多功能農(nóng)用機(jī)器人路徑規(guī)劃的多種優(yōu)化算法

王　輝， 王景良， 朱龍彪， 邵小江

(1.南通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南通 226019； 2.江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 211170)

城鎮(zhèn)化進(jìn)程加快、人口數(shù)量激增、耕地面積日益減少、農(nóng)作物價(jià)格偏低等諸多問(wèn)題持續(xù)突出，會(huì)嚴(yán)重影響農(nóng)民種植作物的積極性。在此背景下，發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)技術(shù)，研發(fā)農(nóng)業(yè)機(jī)器人系列產(chǎn)品，對(duì)提高農(nóng)戶(hù)勞動(dòng)生產(chǎn)率、改善農(nóng)業(yè)生產(chǎn)環(huán)境、提高農(nóng)業(yè)作業(yè)質(zhì)量及提高農(nóng)業(yè)機(jī)械化程度等具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義[1]。為加快農(nóng)業(yè)機(jī)器人研發(fā)進(jìn)程，世界各國(guó)都投入了大量的人力和物力支持，國(guó)內(nèi)外學(xué)者經(jīng)過(guò)多年的攻關(guān)研究，設(shè)計(jì)出了多種類(lèi)型用于解決農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的機(jī)器人，如采摘機(jī)器人、移栽嫁接機(jī)器人、耕作機(jī)器人、噴藥施肥機(jī)器人及飼養(yǎng)機(jī)器人等[2]。為解決農(nóng)作物病蟲(chóng)害監(jiān)測(cè)、工作環(huán)境監(jiān)測(cè)、實(shí)現(xiàn)物料搬運(yùn)功能，設(shè)計(jì)了一種多功能農(nóng)用機(jī)器人。該機(jī)器人是集傳感器、人工智能、計(jì)算機(jī)、圖像處理、通信及控制工程等多學(xué)科前沿技術(shù)于一體的智能裝置，具有柔性好、靈活性強(qiáng)、安全可靠、智能化程度高及通用性、適應(yīng)性、可擴(kuò)展性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[3]，可實(shí)現(xiàn)農(nóng)作物病蟲(chóng)害監(jiān)測(cè)，工作環(huán)境監(jiān)測(cè)、物料或肥料搬運(yùn)以及在特殊情況下的人員搜索救援等功能。為實(shí)現(xiàn)上述功能，解決路徑規(guī)劃問(wèn)題是首要前提。針對(duì)路徑規(guī)劃問(wèn)題，目前常用的有效方法主要有Dijkstra算法、遺傳算法、蟻群算法、模擬退火算法、禁忌搜索算法等。為了解決多功能農(nóng)用機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)引入禁忌搜索算法、遺傳算法、蟻群算法和模擬退火算法，對(duì)農(nóng)用機(jī)器人路徑規(guī)劃過(guò)程進(jìn)行研究。

1　數(shù)學(xué)模型建立

多功能農(nóng)用機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是路徑搜索問(wèn)題，其目的是在已知有障礙物存在的工作環(huán)境中，系統(tǒng)根據(jù)機(jī)器人的當(dāng)前位置、目標(biāo)點(diǎn)位置及運(yùn)行環(huán)境等相關(guān)信息，按照一定評(píng)價(jià)指標(biāo)(如距離最短、程序耗時(shí)最少及收斂代數(shù)最小等)采用特定搜索策略，在環(huán)境地圖中搜索出一條從起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的最優(yōu)或次優(yōu)無(wú)沖突路徑，確保機(jī)器人能夠沿著該優(yōu)化路徑順利完成農(nóng)作物病蟲(chóng)害監(jiān)測(cè)、工作環(huán)境監(jiān)測(cè)以及物料或肥料搬運(yùn)等任務(wù)[4]。在路徑規(guī)劃中，系統(tǒng)要求農(nóng)用機(jī)器人從原點(diǎn)出發(fā)，遍歷各作物種植區(qū)1次，完成作物病蟲(chóng)害監(jiān)測(cè)、工作環(huán)境監(jiān)測(cè)或肥料搬運(yùn)等，然后再返回至原點(diǎn)，這一過(guò)程可抽象為旅行商(TSP)問(wèn)題。TSP問(wèn)題作為經(jīng)典組合優(yōu)化NP難題，在問(wèn)題規(guī)模復(fù)雜度較大的環(huán)境下，運(yùn)用當(dāng)前所提算法至今仍未得到精確解。由于各領(lǐng)域均有涉及TSP問(wèn)題，因此，研究TSP求解方法對(duì)解決多領(lǐng)域復(fù)雜工程應(yīng)用問(wèn)題具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義和理論意義[5-6]。

