劉志浩， 高欽和， 劉準(zhǔn)， 王旭

(火箭軍工程大學(xué) 兵器發(fā)射理論與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710025)

0 引言

隨著公路網(wǎng)的形成，軍用車輛在滿足一定越野性要求的同時(shí)，正朝著承載重型化和行駛高速化的方向發(fā)展，重載子午胎作為與地面直接接觸的部件，其力學(xué)特性直接影響著車輛動(dòng)力及行駛平順性[1]。GL073A子午輪胎是一種重載輪胎，與乘用車輪胎和卡車輪胎相比，具有重型化承載的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于武器發(fā)射平臺(tái)，其平均軸荷在10～13 t，同時(shí)為保證其越野特性，這種輪胎的扁平率較大，如圖1所示，其扁平率κ(胎側(cè)徑向長(zhǎng)度與胎體寬度比值)為0.98.

由于重載輪胎具有氣壓高、阻尼低、花紋粗大、扁平率較大的特點(diǎn)，在滾動(dòng)過程中，胎體將路面不平度激勵(lì)，經(jīng)胎側(cè)傳遞至輪輞，可見輪胎對(duì)于路面不平度激勵(lì)的響應(yīng)主要是面內(nèi)輪胎結(jié)構(gòu)振動(dòng)所引起的，如圖2所示，因此基于輪胎結(jié)構(gòu)模型[2]的振動(dòng)特性分析方法具有重要意義。彈性基礎(chǔ)的柔性胎體模型[3]作為輪胎結(jié)構(gòu)模型的典型代表，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此開展了深入研究?；趶椥曰A(chǔ)的柔性胎體模型[3]具有較寬頻帶的動(dòng)力學(xué)仿真能力，屬于解析模型，其所用參數(shù)可以反映輪胎自身的特性且與工況無關(guān)，并可充分考慮輪胎的材料和幾何非線性[4]，提高了輪胎建模的科學(xué)基礎(chǔ)。

根據(jù)柔性胎體不同的建模方法，基于彈性基礎(chǔ)的柔性胎體模型包括連續(xù)胎體模型和分散質(zhì)量胎體模型，其中，連續(xù)胎體模型包括：忽略彎曲效應(yīng)只考慮拉伸作用的弦模型[5]、考慮彎曲剛度的歐拉梁模型[6]、考慮剪切作用的Timoshenko模型[7-8]、正交各向異性板模型[9]、環(huán)模型[10]、殼模型[11]，但該類模型在應(yīng)用于滾動(dòng)仿真過程中，由于滾動(dòng)速度場(chǎng)和胎體變形之間的耦合，存在計(jì)算過程復(fù)雜、不便于求解的問題，而分布質(zhì)量模型將胎體離散為具有集中質(zhì)量的點(diǎn)，在胎體點(diǎn)間通過具有一定剛度的彈簧相連，該種模型在求解過程中不會(huì)引入偏微分方程求解，因此能夠?qū)崿F(xiàn)仿真精度較高的滾動(dòng)和極端情況下的仿真。Eichler[12]建立了離散點(diǎn)質(zhì)量的輪胎模型用以研究車輛的平順性；Sandu等[13]研究了有限離散點(diǎn)質(zhì)量的柔性胎體模型；商業(yè)模型中，Gipser[14]基于離散點(diǎn)質(zhì)量模型提出并發(fā)展了Ftire模型，采用具有一定彎曲剛度和拉伸剛度的彈性環(huán)結(jié)構(gòu)對(duì)帶束層進(jìn)行描述，可表征輪胎前6階模態(tài)頻率。

