到任一時(shí)刻任一位置的波能Ew(t)。

圖4 波能近似計(jì)算方法和試驗(yàn)所得的波能濾波后比較Fig.4 Comparison of wave energy after filtering between approximation calculation method and experimental result

圖4給出了不規(guī)則波況(Tp=1.5 s,Hrms=4.49 cm)不同位置計(jì)算得到的波能和試驗(yàn)所測(cè)波面升高經(jīng)Hilbert變換后所得的波能濾波(低通濾波截?cái)囝l率為0.1 Hz)后值的比較。圖4(a)為距離岸線22 m處的波能，同時(shí)也是入射邊界處的波能，二者重合；圖4(b)處于平底地形段，二者吻合較好，相應(yīng)的峰值頻率位置基本重合，能量大小也符合較好；圖4(c)處于平面斜坡地形段，此時(shí)波浪未破碎，二者吻合仍較好，但相對(duì)于平底地形段吻合稍差，表現(xiàn)為相應(yīng)的峰值頻率位置稍有偏差，能量大小偏差也比平底地形段大；圖4(d)處于平面斜坡地形段，此時(shí)波浪已破碎，二者偏差較大，試驗(yàn)結(jié)果中波能的高頻峰值位置和能量大小，在數(shù)值計(jì)算結(jié)果中已很難與其一一對(duì)應(yīng)，但數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本能反映試驗(yàn)結(jié)果中的平均波能?？傮w來說，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，尤其是在波浪破碎以前，這表明波能近似計(jì)算方法假定波群以峰頻對(duì)應(yīng)的波群速度向前傳播是合理的，這其中各位置計(jì)算得到的峰頻時(shí)間點(diǎn)和試驗(yàn)結(jié)果存在較小的時(shí)間差可進(jìn)一步通過修正波群以接近峰頻對(duì)應(yīng)的波群速度向岸傳播來減小誤差，圖4也同時(shí)給出了修正傳播頻率fp=0.5Hz的計(jì)算結(jié)果，由圖4中距離岸線10 m處計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的比較可知，波浪破碎前，修正后計(jì)算得到的峰頻大小及時(shí)間點(diǎn)和試驗(yàn)結(jié)果更加接近。圖4中也給出了波能近似計(jì)算方法及其修正后的結(jié)果相對(duì)于試驗(yàn)測(cè)量轉(zhuǎn)換得到的波能結(jié)果接近程度的統(tǒng)計(jì)參數(shù)di。通過比較可發(fā)現(xiàn)，修正后的di的值大于修正前的結(jié)果，但波浪破碎后沒有得到改善，這和前面描述的結(jié)論一致。故在以后的不規(guī)則波輻射應(yīng)力計(jì)算時(shí)，可采用近似計(jì)算方法來實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，同時(shí)也能得到較好的計(jì)算精度。需要指出的是波浪破碎后，兩種數(shù)值計(jì)算結(jié)果均與試驗(yàn)結(jié)果有較大偏差(di<0.6)，主要是由于波浪破碎能量耗散模型很難準(zhǔn)確地模擬波浪破碎過程所致。

5 結(jié) 語

本文給出不規(guī)則波作用下輻射應(yīng)力的精確計(jì)算方法和近似計(jì)算方法，對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行了分析比較，并用試驗(yàn)結(jié)果對(duì)近似計(jì)算方法中的波能計(jì)算進(jìn)行了進(jìn)一步驗(yàn)證。結(jié)果表明：窄譜情況下，近似計(jì)算方法已擁有較好的精度，可節(jié)省大量計(jì)算時(shí)間，從而大幅提高計(jì)算效率，針對(duì)由JONSWAP譜(譜峰因子γ取3.3以上)產(chǎn)生不規(guī)則波，均可看作是窄譜情況，尤其當(dāng)數(shù)值計(jì)算網(wǎng)格很多，計(jì)算平均沿岸流場(chǎng)時(shí)可直接采用不規(guī)則波輻射應(yīng)力的近似計(jì)算方法。精確計(jì)算方法的計(jì)算速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于近似計(jì)算方法，但它更能精準(zhǔn)地反應(yīng)各時(shí)刻各位置輻射應(yīng)力的波動(dòng)狀況，這能更好地解釋沿岸流運(yùn)動(dòng)過程中某些不穩(wěn)定波動(dòng)現(xiàn)象，對(duì)于進(jìn)一步研究沿岸流不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)有重要意義。

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