多功能農(nóng)用機(jī)器人的TSP問(wèn)題可描述為：在已知各作物種植區(qū)和各作物種植區(qū)間距離的前提下，農(nóng)用機(jī)器人從原點(diǎn)出發(fā)，遍歷各作物種植區(qū)1次，完成系統(tǒng)指定任務(wù)，然后再返回至起始點(diǎn)，在此過(guò)程中尋找一條閉合回路，并確保該閉合回路長(zhǎng)度最短[7]。其數(shù)學(xué)模型可描述為：繪制工作環(huán)境交通路網(wǎng)圖，建立工作環(huán)境賦權(quán)圖G=(V，E)，其中，V表示作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)集，V={1，2，3，…，n}；E表示各作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)間形成的可行路段集，E={e1，e2，e3，…，en}；D表示各作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)間的距離集，即權(quán)重集，D={d(1，1)，d(1，2)，d(1，3)，…，d(i，j)，…，d(n，n)}，其中，d(i，j)表示2個(gè)作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)間距離，i、j∈V。其數(shù)學(xué)模型方程式可表示為[8]：

(1)

(2)

式中：Lpath表示農(nóng)用機(jī)器人在遍歷各作物種植區(qū)中所能搜索到的最短路徑長(zhǎng)度；(xi，yi)、(xj，yj)分別表示i、j這2種作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

2　算法設(shè)計(jì)

2.1　禁忌搜索算法

禁忌搜索算法(tabu search algorithm，TSA)是由Glover教授通過(guò)模擬人類(lèi)智力過(guò)程而提出的一種亞啟發(fā)式智能全局逐步尋優(yōu)算法，因其具有記憶功能靈活、能跳出局部最優(yōu)以及全局搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，所以在優(yōu)化組合、車(chē)間調(diào)度、路徑規(guī)劃、電路設(shè)計(jì)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[9]?；舅枷胧撬阉骺尚薪饪臻g，按照領(lǐng)域選優(yōu)原則，在當(dāng)前解領(lǐng)域內(nèi)尋找一個(gè)更優(yōu)解。為避免算法陷入局部最優(yōu)和出現(xiàn)死循環(huán)，需將該解添加到禁忌表中。隨著迭代搜索進(jìn)行，算法通過(guò)靈活使用禁忌表記錄搜索過(guò)程，并按照特赦準(zhǔn)則不斷對(duì)記錄數(shù)據(jù)進(jìn)行更新，最終確保算法在搜索到局部最優(yōu)解的同時(shí)又能越過(guò)局部最優(yōu)解而實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)解搜索[10-11]。算法流程可進(jìn)行如下描述，步驟一：初始化算法各參數(shù)，給出初始解，禁忌表置空TB=φ；步驟二：判斷算法搜索過(guò)程是否滿(mǎn)足終止準(zhǔn)則，如果滿(mǎn)足，則算法搜索過(guò)程結(jié)束，輸出搜索結(jié)果，否則轉(zhuǎn)至步驟三；步驟三：由當(dāng)前解產(chǎn)生鄰域解，并從中確定候選解；步驟四：判斷候選解是否滿(mǎn)足特赦準(zhǔn)則，如果滿(mǎn)足，則將最佳狀態(tài)的候選解作為當(dāng)前解。另外，還要按照先進(jìn)先出的原則，用新當(dāng)前解對(duì)應(yīng)的禁忌對(duì)象替代最早進(jìn)入禁忌表的禁忌對(duì)象，然后算法轉(zhuǎn)至步驟二，否則轉(zhuǎn)至步驟五；步驟五：判斷各候選解對(duì)應(yīng)對(duì)象的禁忌屬性，從候選解集中選取非禁忌對(duì)象對(duì)應(yīng)的最佳狀態(tài)為新的當(dāng)前解，再按照先進(jìn)先出原則更新禁忌表，然后轉(zhuǎn)至步驟二。

