基于奇異值分解的單框架變速控制力矩陀螺角動(dòng)量管理方法*

李 煥，黨慶慶，徐世杰

0 引 言

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，航天任務(wù)的多樣化，各式各樣的姿態(tài)控制裝置應(yīng)運(yùn)而生.目前用于衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)主動(dòng)控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)主要包括推力器、反作用飛輪、控制力矩陀螺等.控制力矩陀螺(CMGs)由高速旋轉(zhuǎn)的動(dòng)量飛輪、支撐飛輪的框架和框架轉(zhuǎn)動(dòng)伺服系統(tǒng)組成.框架轉(zhuǎn)動(dòng)迫使動(dòng)量飛輪的角動(dòng)量改變方向，因而向外提供力矩輸出，CMGs系統(tǒng)向外提供的力矩與支撐其框架伺服系統(tǒng)的力矩器所需輸入力矩之比近似等于陀螺框架轉(zhuǎn)速與航天器姿態(tài)角速度之比，故CMGs具有很高的力矩放大能力.

CMGs從框架轉(zhuǎn)速是否可變可分為單框架控制力矩陀螺(SGCMGs)和變速控制力矩陀螺(VSCMGs).VSCMGs是Ford等人在1997年的AAS/AIAA的飛行力學(xué)專(zhuān)業(yè)會(huì)議上以“框架動(dòng)量輪”的形式首次提出[1].1998年，Schaub等[2]將其命名為VSCMGs.

目前VSCMGs的操縱律設(shè)計(jì)方法在很大程度沿用了SGCMGs的設(shè)計(jì)方法，總體上講，操縱律設(shè)計(jì)方法可分為零運(yùn)動(dòng)操縱律[3]、魯棒操控律[4]、全局優(yōu)化法[5]和變?cè)鲆娌倏v律[6].

當(dāng)VSCMGs僅被用作姿態(tài)控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)時(shí)，既可以像SGCMGs一樣通過(guò)改變角動(dòng)量的方向來(lái)輸出大力矩，也可以像反作用飛輪(RWs)一樣通過(guò)改變角動(dòng)量的大小來(lái)輸出力矩，前者稱(chēng)為CMGs模式，輸出力矩大但力矩精度低；后者稱(chēng)為RWs模式，輸出力矩小但精度高.實(shí)際上，對(duì)于常見(jiàn)的姿態(tài)控制任務(wù)，可以考慮的一種方案是：在大力矩輸出需求時(shí)以CMGs/RWs混合模式執(zhí)行，在小力矩輸出時(shí)逐步鎖死各CMGs框架，從而以獨(dú)立的RWs模式執(zhí)行.其優(yōu)點(diǎn)是，混合模式在完成大力矩輸出的同時(shí)，能夠提供比SGCMGs更高的控制精度；獨(dú)立的RWs模式在完成小力矩輸出的同時(shí)，保證常規(guī)RWs系統(tǒng)的控制精度[7-9].本文圍繞這一方案進(jìn)行詳細(xì)研究.

VSCMGs與SGCMGs相區(qū)別的顯然特點(diǎn)是其轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的可變性[10-11]，若操縱律設(shè)計(jì)不當(dāng)，可能出現(xiàn)部分轉(zhuǎn)子輪速低，使其力矩輸出能力降低，或者部分轉(zhuǎn)子輪速過(guò)高，從而易于飽和的情況，因此希望各VSCMGs的輪速能夠盡量達(dá)到平衡.對(duì)VSCMGs來(lái)講，CMGs模式與RWs模式的比例分配、輪速平衡是操縱律設(shè)計(jì)中需重點(diǎn)考慮的問(wèn)題[12-14].這也是本文重點(diǎn)解決的問(wèn)題.本文提出的方法將VSCMGs的CMGs模式和RWs模式分開(kāi)求解同步輸出，在保證VSCMGs輸出精度的情況下盡量充分的利用VSCMGs的執(zhí)行能力.首先，將指令力矩全部賦予CMGs模式，采用基于奇異值分解的魯棒偽逆操縱律；并且，對(duì)于CMG接近奇異時(shí)奇異方向存在的力矩偏差采用RWs模式進(jìn)行補(bǔ)償；然后，設(shè)計(jì)全局收斂的轉(zhuǎn)速跟蹤率，且參考轉(zhuǎn)速隨著VSCMGs角動(dòng)量的變化而變化.最后，在操縱律中加入死區(qū)補(bǔ)償使所有框架角轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離死區(qū).

