董　哲，陳家斌，宋春雷

(北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京　100081)

tracking

靶彈是為導(dǎo)彈提供目標(biāo)的飛行器，其系統(tǒng)模型類似于導(dǎo)彈系統(tǒng)。在靶彈飛行器的控制過(guò)程中，對(duì)靶彈飛行軌跡的控制是控制系統(tǒng)的重要目標(biāo)，而靶彈系統(tǒng)多參數(shù)、多擾動(dòng)以及強(qiáng)耦合的特點(diǎn)為其控制帶來(lái)了巨大難題。因此在處理靶彈系統(tǒng)時(shí)，常將靶彈系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分為水平通道與縱向通道分別研究，以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)模型的簡(jiǎn)化。一般靶彈供靶軌跡可分為上升段、下降段與平飛段，各階段因飛行高度、飛行特征不同加以區(qū)分，其中縱向通道即高度通道對(duì)靶彈性能影響更大，其直接決定了靶彈能否實(shí)現(xiàn)預(yù)期供靶軌跡[1]。

傳統(tǒng)的靶彈飛行控制多是基于PID控制，其魯棒性較差，對(duì)模型的精度要求較高，因此在此基礎(chǔ)上，多結(jié)合自適應(yīng)控制、智能控制算法[2]。近年來(lái)，H∞算法、滑?？刂扑惴ㄩ_(kāi)始逐漸應(yīng)用于靶彈系統(tǒng)控制，較好地增加了系統(tǒng)的魯棒性，減少了對(duì)系統(tǒng)模型的依賴[3-4]。

預(yù)測(cè)算法是一種基于模型的算法，其已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工業(yè)、冶金等方面[5]。近年來(lái)，預(yù)測(cè)算法得到不斷改進(jìn)，文獻(xiàn)[6]將系統(tǒng)局部線性化，結(jié)合魯棒約束下的模型預(yù)測(cè)控制，得到了更好的預(yù)測(cè)結(jié)果；文獻(xiàn)[7]采用模型預(yù)測(cè)控制與分段容許控制相結(jié)合的方法，解決了系統(tǒng)中的模型不確定問(wèn)題和在線預(yù)測(cè)不準(zhǔn)問(wèn)題，擴(kuò)大了預(yù)測(cè)控制應(yīng)用范圍。

模型預(yù)測(cè)算法主要包括預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化與反饋校正3部分。預(yù)測(cè)模型的建立是控制的基礎(chǔ)，在此過(guò)程中需要通過(guò)數(shù)學(xué)方法對(duì)系統(tǒng)原始模型進(jìn)行處理；利用反饋線性化可以得到系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型，通過(guò)設(shè)定合理的指標(biāo)函數(shù)，可得到系統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制器；滾動(dòng)優(yōu)化環(huán)節(jié)，能保證獲得系統(tǒng)的局部最優(yōu)解，并通過(guò)反饋校正，對(duì)系統(tǒng)預(yù)測(cè)結(jié)果不斷優(yōu)化，從而得到最終控制結(jié)果。

1　系統(tǒng)模型

為研究方便，現(xiàn)基于靶彈建立如下坐標(biāo)系：取靶彈的質(zhì)心為原點(diǎn)O，x軸與靶彈的縱軸向重合，指向彈頭方向?yàn)檎粃軸垂直于靶彈縱平面指向靶彈兩側(cè)，從彈頭方向看去，向左為正；y軸與x、z軸遵循右手螺旋定則，指向上為正[8]。