重載輪胎由于扁平率較大的特點(diǎn)，導(dǎo)致柔性胎體在300 Hz頻率范圍內(nèi)與胎側(cè)間存在同向和反向的耦合振動(dòng)。針對(duì)基于彈性基礎(chǔ)的連續(xù)梁、環(huán)或殼模型能夠?qū)崿F(xiàn)輪胎高頻特征的分析但不適應(yīng)快速滾動(dòng)求解，而分布質(zhì)量模型能夠?qū)崿F(xiàn)滾動(dòng)快速求解，但模態(tài)頻率預(yù)測(cè)能力有限、無法表征胎體與輪輞間的高頻振動(dòng)傳遞特性，且胎體點(diǎn)間彈簧剛度無法表征與輪胎結(jié)構(gòu)參數(shù)間關(guān)系的問題，因此本文提出考慮胎側(cè)慣性力和非線性分段剛度的彈性基礎(chǔ)柔性梁建模與基于有限差分方法的重載輪胎面內(nèi)剛?cè)狁詈辖７椒ǎ治鲋剌d輪胎的面內(nèi)胎體激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)，驗(yàn)證重載輪胎剛?cè)狁詈夏Ｐ蛯?duì)于面內(nèi)傳遞特性分析的準(zhǔn)確性，為輪胎滾動(dòng)加載奠定模型基礎(chǔ)。

本文的研究思路如圖3所示，將胎側(cè)的慣性力和分段剛度考慮在內(nèi)，利用有限差分方法建立重載輪胎面內(nèi)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型；開展基于試驗(yàn)和解析模態(tài)共振頻率的輪胎結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)研究；分析重載輪胎面內(nèi)振動(dòng)特性，進(jìn)行傳遞特性的解析研究，并開展面內(nèi)錘擊試驗(yàn)，驗(yàn)證剛?cè)狁詈夏Ｐ偷臏?zhǔn)確性。

1 重載輪胎剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模

1.1 面內(nèi)胎面與胎側(cè)耦合動(dòng)力學(xué)建模

假設(shè)：胎面梁各截面的中心慣性軸在同一平面Oxy內(nèi)，外載荷也作用在該平面內(nèi)，梁在該平面作橫向振動(dòng)(微振)，梁的主要變形是彎曲變形，在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。

力平衡方程：

(1)

力矩平衡方程：

(2)

根據(jù)x=Rθ，胎體動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

式中：f為胎側(cè)作用于胎體的彈簧力，f=-kr1(ur-usr)。

建立輪輞固定條件下的胎側(cè)動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

式中：ms為胎體沿圓周方向角密度。

1.2 重載輪胎面內(nèi)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模

利用有限差分方法將胎體單元離散為N個(gè)單元，胎側(cè)與胎體相對(duì)應(yīng)離散為相同數(shù)量單元，如圖7所示。同時(shí)考慮胎體單元間和胎體與胎側(cè)間的相互作用，1階、2階和4階偏微分的差分形式，可表示為

(5)

式中：n表示第n個(gè)單元，1≤n≤N. 則胎體與胎側(cè)耦合模型離散為

(6)

(7)

參照(6)式和(7)式，建立N個(gè)離散單元的胎體與胎側(cè)耦合方程為

(8)

(9)

(10)

式中：

胎體與胎側(cè)剛?cè)狁詈夏Ｐ蜑?N×2N的2階常微分方程，方程中定義了3個(gè)剛度常數(shù)，分別為α1、α2和α3，是與輪胎的幾何參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的，因此該剛?cè)狁詈现剌d輪胎模型可用于定量分析不同幾何參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)輪胎振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

2 重載輪胎剛?cè)狁詈夏Ｐ徒Y(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)及驗(yàn)證

重載輪胎的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括幾何參數(shù)和物理參數(shù)兩部分，其中表1列舉了可通過測(cè)量獲取的參數(shù)，另外胎側(cè)徑向分段剛度kr1、kr2和柔性胎體彎曲剛度EI為待辨識(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

表1 GL073A型重載輪胎幾何與結(jié)構(gòu)參數(shù)

基于重載輪胎的解析和試驗(yàn)?zāi)B(tài)共振頻率，利用遺傳算法(見圖8)，對(duì)(3)式和(4)式中的未知結(jié)

構(gòu)變量進(jìn)行識(shí)別，以實(shí)現(xiàn)間接辨識(shí)重載輪胎剛?cè)狁詈夏Ｐ偷拇▍?shù)Ms、Mt、Kur、Kurs、Kurs和Kus的目的。

2.1 重載輪胎解析模態(tài)共振頻率解

胎面- 胎側(cè)- 輪轂耦合動(dòng)力學(xué)模型為偏微分方程組，利用模態(tài)疊加法，將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為空間和時(shí)間的常微分方程進(jìn)行求解。

令：

(11)