2.2　模擬退火算法

模擬退火算法(simulated annealing algorithm，SAA)是Metropolis等受固體物質(zhì)退火原理啟發(fā)而提出的一種通用的自適應(yīng)啟發(fā)式隨機(jī)優(yōu)化搜索算法[12]，具有魯棒性強(qiáng)、全局收斂速度快、隱含并行性以及較強(qiáng)的環(huán)境適應(yīng)能力等優(yōu)點(diǎn)。基本思想是從初始時(shí)刻某一預(yù)設(shè)溫度出發(fā)，隨著迭代搜索進(jìn)行，伴隨溫度參數(shù)不斷下降，按照Metropolis準(zhǔn)則，結(jié)合概率突跳特性，在可行解空間中隨機(jī)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，即按照Metropolis準(zhǔn)則以一定概率跳出局部最優(yōu)陷阱而最終趨于全局最優(yōu)解。選用模擬退火算法解決TSP的具體步驟如下[13]，步驟一：初始化算法參數(shù)，設(shè)定初始溫度、終止溫度、降溫速率以及鏈長(zhǎng)等參數(shù)；步驟二：采用隨機(jī)排列方法生成初始解；步驟三：采用二鄰域變換法對(duì)當(dāng)前解進(jìn)行變換并生成新解，即產(chǎn)生新的路徑數(shù)組；步驟四：判斷Metropolis準(zhǔn)則是否接受新解，判斷依據(jù)如方程(3)、(4)所示，如果Δδ<0，則以概率1接受新解，反之則以概率exp(-Δδ/T)接受新解；步驟五：判斷算法是否滿(mǎn)足終止條件T

Metropolis準(zhǔn)則方程式如下[14]：

Δδ=f(S2)-f(S1)；

(3)

(4)

式中：S1、S2分別表示當(dāng)前解和新解；f(S1)、f(S2)分別表示當(dāng)前解路徑和新解路徑；Δδ表示當(dāng)前解和新解路徑差。

2.3　蟻群算法

蟻群算法(ant colony optimization，ACO)是由Dorigo等通過(guò)模擬螞蟻覓食行為而提出的一種新型優(yōu)化仿生進(jìn)化算法。該算法是基于正反饋機(jī)制，利用螞蟻遺留在爬行路線(xiàn)上的信息素軌跡強(qiáng)弱和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解搜尋。因其具有分布計(jì)算、信息正反饋、啟發(fā)式搜索以及較強(qiáng)的魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，所以被廣泛用于解決路徑規(guī)劃、生產(chǎn)調(diào)度、網(wǎng)絡(luò)路由以及圖像處理等問(wèn)題[15]。選用蟻群算法解決農(nóng)用機(jī)器人TSP問(wèn)題具體步驟如下，步驟一：初始化算法參數(shù)，包括搜索次數(shù)、螞蟻數(shù)量、初始信息素濃度以及其他各主要調(diào)節(jié)參數(shù)等；步驟二：算法開(kāi)始迭代搜索，將所有螞蟻初始條件下所在的各作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)加載到當(dāng)前解集中，在算法執(zhí)行過(guò)程中，螞蟻對(duì)下一作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)的訪(fǎng)問(wèn)可按照方程式(5)確定；步驟三：判斷所有螞蟻是否完成對(duì)作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)訪(fǎng)問(wèn)，若是，則計(jì)算所有螞蟻搜索的路徑長(zhǎng)度，并記錄最優(yōu)解，然后按照方程式(6)、式(7)和式(8)對(duì)各作物種植區(qū)連接路徑上的信息素進(jìn)行更新；步驟四：判斷是否滿(mǎn)足終止條件N≤Nmax，如果滿(mǎn)足，則轉(zhuǎn)至步驟二，否則，算法搜索結(jié)束，輸出結(jié)果。

節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移概率函數(shù)式如下[16]：

(5)

式中：pijk表示轉(zhuǎn)移概率；allowedk表示下一步允許選擇的作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)集合；τij表示路段(i，j)的信息素軌跡強(qiáng)度；ηij表示啟發(fā)函數(shù)因子；α表示信息素軌跡相對(duì)重要程度因子；β表示期望程度因子。

信息更新規(guī)則方程式如下：

τij(t+1)=(1-ρ)·τij(t)+Δτij；

(6)

(7)

(8)