在建立縱向通道運(yùn)動(dòng)方程前，為方便研究，首先做出如下假設(shè)[9]：

1)忽略靶彈飛行過(guò)程中的形變；并忽略地球曲率的影響。

2)重力加速度的值為常值，且不隨飛行高度而變化。

3)靶彈質(zhì)量分布均勻，且為面對(duì)稱，對(duì)稱面為彈體坐標(biāo)系的Oxy面。

4)在未受到擾動(dòng)的情況下，設(shè)靶彈參數(shù)β、γ、v、ωx、ωy的變化相對(duì)于控制量是連續(xù)微小量。

5) 靶彈在飛行過(guò)程中水平機(jī)動(dòng)較小，其彈體基本保持在某一縱向鉛垂面內(nèi)。

在設(shè)計(jì)靶彈方案飛行彈道的過(guò)程中，其運(yùn)動(dòng)參數(shù)選為俯仰角?、攻角α、彈道傾角θ與高度h。靶彈縱軸與水平面之間的夾角為俯仰角?；靶彈的速度矢量在彈體縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)上的投影與Ox軸間的夾角為攻角α；靶彈速度矢量與水平面之間的夾角為彈道傾角θ；高度h選取為彈體相對(duì)于地面坐標(biāo)系之間的高度[10]。

根據(jù)上述假設(shè)，結(jié)合系統(tǒng)參數(shù)，可以得到靶彈系統(tǒng)在此坐標(biāo)系下的縱向運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

式中：m為靶彈在任意時(shí)刻的質(zhì)量；P為靶彈發(fā)動(dòng)機(jī)推力；v表示靶彈系統(tǒng)的飛行速度；X、Y分別為靶彈在Ox軸方向與Oy軸方向受到的空氣阻力；x、y分別為靶彈此時(shí)刻的位置坐標(biāo)；Jz為繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mz為相應(yīng)的z軸力矩；φ1為縱向通道控制誤差，理想條件下，其值應(yīng)為0。

在縱向通道設(shè)計(jì)過(guò)程中，采用“瞬時(shí)平衡”假設(shè)，即將靶彈看成質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行研究，這樣，靶彈質(zhì)量可以表述為

m=-kt+m0

(2)

式中：m0表示系統(tǒng)初始質(zhì)量；k為單位時(shí)間靶彈消耗的燃料質(zhì)量。

同時(shí)引入靶彈的空氣動(dòng)力參數(shù)，這樣可對(duì)上述方程可以進(jìn)行進(jìn)一步簡(jiǎn)化：

(3)

這樣就得到了在靶彈坐標(biāo)系下的彈體縱向通道運(yùn)動(dòng)方程，為了保證靶彈飛行平穩(wěn)，延長(zhǎng)供靶時(shí)間，減小高度誤差，提高供靶質(zhì)量，對(duì)靶彈上升段采用指數(shù)高度規(guī)律設(shè)計(jì)方案彈道：

(4)

式中：y*(t)為指令飛行高度；yp為靶彈高度調(diào)節(jié)變量，其大小決定了靶彈上升段與下降段的高度；y0為靶彈平飛供靶時(shí)的飛行高度；t1為靶彈預(yù)期平飛時(shí)間；k為控制系數(shù)。

平飛段是靶彈供靶的關(guān)鍵階段，因此，對(duì)平飛段指令彈道的設(shè)計(jì)是靶彈飛行方案設(shè)計(jì)的重點(diǎn)部分。對(duì)于某一型號(hào)的靶彈，其平飛段要求能實(shí)現(xiàn)等速等高飛行，結(jié)合文獻(xiàn)[11]，設(shè)計(jì)平飛攻角為

(5)

在靶彈運(yùn)動(dòng)方程組中，對(duì)相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行變換：

(6)

得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

(7)

取靶彈在縱向通道的位置坐標(biāo)為系統(tǒng)輸出，從而得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程[12]：

(8)

系統(tǒng)的約束方程如下：

(9)

通過(guò)反饋線性化實(shí)現(xiàn)對(duì)上述狀態(tài)方程的線性化處理和各通道之間的解耦：

(10)

L=Q+Hu

(11)

(12)

(13)

通過(guò)上述變換過(guò)程，可以得到靶彈縱向位置控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。

(14)

經(jīng)過(guò)反饋線性化得到的此狀態(tài)空間方程，被解耦成為相互獨(dú)立的控制通道。

2　模型預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于模型預(yù)測(cè)控制，其控制率的確定需要有相應(yīng)的指標(biāo)函數(shù)，對(duì)于一般的狀態(tài)空間系統(tǒng)有：