式中：i為模態(tài)階數(shù)；Ri為胎體第i階振型系數(shù)；Rsi為胎側(cè)第i階振型系數(shù)；φ為參考角，φ=0°；ωi為模態(tài)角頻率。

(8)式和(9)式可轉(zhuǎn)化為

(12)

即

(13)

(14)

化簡(jiǎn)為

(15)

解得

(16)

2.2 重載輪胎試驗(yàn)?zāi)B(tài)共振頻率

搭建輪輞固定支撐條件下的重載輪胎胎體- 胎側(cè)- 輪轂耦合模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)，如圖9所示，包括：自由狀態(tài)支撐裝置、力錘及電荷放大器、數(shù)據(jù)測(cè)試系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)。

重載輪胎面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)測(cè)試步驟為：

1)美國(guó)PCB公司333系列振動(dòng)傳感器分別粘貼于輪胎的胎體、胎側(cè)和輪轂；

2)采用遍激勵(lì)的方法，沿胎體17個(gè)點(diǎn)進(jìn)行徑向激勵(lì)，采用德國(guó)B&K公司力錘傳感器和朗斯測(cè)試技術(shù)公司的LC1302電荷放大器，B&K力錘傳感器將錘擊力轉(zhuǎn)化為電荷，后經(jīng)電荷放大器，轉(zhuǎn)化為DEWE43數(shù)據(jù)采集器可識(shí)別的電壓信號(hào)；

3)計(jì)算輪胎標(biāo)準(zhǔn)充氣壓力(p=0.8 MPa)下的胎體徑向激勵(lì)- 胎體徑向響應(yīng)、胎體徑向激勵(lì)- 胎側(cè)徑向響應(yīng)和胎體徑向激勵(lì)- 輪轂徑向響應(yīng)的傳遞函數(shù)，利用最小二乘復(fù)指數(shù)法[15]估計(jì)頻率、阻尼和參與因子，求得的頻率和阻尼如表2所示，圖10列舉了4瓣振型和5瓣振型。

重載輪胎胎體- 胎側(cè)- 輪輞耦合試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果表明：重載輪胎的振型符合諧波特性，在0～180 Hz范圍內(nèi)表現(xiàn)為胎體與胎側(cè)的同向振動(dòng)，在180～300 Hz范圍內(nèi)表現(xiàn)為胎體與胎側(cè)的反向振動(dòng)，如圖10所示。

分析原因：該特性是由于其結(jié)構(gòu)造成的，重載輪胎充氣壓力較大，承載較重，要求胎側(cè)具有較厚的鋼絲簾線層來防止重型承載的爆胎現(xiàn)象，胎側(cè)與胎面的質(zhì)量比增大。當(dāng)路面不平度作用于胎面時(shí)，在胎側(cè)傳遞中，由于重載輪胎具有較大的扁平率，胎側(cè)共振的波長(zhǎng)較大，其發(fā)生共振的頻率會(huì)降低，因此在重載輪胎模態(tài)測(cè)試與動(dòng)力學(xué)建模中需將胎體與胎側(cè)的耦合效應(yīng)考慮在內(nèi)。

表2 胎體- 胎側(cè)- 輪轂振動(dòng)模態(tài)頻率和阻尼

2.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)及驗(yàn)證

遺傳算法的確立分為：基本參數(shù)的確定、變量范圍的確立、選擇算子和系數(shù)的確立、目標(biāo)函數(shù)的確定，如表3所示。

表3 遺傳算法結(jié)構(gòu)參數(shù)

選取重載輪胎胎體與胎側(cè)3～6瓣振型的同向和反向的模態(tài)頻率，如(17)式、(18)式所示：

(17)

(18)

以誤差的均方值優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，如(19)式所示：

(19)

式中：e為解析模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率誤差向量；ei為第i階解析模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率誤差。

遺傳算法優(yōu)化流程如圖11所示，其中優(yōu)化過程中的目標(biāo)函數(shù)變化情況如圖12所示，辨識(shí)的輪胎結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示。

符號(hào)數(shù)值kr16.686×106kr24.431×106EI25.697

為驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性，將基于動(dòng)力學(xué)建模的解析固有頻率和基于試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的試驗(yàn)固有頻率進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖13所示。

