賈建兵，廖嘉偉，周　羽

(海軍航空裝備計(jì)量監(jiān)修中心，上海 200436)

隨機(jī)有限集(Random Finite Set，RFS)理論的基本思想是，將傳感器觀測(cè)區(qū)域內(nèi)的所有目標(biāo)狀態(tài)和每一時(shí)刻從傳感器獲得的量測(cè)值分別建模成隨機(jī)有限集，利用最優(yōu)多目標(biāo)貝葉斯濾波器實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)跟蹤一體化[1]。由于最優(yōu)多目標(biāo)貝葉斯濾波存在多重較高維度的積分[2]，很難得到應(yīng)用，所以創(chuàng)始人Mahler提出了在RFS框架下最優(yōu)多目標(biāo)貝葉斯濾波器的一階矩近似PHD(Probability Hypothesis Density，PHD)濾波器[3]、高階矩近似勢(shì)概率假設(shè)密度(Cardinalized Probability Hypothesis Density，CPHD)濾波器[4]和近似多目標(biāo)多伯努利(Multitarget Multi-Bernoulli，MeMBer)濾波器[5]。

在線性高斯多目標(biāo)模型下，Vo等人給出了PHD濾波器、CPHD濾波器和CBMeMBer濾波器的高斯混合(Gaussian Mixture，GM)情形下的3種閉合解析解：GM-PHD[6]、GM-CPHD[7]和GM-CBMeMBer[8]。基本原理是：如果用混合加權(quán)的高斯和形式表示目標(biāo)狀態(tài)的先驗(yàn)分布，那么更新的目標(biāo)狀態(tài)的后驗(yàn)分布也可以用混合加權(quán)的高斯和的形式來(lái)表示，因此可以通過(guò)遞推高斯混合的均值、權(quán)值和協(xié)方差來(lái)估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)的后驗(yàn)密度函數(shù)[9-10]。但是，以上3種濾波器不適用于非線性運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，會(huì)出現(xiàn)濾波發(fā)散的情況。針對(duì)非線性高斯系統(tǒng)，本文給出了3種濾波器基于一階擴(kuò)展卡爾曼(Extended Kalman，EK)改進(jìn)的算法，并對(duì)比分析了一階EK改進(jìn)的3種算法對(duì)于勻速轉(zhuǎn)彎(Constant Turning，CT)模型目標(biāo)的跟蹤性能。

1　非線性高斯系統(tǒng)中的應(yīng)用

1.1　非線性高斯模型

當(dāng)量測(cè)值與目標(biāo)狀態(tài)參數(shù)是非線性關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)一定的方法將GM-PHD濾波器、GM-CPHD濾波器和GM-CBMeMBer濾波器進(jìn)行改進(jìn)來(lái)解決這一類(lèi)問(wèn)題。此時(shí)，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)遵循的是非線性高斯運(yùn)動(dòng)模型，用于檢測(cè)的傳感器滿(mǎn)足的是非線性高斯觀測(cè)模型。非線性高斯系統(tǒng)中目標(biāo)狀態(tài)模型可以表示為

xk=φk(xk-1,vk-1)

(1)

zk=hk(xk,wk)

(2)

式中，φk、hk均非線性函數(shù)，vk-1代表均值為0，協(xié)方差為Qk-1的過(guò)程噪聲，wk代表均值為0，協(xié)方差為Rk的測(cè)量噪聲[11-12]。

針對(duì)非線性問(wèn)題，擴(kuò)展卡爾曼(EK)濾波器采用的方法是通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題近似處理[13]，對(duì)展開(kāi)后的式子保留前一階項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是一階EK算法，因?yàn)槎A或者更高階的近似算法計(jì)算量很大[14-15]，所以本文只研究一階EK改進(jìn)的GM-PHD、GM-CPHD和GM-CBMeMBer算法。