(15)

x、u、y分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制向量和輸出向量。對(duì)于任何確定的系統(tǒng)，其模型預(yù)測(cè)控制的指標(biāo)函數(shù)通?？蛇x為如下模式：

(u(t′)Ru(t′))dt′

(16)

式中：Q為誤差權(quán)矩陣;R為控制作用權(quán)矩陣;單次預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)為T(mén)p;預(yù)測(cè)步長(zhǎng)為t′。

在ti時(shí)刻，系統(tǒng)的狀態(tài)為x(ti)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t′，系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閤(ti+t′|ti)，在這里有t′

對(duì)于本文中的模型，傳統(tǒng)的代價(jià)函數(shù)沒(méi)有體現(xiàn)出系統(tǒng)對(duì)不同狀態(tài)下的位置的跟蹤效果，尤其是靶彈的平飛段，需要使靶彈能在預(yù)定的飛行高度飛行，并保持一定的時(shí)間。因此需要在反饋優(yōu)化過(guò)程中，考慮到靶彈系統(tǒng)對(duì)方案彈道的跟蹤，故對(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)做如下改善[13]：

y(ti+t′|ti))+(u(t′)Ru(t′))dt′

(17)

式中，誤差矩陣取為單位矩陣，y*(t)為靶彈預(yù)定飛行高度，其值可以通過(guò)式(4)得到，系統(tǒng)在ti時(shí)刻經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)t′時(shí)間之后的輸出表示為y(ti+t′|ti)。

通過(guò)比較式(16)與式(17)可知，新的指標(biāo)函數(shù)J與傳統(tǒng)的指標(biāo)函數(shù)J0相比，增加了對(duì)靶彈預(yù)測(cè)位置與方案彈道之間的誤差追蹤，綜合考慮了系統(tǒng)的輸入，并結(jié)合了靶彈在平飛段的精度要求,對(duì)系統(tǒng)跟蹤誤差定義為

e(ti+t′|ti)=y(ti+t′|ti)-y*(ti)=

Cnx(ti+t′|ti)

(18)

(19)

將式(17)帶入(16)中系統(tǒng)性能指標(biāo)中，于是得到：

u(t′)Ru(t′)dt′

(20)

對(duì)預(yù)測(cè)控制中的某一階段，取其階段代價(jià)函數(shù):

Qx(ti+t′|ti)+u(t′)Ru(t′)dt′

(21)

控制量u的取值范圍為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)所有有界函數(shù)，通過(guò)對(duì)代價(jià)函數(shù)的不斷反饋優(yōu)化，最終得到控制率[14]：

(22)

由式(22)可以解算出當(dāng)0≤t

I=|y*(ti)-y(ti+t′|ti)|≤I0

(23)

3　仿真結(jié)果與分析

為了實(shí)現(xiàn)靶彈系統(tǒng)對(duì)方案彈道的跟蹤，需要實(shí)時(shí)對(duì)靶彈所處高度與方案彈道要求的飛行高度相對(duì)比，從而得到當(dāng)前時(shí)刻靶彈系統(tǒng)的誤差信息。根據(jù)靶彈自身平飛時(shí)的飛行速度以及氣動(dòng)參數(shù)，可以確定靶彈縱向機(jī)動(dòng)過(guò)載及時(shí)間參數(shù)，并由此確定靶彈距離誤差上限I0。通過(guò)對(duì)靶彈系統(tǒng)預(yù)先分析，得出靶彈上升段、下滑段與平飛段的時(shí)間，并由此確定預(yù)測(cè)控制中的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)t′與預(yù)測(cè)區(qū)間Tp和控制時(shí)域Tc，初始發(fā)射角為?0,以上參數(shù)構(gòu)成靶彈系統(tǒng)初始狀態(tài)。供靶問(wèn)題中，靶彈需要的平飛高度及供靶時(shí)間共同決定了靶彈平飛供靶段參數(shù)。