圖13表明：1)基于彈性基礎(chǔ)的柔性梁模型理論模態(tài)預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值的誤差在5%以內(nèi)，說明了基于彈性基礎(chǔ)的柔性梁模型對(duì)于分析重載輪胎在0～300 Hz范圍內(nèi)的胎體- 胎側(cè)- 輪輞耦合模態(tài)的可靠性；2)重載輪胎的胎體與胎側(cè)的同向振動(dòng)隨著模態(tài)階數(shù)的升高，收斂于175 Hz；3)重載輪胎的胎體與胎側(cè)的反向振動(dòng)隨著模態(tài)階數(shù)的升高呈指數(shù)增長(zhǎng)。

3 重載輪胎面內(nèi)傳遞特性分析

輪胎的滾動(dòng)和負(fù)載工況的分析[13]均是基于外力產(chǎn)生的胎體變形，而胎體變形又影響輪胎受力的迭代計(jì)算，可見剛?cè)狁詈夏Ｐ偷拿鎯?nèi)振動(dòng)特性分析能力直接決定和影響輪胎滾動(dòng)動(dòng)力學(xué)的研究，因此研究面內(nèi)振動(dòng)特性的解析解，并進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比。

3.1 面內(nèi)剛?cè)狁詈夏Ｐ蛡鬟f特性建模

假設(shè)重載輪胎的阻尼為比例阻尼，引入C，C=αM+βK，α、β分別為質(zhì)量矩陣比例系數(shù)、剛度矩陣比例系數(shù)，則重載輪胎剛?cè)狁詈夏Ｐ蛣?dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為

(20)

對(duì)(20)式兩邊同時(shí)作傅里葉變換，設(shè)U(t)→U(ω)，f(t)→F(ω)，則結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)域方程變?yōu)轭l域方程：

(-ω2M+jωC+K)U(ω)=F(ω)，

(21)

則位移頻響函數(shù)矩陣Hd(ω)為

Hd(ω)=(-ω2M+jωC+K)-1.

(22)

該系統(tǒng)阻尼為比例阻尼，其矩陣可由振型正交性對(duì)角化。根據(jù)振型正交性，有

(23)

式中：Φ為結(jié)構(gòu)振型矩陣，Φ=[φ1,φ2,…,φN]；φi為對(duì)應(yīng)的第i階振型向量。

位移頻響函數(shù)矩陣可表示為

(24)

(25)

3.2 傳遞特性分析

路面不平度激勵(lì)時(shí)直接作用于胎體，因此重載輪胎的振動(dòng)響應(yīng)主要為胎體激勵(lì)作用下的胎體、胎側(cè)和輪輞的響應(yīng)，如圖14所示。圖14中：t1點(diǎn)、t2點(diǎn)和t3點(diǎn)為胎體上的點(diǎn)，t1點(diǎn)與t2點(diǎn)間隔90°，t1點(diǎn)和t3點(diǎn)間隔180°，t4點(diǎn)為胎側(cè)點(diǎn)，與胎體t1點(diǎn)相對(duì)應(yīng)；黑加粗線為力錘激勵(lì)，紅線為振動(dòng)響應(yīng)，以胎體t1點(diǎn)激勵(lì)-t1點(diǎn)響應(yīng)、胎體t1點(diǎn)激勵(lì)- 胎側(cè)t4點(diǎn)響應(yīng)、胎體t2點(diǎn)激勵(lì)-t1點(diǎn)響應(yīng)、胎體t2點(diǎn)激勵(lì)- 胎側(cè)t4點(diǎn)響應(yīng)、胎體t3點(diǎn)激勵(lì)-t1點(diǎn)響應(yīng)和胎體t3點(diǎn)激勵(lì)- 胎側(cè)t4點(diǎn)響應(yīng)6種傳遞特性，來驗(yàn)證重載輪胎面內(nèi)剛?cè)狁詈夏Ｐ捅碚髅鎯?nèi)振動(dòng)傳遞特性的能力。

圖15～圖17列舉了胎體原點(diǎn)和跨點(diǎn)傳遞函數(shù)，分別為胎體t1點(diǎn)、t2點(diǎn)和t3點(diǎn)激勵(lì)下，胎體t1點(diǎn)響應(yīng)的解析和試驗(yàn)傳遞函數(shù)對(duì)比圖。