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

本文用到以下3個(gè)坐標(biāo)系：慣性坐標(biāo)系fi(oxiyizi)，軌道坐標(biāo)系fo(oxoyozo)和航天器本體坐標(biāo)系fb(obxbybzb).其中，軌道坐標(biāo)系原點(diǎn)固聯(lián)在航天器質(zhì)心o，ozo軸沿當(dāng)?shù)卮咕€指向地心；oxo軸在軌道平面內(nèi)垂直于ozo軸，指向航天器運(yùn)動(dòng)方向；oyo軸按右手定則與oxo,ozo組成正交系，考慮到慣性系的等價(jià)性，假設(shè)在初始時(shí)刻慣性系和軌道系重合.航天器本體坐標(biāo)系與航天器固聯(lián)，原點(diǎn)ob位于航天器質(zhì)心.obxb,obyb,obzb三軸固定在航天器本體上，構(gòu)成右手坐標(biāo)系.當(dāng)航天器本體相對(duì)于軌道坐標(biāo)系的3個(gè)姿態(tài)角為零時(shí)，各軸指向與軌道坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)各軸指向相一致.

1.1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于三軸穩(wěn)定航天器的對(duì)地定向運(yùn)動(dòng)，采用3-1-2轉(zhuǎn)序，參考坐標(biāo)系選為軌道坐標(biāo)系oxoyozo.軌道系到本體系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣為Azxy(ψ,φ,θ)，φ,θ,ψ分別為滾動(dòng)角、俯仰角和偏航角.航天器本體系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的絕對(duì)角速度矢量ωb=[ωbxωbyωbz]T在本體坐標(biāo)系中的分量為

ωb=ωbo+Azxy(ψ,φ,θ)ωo

(1)

單剛體航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程描述為

(2)

式中：Ib為單剛體航天器相對(duì)于其質(zhì)心ob且在本體坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣;Te為作用在航天器上的外力矩.

1.2 VSCMGs系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

圖1 VSCMGs示意圖Fig.1 Schematic diagram of VSCMGs

記轉(zhuǎn)子相對(duì)慣性系的角速度為ωwi，在框架坐標(biāo)系fci(ocigisiti)中，ωwi可表示為

(3)

轉(zhuǎn)子i相對(duì)慣性系的角動(dòng)量在fci中表示

(4)

記框架相對(duì)慣性系的角速度為ωgi，在fci中

(5)

因此fci中框架相對(duì)陀螺質(zhì)心的絕對(duì)角動(dòng)量為

(6)

其中，Igi=diag{Iggi,Igsi,Igti}為第i個(gè)VSCMG的框架相對(duì)陀螺質(zhì)心的慣量矩陣.

VSCMG角動(dòng)量為轉(zhuǎn)子和框架角動(dòng)量之和

(7)

其中，Iwi=diag{Iwgi,Iwsi,Iwti}為第i個(gè)轉(zhuǎn)子相對(duì)于慣性系的慣量矩陣，ωwi為轉(zhuǎn)子相對(duì)慣性系的角速度；Igi={Iggi,Igsi,Igti}為第i個(gè)VSCMG的框架相對(duì)陀螺質(zhì)心的慣量矩陣，ωgi為框架相對(duì)慣性系的角速度.將其轉(zhuǎn)換到航天器本體坐標(biāo)系中為

(8)

陀螺群的總角動(dòng)量為[17]

(9)

(10)

其中，算子d[x]定義為d[x]=diag{x1,x2,…,xn}.

根據(jù)動(dòng)量矩定理可得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(11)

(12)

(13)

式中，C=AtIwsd[Ω],D=AsIws分別為框架轉(zhuǎn)動(dòng)和動(dòng)量輪轉(zhuǎn)子速度變換引起角動(dòng)量大小變化產(chǎn)生的力矩矩陣，At和As為二者的力矩系數(shù)矩陣.