模型預(yù)測(cè)控制參數(shù)選取如下：

對(duì)靶彈系統(tǒng)的仿真如圖1、2所示，圖1為靶彈系統(tǒng)的縱向通道的方案彈道，圖2為基于模型預(yù)測(cè)控制下的位置跟蹤曲線。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)不同型號(hào)導(dǎo)彈特征彈道的模擬，靶彈的上升段、下滑段與平飛段均需持續(xù)一定時(shí)間；從圖1可以分辨出，靶彈系統(tǒng)各階段區(qū)分明確，平飛時(shí)其高度為4.376 km，供靶段持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，飛行平穩(wěn),上升段時(shí)間大約30 s。下滑段無(wú)明顯超調(diào)。其平飛高度、平飛供靶時(shí)間符合預(yù)期要求。各階段均能滿足不同型號(hào)的靶彈對(duì)目標(biāo)的要求，控制結(jié)果較為理想。

從圖2中對(duì)靶彈位置的跟蹤可以看到，通過(guò)模型預(yù)測(cè)控制，可以使系統(tǒng)能迅速跟蹤到方案彈道，在縱向通道上取得了較好的時(shí)間響應(yīng)。從圖中可以看出，控制系統(tǒng)對(duì)方案彈道的跟蹤，響應(yīng)較為迅速，在10 s左右能實(shí)現(xiàn)對(duì)控制信號(hào)的跟蹤。穩(wěn)定狀態(tài)下的位置跟蹤誤差為0.120 7 m，這一控制結(jié)果滿足靶彈系統(tǒng)控制要求。

為了驗(yàn)證系統(tǒng)穩(wěn)定性，尤其是在外界干擾下的魯棒性，向靶彈系統(tǒng)中加入噪聲干擾，此噪聲被添加至預(yù)期彈道中。將此情形下的仿真結(jié)果與PID控制下的仿真結(jié)果對(duì)比，如圖3、4所示。

從圖3中可以看出，當(dāng)采用PID控制算法時(shí)，加入噪聲后，靶彈系統(tǒng)位置會(huì)出現(xiàn)很大震蕩。雖然從仿真圖上看，系統(tǒng)最終能保持平飛，但是在實(shí)際情況中，由于靶彈自身過(guò)載有限，系統(tǒng)無(wú)法在強(qiáng)烈的振蕩作用下保持平衡，因此，采用PID算法得到的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

而圖4顯示，當(dāng)施加噪聲影響后，采用模型預(yù)測(cè)控制的系統(tǒng)，仍舊保持了較好上升段與下降段：靶彈在60.14 s時(shí)轉(zhuǎn)入平飛段，此時(shí)的平飛高度為4.496 km，相對(duì)于未引入噪聲的情況，其平飛高度雖然受到影響，但是仍然滿足供靶要求。相比較于傳統(tǒng)的控制方法，其在供靶質(zhì)量和時(shí)間上都有著很大改進(jìn)，且都符合供靶目標(biāo)。仿真結(jié)果證明，模型預(yù)測(cè)算法對(duì)于靶彈供靶軌跡控制方面有著較好的效果，且其系統(tǒng)魯棒性相比于經(jīng)典控制方法有了較大的改善。

4　結(jié)束語(yǔ)

筆者通過(guò)對(duì)靶彈系統(tǒng)縱向通道建立預(yù)測(cè)控制模型，并對(duì)其采用反饋線性化方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)縱向通道各個(gè)參數(shù)的解耦，建立了靶彈系統(tǒng)的縱向通道控制模型，通過(guò)考慮供靶目標(biāo)，建立了新的預(yù)測(cè)代價(jià)函數(shù)，對(duì)供靶過(guò)程中各階段需求進(jìn)行了分析，并以此設(shè)計(jì)了靶彈飛行方案彈道。依照方案彈道設(shè)計(jì)了靶彈模型預(yù)測(cè)控制算法，仿真結(jié)果表明，模型預(yù)測(cè)算法較好的實(shí)現(xiàn)了靶彈方案彈道飛行與供靶目標(biāo)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)和靜態(tài)響應(yīng)結(jié)果均符合靶彈供靶要求，具有較好的穩(wěn)定性與魯棒性。

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