圖18～圖20列舉了胎體激勵(lì)作用的胎側(cè)振動(dòng)響應(yīng)傳遞函數(shù)，分別為胎體t1點(diǎn)、t2點(diǎn)和t3點(diǎn)激勵(lì)下，胎側(cè)點(diǎn)t4響應(yīng)的解析和試驗(yàn)傳遞函數(shù)對(duì)比圖。

解析和試驗(yàn)傳遞函數(shù)結(jié)果對(duì)比表明：

1)重載輪胎剛?cè)狁詈夏Ｐ皖A(yù)測(cè)的解析傳遞函數(shù)與錘擊試驗(yàn)傳遞函數(shù)相比，在0～300 Hz范圍內(nèi)能夠較好地分析胎體與胎體間、胎體與胎側(cè)間的傳遞特性。

2)解析傳遞函數(shù)與試驗(yàn)傳遞函數(shù)的共振頻率值擬合較好，但解析傳遞函數(shù)在胎體與胎側(cè)1階同向共振頻率值附近，比試驗(yàn)傳遞函數(shù)較高，分析原因：胎側(cè)為分布質(zhì)量，且胎側(cè)的斷面面積為非均勻的，而在模型中考慮為集中質(zhì)量，因此模型中放大了胎側(cè)的慣性力，而胎體與胎側(cè)的1階同向振動(dòng)就是由胎側(cè)的剛度和質(zhì)量決定的。

3)重載輪胎的面內(nèi)振動(dòng)特性由于較大的扁平率，引起胎體與胎側(cè)的耦合振動(dòng)，0～180 Hz為胎體與胎側(cè)的同向振動(dòng)，180～300 Hz為胎體與胎側(cè)的反向振動(dòng)，傳遞函數(shù)方面使得在180 Hz胎體與胎側(cè)的反向1階振動(dòng)頻率附近出現(xiàn)躍升。

4 結(jié)論

本文針對(duì)扁平率接近1的重載輪胎，提出一種面內(nèi)剛?cè)狁詈辖＜疤匦苑治龇椒?，包括?)提出考慮胎側(cè)慣性力和分段剛度的重載輪胎面內(nèi)胎體與胎側(cè)耦合動(dòng)力學(xué)建模方法；2)提出基于有限差分法的重載輪胎面內(nèi)剛?cè)狁詈辖?、參?shù)辨識(shí)及傳遞特性分析方法。

通過理論建模、數(shù)值求解和試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，得到以下結(jié)論：

1)基于胎體與胎側(cè)耦合作用的重載輪胎試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法能夠表征輪胎在0～180 Hz的胎體與胎側(cè)的同向振動(dòng)和在180～300 Hz范圍內(nèi)的反向振動(dòng)，該模態(tài)試驗(yàn)揭示了重載輪胎的胎體與胎側(cè)的耦合特征，為理論分析奠定了基礎(chǔ)。

2)考慮胎側(cè)的慣性力和分段剛度，建立了重載輪胎面內(nèi)彈性基礎(chǔ)柔性梁模型，基于有限差分法建立了重載輪胎剛?cè)狁詈夏Ｐ停⒘嘶谌齾?shù)α1、α2和α3的剛度矩陣，確定了α1、α2和α3與重載輪胎幾何、結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系

3)利用逆向參數(shù)辨識(shí)方法，基于試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)，利用遺傳算法辨識(shí)重載輪胎的結(jié)構(gòu)參數(shù)，以此確定重載輪胎剛?cè)狁詈夏Ｐ偷馁|(zhì)量和剛度矩陣，將剛?cè)狁詈夏Ｐ偷哪B(tài)預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)?zāi)B(tài)值和模態(tài)解析解進(jìn)行對(duì)比，預(yù)測(cè)誤差在5%以內(nèi)，同時(shí)模態(tài)的解析解可以預(yù)測(cè)試驗(yàn)無法測(cè)得的高頻模態(tài)。

4)建立了重載輪胎面內(nèi)剛?cè)狁詈夏Ｐ偷膫鬟f函數(shù)解析模型，通過解析與試驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了該剛?cè)狁詈夏Ｐ湍軌驕?zhǔn)確分析重載輪胎面內(nèi)0～300 Hz范圍內(nèi)的胎體與胎體間、胎體與胎側(cè)間的傳遞函數(shù)。

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