2 VSCMGs操縱率設(shè)計(jì)

VSCMGs操縱律(角動(dòng)量管理)設(shè)計(jì)是陀螺群動(dòng)力學(xué)的逆問(wèn)題，即根據(jù)陀螺群框架轉(zhuǎn)角的現(xiàn)況，合理分配各框架轉(zhuǎn)速指令和動(dòng)量輪轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速指令，使陀螺群的輸出力矩與航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)要求的指令控制力矩相等.VSCMGs角動(dòng)量管理問(wèn)題將CMG模式和RW模式分開(kāi)分步求解.由于操縱律是線性的，因此滿(mǎn)足齊次性和疊加性，最后將所有求得的指令框架角速度和轉(zhuǎn)子角加速度相加即可.

2.1 力矩輸出部分操縱律

本節(jié)需要解決的問(wèn)題有兩個(gè)：一個(gè)是CMGs模式的操縱律設(shè)計(jì)；另一個(gè)是CMGs模式下的誤差計(jì)算及其RWs補(bǔ)償設(shè)計(jì).為解決偽逆加零運(yùn)動(dòng)操縱律無(wú)法使VSCMGs脫離顯奇異點(diǎn)的問(wèn)題，給出基于奇異值分解的魯棒偽逆操縱律的具體設(shè)計(jì)過(guò)程.

2.1.1 CMGs模式的操縱律設(shè)計(jì)

若指令力矩全部賦予CMGs模式，則有

(14)

(15)

(16)

(17)

為了避免陀螺構(gòu)型陷入奇異時(shí)，偽逆解不存在，可引入最小力矩誤差的魯棒偽逆操縱律

(18)

(9)

可見(jiàn)，力矩誤差的引入只使得當(dāng)系統(tǒng)接近奇異時(shí)，第3個(gè)奇異值由0變?yōu)棣?，而其它兩個(gè)奇異值并沒(méi)有改變，力矩誤差只有在CMGs接近奇異時(shí)奇異值最小的方向產(chǎn)生.因此可使得采用此操縱律時(shí)，能在避免顯隱奇異的同時(shí)使力矩誤差最小，有效保證了力矩的輸出精度，也保證了下面求解RWs模式下的轉(zhuǎn)子角加速度解的存在性.至此，我們完成了CMGs模式下的操縱律設(shè)計(jì).

2.1.2 RWs模式的操縱律設(shè)計(jì)

RWs模式的操縱律設(shè)計(jì)可以參考單獨(dú)采用飛輪作為系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的航天器姿態(tài)控制問(wèn)題.此時(shí)的指令力矩為T(mén)error.不同于單一的飛輪，VSCMGs中的飛輪構(gòu)型時(shí)變化的，此時(shí)飛輪的構(gòu)型矩陣為As，他隨著框架角的變化而變化，因此存在奇異問(wèn)題.

飛輪操縱律將指令控制力矩分配給飛輪組中的每個(gè)飛輪，故要解算每個(gè)飛輪的指令角加速度，從而使得當(dāng)驅(qū)動(dòng)各個(gè)飛輪按指令運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，飛輪組輸出的合成力矩等于期望的控制力矩.

飛輪組輸出的控制力矩可寫(xiě)為一般式

(20)

由廣義逆定理求得能耗最小的控制律

(21)

由于轉(zhuǎn)子個(gè)數(shù)大于控制所需自由度，故RW控制律也存在零運(yùn)動(dòng).

至此完成RW模式下的操縱律設(shè)計(jì).

2.2 零運(yùn)動(dòng)操縱律設(shè)計(jì)

2.2.1 VSCMGs框架避奇異

VSCMGs考慮框架避奇異問(wèn)題時(shí)暫不需要考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化.通過(guò)零運(yùn)動(dòng)進(jìn)行框架避奇異的基本思路是根據(jù)所定義的奇異度量，期望通過(guò)零運(yùn)動(dòng)的框架再構(gòu)型使其值有所增大.為了保證所設(shè)計(jì)的角動(dòng)量管理算法簡(jiǎn)潔明了，定義式(17)中的第3個(gè)奇異值為CMGs構(gòu)型的奇異度量

κq=σ3

(22)

本文利用優(yōu)化理論中的梯度法來(lái)進(jìn)行零運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì).構(gòu)型奇異度量的梯度為

(23)

(24)

(25)

將式(25)代入式(24)，得到具體的空轉(zhuǎn)指令

(26)

(27)

所得結(jié)果代入式(26)，得相應(yīng)奇異度量下的零運(yùn)動(dòng)操縱律.