1.2　一階EK改進(jìn)算法

EK-PHD、EK-CPHD和EK-CBMeMBer算法的步驟和GM-PHD、GM-CPHD和GM-CBMeMBer算法類(lèi)似，區(qū)別在于存活目標(biāo)的預(yù)測(cè)以及目標(biāo)狀態(tài)更新中高斯項(xiàng)參數(shù)的迭代。以EK-PHD為例，算法的改變?nèi)缦隆?/p>

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2　仿真分析

通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比EK-PHD、EK-CPHD和EK-CBMeMBer算法的性能。設(shè)定的檢測(cè)區(qū)域?yàn)閇-π/2,π/2]×[0,2 000](單位：m)，初始設(shè)定的目標(biāo)存活概率ps=0.99，檢測(cè)概率pD=0.98，雜波密度為λc=1.5×10-5m-2，目標(biāo)數(shù)目為6個(gè)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如表1所示。

表1　目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表

圖1　目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

新生目標(biāo)隨機(jī)集PHD為

(14)

一階EK改進(jìn)的3種濾波算法(EK-PHD，EK-CPHD，EK-CBMeMBer)的處理結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2　一階EK改進(jìn)算法濾波結(jié)果

圖3　一階EK改進(jìn)算法目標(biāo)數(shù)目估計(jì)對(duì)比

由圖2可知，在非線性高斯系統(tǒng)中，EK-PHD、EK-CPHD和EK-CBMeMBer算法均能在時(shí)間域上對(duì)數(shù)目時(shí)變的多個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，表明這3種算法均能被應(yīng)用到非線性濾波問(wèn)題中。

在目標(biāo)數(shù)目估計(jì)方面，由圖3和圖4中OSPA勢(shì)誤差曲線可知，EK-CPHD算法的準(zhǔn)確度最高，但該算法對(duì)目標(biāo)數(shù)目變化十分敏感，不能及時(shí)跟上目標(biāo)數(shù)目的變化，需要經(jīng)歷多幀才能重新恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)。EK-PHD和EK-CBMeMBer算法在OSPA勢(shì)誤差方面相近，但EK-CBMeMBer算法存在勢(shì)過(guò)估的情況，而EK-PHD算法估計(jì)的目標(biāo)數(shù)目更接近真實(shí)值。

在目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)方面，由圖4中OSPA位置誤差可知，一階EK改進(jìn)的3種算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)精度差別不大。在算法復(fù)雜度方面，統(tǒng)計(jì)這3種算法100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)的平均時(shí)間如表2所示。

圖4　一階EK改進(jìn)算法OSPA誤差對(duì)比

算法運(yùn)算時(shí)間/sEK-PHD3.02EK-CPHD9.79EK-CBMeMBer3.54

由表2可知，EK-PHD算法運(yùn)算時(shí)間最短，EK-CBMeMBer算法與EK-PHD算法的運(yùn)算時(shí)間相近，且遠(yuǎn)低于EK-CPHD算法運(yùn)算時(shí)間，說(shuō)明EK-PHD算法運(yùn)算效率最高。

3　結(jié)束語(yǔ)

本文研究了在隨機(jī)有限集框架下，基于一階EK改進(jìn)的3種算法EK-PHD、EK-CPHD和EK-CBMeMBer在非線性高斯系統(tǒng)中的應(yīng)用。仿真實(shí)驗(yàn)表明，3種算法均能對(duì)非線性高斯系統(tǒng)中數(shù)目時(shí)變的目標(biāo)進(jìn)行穩(wěn)定跟蹤。其中，EK-PHD算法運(yùn)算效率最高，目標(biāo)估計(jì)性能最優(yōu)；EK-CPHD算法在目標(biāo)數(shù)目估計(jì)方面的準(zhǔn)確度最高，但運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，對(duì)于目標(biāo)數(shù)目變化響應(yīng)慢，需要經(jīng)歷多幀才能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；EK-CBMeMBer算法存在勢(shì)過(guò)估的情況。

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