陳　明　彭慧丹　季春元　吳耀文

(湖北中醫(yī)藥高等?？茖W(xué)?！『薄∏G州：434020)

0　引言

考試作弊是一種常見社會現(xiàn)象，對這種行為需要進行一定程度的定量分析，這樣有利用教學(xué)管理。但是作弊行為是一種敏感問題，如果要對這些行為進行調(diào)查，被調(diào)查者一般都會有所顧忌，即便采用無記名調(diào)查，被調(diào)查者很有可能回避或是故意做出錯誤回答，這樣調(diào)查數(shù)據(jù)會失去很大程度上的真實性。因而設(shè)計一種調(diào)查方案，既能提高回答率又能降低虛假回答率顯得十分必要。

本文提出的調(diào)查方案有兩個基本出發(fā)點：首先，被調(diào)查者從是否作弊的若干問題中隨機選擇回答一個。其次，調(diào)查者也不知道被調(diào)查者回答的是哪個問題。這樣既能保護被調(diào)查者個人隱私，又能讓其對所選擇問題真實回答。

1　作弊行為調(diào)查模型

1.1　作弊行為調(diào)查方案

首先準備若干張外形完全相同的卡片，每張卡片上印有1，2，3，…，m某一位數(shù)字，印有數(shù)字為k的卡片占總卡片的比例為PK(k=1，2，3，…，m)，且Pk不完全相同。接著被調(diào)查者隨機抽取卡片一張，易知其抽到數(shù)字為k的概率為pK，若被調(diào)查者考試中有作弊行為，則回答m+1與其抽取數(shù)字之差；相反被調(diào)查者考試中沒有作弊行為，則回答抽取的數(shù)字。

1.2　作弊行為調(diào)查分析

為便于數(shù)學(xué)分析，引入變量xi(i=1，2，3，…，n)并且設(shè)

設(shè)λ=P(xi=m+1)為被調(diào)查者的作弊概率。

設(shè)變量yi為第i名被調(diào)查者抽到卡片上的數(shù)字，易知yi(i=1，2，3，…，n)是獨立同分布的且也與xi互相獨立。

根據(jù)調(diào)查方案可知，第i名被調(diào)查者所回答的數(shù)字為ui=yi-xi，易知1≦ui≦m。

設(shè)nk為回答數(shù)字為k的人數(shù)(n1+n2+…+nm=n)，顯然當ui=1，即回答數(shù)字為1時，由全概率公式可得

P(ui=1)=(1-λ)P1+λPm+1-1

(1)

推廣可知，當ui=k，可得

P(ui=k)=(1-λ)Pk+λPm+1-k

(2)

則ui的數(shù)學(xué)期望為

(3)

E(ui)=λ(m+1-2E(yi))+E(yi)

(4)

進一步求ui的方差為

D(ui)=D(yi)+λ(1-λ)(m+1-2E(yi))2

(5)

(6)

(7)

這里A是指該敏感問題(作弊行為調(diào)查)直接調(diào)查時產(chǎn)生的方差，B是指被調(diào)查者隨機選取問題(卡片)產(chǎn)生的方差。

2　應(yīng)用示例

假設(shè)被調(diào)查者總?cè)藬?shù)n=500，m=6，即卡片上數(shù)字k=1，2，…，6，相應(yīng)占總卡片比例為

P1=0.5,P2=0.3,P3=0.1,P4=0.03,P5=0.04,P6=0.03。

被調(diào)查者回答數(shù)字1，2，…，6的人數(shù)分別是n1=196,n2=116,n3=50,n4=50,n5=48,n6=40。由此計算：

并代入式(6)與(7)，可知有作弊行為比例估計值

其相應(yīng)的方差

若精度設(shè)為1倍標準差，則有作弊行為比例為19.25±2.33%；若精度設(shè)為2倍標準差，則有作弊行為比例為19.25±4.66%。

3　說明

[1]姜啟源,謝金星,邢文訓(xùn),等.大學(xué)數(shù)學(xué)實驗[M].第二版.北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[2]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008.

[3]彭秀云,閆在在.敏感問題調(diào)查設(shè)計以及估計[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2015，45(11):181-186.

[4]吳翠芳,曹維芳.敏感問題調(diào)查法在公安統(tǒng)計調(diào)查中的應(yīng)用[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,15(3):16-19.

[5]Housila P. Singh,Tanveer A. Tarray. A dexterous randomized response model for estimating a rare sensitive attribute using Poisson distribution[J]. Statistics and Probability Letters,2014,90(7):42-45.

[6]彭秀云,閆在在.敏感問題問卷設(shè)計技術(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2009,32(1)：83-92.

[7]陳根龍.隨機化回答技術(shù)在敏感性問題調(diào)查中的一種新應(yīng)用[J].統(tǒng)計與決策,2007,(3)：23-24.

[8]蔡丹豐.影響大學(xué)生考試作弊行為的因素及干預(yù)策略[J].寧波大學(xué)學(xué)報,2016,38(5):83-86.