2.2.2 VSCMGs轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速平衡

為了充分的利用VSCMGs構(gòu)型的冗余和轉(zhuǎn)子的變速性能，同時(shí)防止轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速過(guò)高或者過(guò)低，需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速跟蹤率，使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速能夠在一個(gè)比較合理的范圍內(nèi)Ω∈(Ωmin,Ωmax)變化.

(28)

其中，h為VSCMGs的角動(dòng)量，h0max為轉(zhuǎn)子最大轉(zhuǎn)速時(shí)的標(biāo)稱(chēng)角動(dòng)量.λi(i=1,2,3,4)為常數(shù)，取值范圍分別為λ1∈(0.8，0.95),λ2∈(1.05，1.2)，λ3是常值，與VSCMGs的構(gòu)型有關(guān)，金字塔構(gòu)型時(shí)取2.56.

轉(zhuǎn)子角加速度為

(29)

利用Lyapunov直接法分析狀態(tài)量偏差在零運(yùn)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.不難發(fā)現(xiàn)，該跟蹤率是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.但跟蹤率只有在CMGs非奇異的狀態(tài)才能使用.下面對(duì)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速跟蹤產(chǎn)生的力矩進(jìn)行補(bǔ)償.

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速跟蹤產(chǎn)生的力矩

(30)

這一部分力矩采用CMG模式進(jìn)行抵消，很容易計(jì)算此時(shí)所需的框架角速度

(31)

整體的框架角零運(yùn)動(dòng)為

(32)

2.3 CMGs忽略項(xiàng)補(bǔ)償

以上設(shè)計(jì)操縱律時(shí)，對(duì)VSCMGs的動(dòng)力學(xué)方程中的框架角加速度、本體角速度等項(xiàng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，只保留了關(guān)于框架角速度的線性項(xiàng).為了進(jìn)一步提高VSCMGs的力矩輸出精度，在已經(jīng)求解出框架角速度的情況下，可計(jì)算出這些忽略項(xiàng)產(chǎn)生的力矩，通過(guò)RWs模式進(jìn)行補(bǔ)償.CMGs模式的計(jì)算誤差為

(33)

采用RW模式進(jìn)行補(bǔ)償

(34)

最終設(shè)計(jì)完成的轉(zhuǎn)子角加速度為

(35)

相應(yīng)的框架角速度為

(36)

3 仿真驗(yàn)證

圖2 金字塔構(gòu)型Fig.2 Pyramid configuration

參數(shù)數(shù)值標(biāo)稱(chēng)角動(dòng)量/(N·m·s)25轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速/(r/min)3600·7200轉(zhuǎn)子標(biāo)稱(chēng)轉(zhuǎn)速/(r/min)6000最大輸出力矩/(N·m)25最大框架速率/((°)/s)60最小框架速率/((°)/s)0.05

本文仿真兩個(gè)算例，分別為操縱律存在死區(qū)和忽略項(xiàng)補(bǔ)償及操縱律沒(méi)有死區(qū)和忽略項(xiàng)補(bǔ)償.仿真中的所有初始姿態(tài)角均設(shè)置為[0.4 0.5 -0.3]T，對(duì)于VSCMG模型中的電機(jī)參數(shù)只考慮死區(qū)的影響.

3.1 case 1沒(méi)有誤差項(xiàng)及死區(qū)補(bǔ)償

本算例沒(méi)有框架角速度和操縱律求解時(shí)的忽略項(xiàng)補(bǔ)償，此時(shí)框架角速度和轉(zhuǎn)子角加速度的求解為

(37)

仿真結(jié)果如圖3～10 所示，顯然在該情況下，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速具有較好的跟蹤效果(圖4)，大概在50 s以后轉(zhuǎn)子角速度趨于一致.并且即使是在三軸姿態(tài)同時(shí)機(jī)動(dòng)的情況下(圖3)，轉(zhuǎn)子角加速度(圖5)與框架角速度(圖6)都控制在合理范圍內(nèi).

由于CMGs模式始終遠(yuǎn)離奇異(圖7)，因此力矩輸出部分是由CMGs模式完成的，而RWs模式產(chǎn)生的力矩(圖9)主要是用于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速跟蹤.但由于缺少對(duì)死區(qū)和忽略項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償，因此力矩輸出誤差略大(圖8).

3.2 case 2有誤差項(xiàng)及死區(qū)補(bǔ)償

該算例的力矩輸出采用仿真結(jié)果如圖11～圖18 所示.顯然該情況下相比于case 1，最大的變化在于力矩輸出誤差(圖16)相比于圖8有了很大數(shù)量級(jí)的降低, 由于引入了對(duì)死區(qū)和忽略項(xiàng)的補(bǔ)償.

圖3 case 1的姿態(tài)角Fig.3 Attitude angle in case 1

圖4 case 1的VSCMGs的轉(zhuǎn)子角速度Fig.4 Rotor angular velocity of VSCMGs in case 1

圖5 case 1的VSCMGs的轉(zhuǎn)子角加速度Fig.5 Rotor angular acceleration of VSCMGs in case 1

圖6 case 1的VSCMGs的框架角速度Fig.6 Frame angular velocity of VSCMGs in case 1

圖7 case 1的CMGs奇異度量Fig.7 Singular metric of CMGs in case 1

圖8 case 1的力矩輸出誤差Fig.8 Moment output error in case 1

圖9 case 1的RWs輸出力矩Fig.9 Output torque of RW in case 1

圖10 case 1的VSCMGs角動(dòng)量Fig.10 Angular momentum of VSCMG in case 1

圖11 case 2的姿態(tài)角Fig.11 Attitude angle in case 2

圖12 case 2的VSCMGs的轉(zhuǎn)子角速度Fig.12 Rotor angular velocity of VSCMGs in case 2

圖13 case 2的VSCMGs的轉(zhuǎn)子角加速度Fig.13 Rotor angular acceleration of VSCMGs in case 2

圖14 case 2的VSCMGs的框架角速度Fig.14 Frame angular velocity of VSCMGs in case 2

圖15 case 2中CMGs奇異度量Fig.15 Singular metric of CMGs in case 2

圖16 case 2的力矩輸出誤差Fig.16 Moment output error in case 2

圖17 case 2的RWs輸出力矩Fig.17 Output torque of RW in case 2

圖18 case 2的VSCMGs角動(dòng)量Fig.18 Angular momentum of VSCMG in case 2

但由于死區(qū)補(bǔ)償和忽略項(xiàng)補(bǔ)償均是在最后一步進(jìn)行的，而轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速跟蹤率在設(shè)計(jì)時(shí)并沒(méi)有考慮死區(qū)和忽略項(xiàng)補(bǔ)償，因此對(duì)于轉(zhuǎn)子角速度的收斂性有一定的影響，但總體來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)子角速度依舊能夠保持較好的一致性(圖12)，并且可以隨著角動(dòng)量的變化相應(yīng)的轉(zhuǎn)子角速度也發(fā)生相應(yīng)的變化.由于本文考慮的是理想電機(jī)模型，因此不考慮控制中電壓波動(dòng).因此，操縱律達(dá)到了期望的要求.

4 結(jié) 論

本文以VSCMGs為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模和詳盡的操縱律設(shè)計(jì).通過(guò)將CMGs模式RWs模式分開(kāi)分步求解，在保證VSCMGs輸出精度的情況下盡量充分的利用VSCMGs的執(zhí)行能力.重點(diǎn)解決基于奇異度量的混合模式指令力矩輸出，零運(yùn)動(dòng)作轉(zhuǎn)子輪速平衡，零運(yùn)動(dòng)作框架構(gòu)型避奇異，框架角速度死區(qū)非線性處理以及忽略項(xiàng)的補(bǔ)償?shù)葐?wèn)題，并給出相應(yīng)的理論分析.最后，以理論分析為基礎(chǔ)，重點(diǎn)對(duì)VSCMGs在CMGs/RWs混合模式下的操縱律進(jìn)行仿真驗(yàn)證.根據(jù)仿真結(jié)果可知，基于這些操縱律，VSCMGs可實(shí)現(xiàn)大角度快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)操作.

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