式中：ρ表示信息素?fù)]發(fā)系數(shù)；Δτij表示路段(i，j)上的信息素增量；Q表示信息素增強(qiáng)因子。

2.4　遺傳算法

遺傳算法(genetic algorithm，GA)是由Holland與其同事在自然選擇和遺傳理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)將自然界生物進(jìn)化過(guò)程中的適者生存法則與種群內(nèi)部染色體信息隨機(jī)交換機(jī)制進(jìn)行有效結(jié)合，而發(fā)展起來(lái)的一種具有高效全局搜索能力的啟發(fā)式智能隨機(jī)優(yōu)化算法。該算法主要由編碼、種群規(guī)模設(shè)定、適應(yīng)度評(píng)估函數(shù)、選擇、交叉以及變異操作組成，具有并行計(jì)算、魯棒性強(qiáng)、全局尋優(yōu)能力強(qiáng)以及易與其他啟發(fā)式算法結(jié)合等特點(diǎn)[17-18]。選用遺傳算法解決農(nóng)用機(jī)器人TSP問(wèn)題的具體步驟可表述為：(1)采用整數(shù)編碼方法將TSP問(wèn)題空間解數(shù)據(jù)編碼成遺傳算法可以識(shí)別的串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)；(2)編碼操作結(jié)束后，隨機(jī)產(chǎn)生1個(gè)包含M個(gè)個(gè)體的種群，并確定算法初始搜索點(diǎn)；(3)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)設(shè)定種群適應(yīng)度函數(shù)，具體如方程式(9)所示，依次計(jì)算種群中M個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，并以各個(gè)體適應(yīng)度值的大小判斷種群中個(gè)體的優(yōu)劣；(4)以適應(yīng)度方程式(9)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，采用輪盤(pán)賭法以一定概率從種群中篩選出優(yōu)良個(gè)體，確保優(yōu)良個(gè)體的某些重要基因遺傳到下一代；(5)采用部分映射交叉方法作用于步驟(4)中的種群；(6)確定變異對(duì)象，隨機(jī)選取2點(diǎn)，以一定變異概率置換其位置；(7)對(duì)步驟(6)中種群進(jìn)行進(jìn)化逆轉(zhuǎn)操作，產(chǎn)生新種群；(8)判斷終止條件N>Nmax是否滿(mǎn)足，若滿(mǎn)足，則搜索過(guò)程結(jié)束，輸出結(jié)果，反之則算法轉(zhuǎn)至步驟(3)。

適應(yīng)度函數(shù)方程式如下：

(9)

3　仿真試驗(yàn)與分析

為測(cè)試所提方法在多功能農(nóng)用機(jī)器人路徑規(guī)劃中的實(shí)際效果，分別選用含有25、30、40、50個(gè)作物種植區(qū)的環(huán)境模型作為研究對(duì)象，以距離最短、程序耗時(shí)最少、收斂代數(shù)最小為評(píng)價(jià)指標(biāo)，在Matlab軟件平臺(tái)上對(duì)所提方法進(jìn)行仿真測(cè)試。為了使測(cè)試數(shù)據(jù)更好反映算法實(shí)際性能，每組數(shù)據(jù)均作了多次重復(fù)測(cè)試，結(jié)果見(jiàn)表1。另外，在作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)規(guī)模為50的環(huán)境模型中，由于禁忌搜索算法、模擬退火算法、蟻群算法無(wú)法搜索到滿(mǎn)足目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化路徑，因此，表1未給出該環(huán)境模型下的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1　各算法的測(cè)試數(shù)據(jù)

由表1數(shù)據(jù)可知，在作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)規(guī)模為25的環(huán)境模型下，TSA和ACO搜索路徑的最優(yōu)解長(zhǎng)度相同且最短，ACO搜索路徑的標(biāo)準(zhǔn)差和開(kāi)始收斂代數(shù)均為最小，TSA的程序耗時(shí)最少；在節(jié)點(diǎn)規(guī)模為30的環(huán)境模型下，ACO搜索路徑的長(zhǎng)度和標(biāo)準(zhǔn)差均為最小，SAA最先開(kāi)始收斂，GA和ACO的數(shù)據(jù)測(cè)試次數(shù)相同且最少，TSA的程序耗時(shí)最少；在節(jié)點(diǎn)規(guī)模為40的環(huán)境模型下，ACO搜索路徑的長(zhǎng)度和標(biāo)準(zhǔn)差均為最小，SAA最先開(kāi)始收斂，GA的數(shù)據(jù)測(cè)試次數(shù)最少，TSA的程序耗時(shí)最少。綜上分析并結(jié)合表1數(shù)據(jù)可知，在節(jié)點(diǎn)規(guī)模較小環(huán)境模型下，算法全局搜索能力排序?yàn)锳CO>GA>TSA>SAA；最優(yōu)解穩(wěn)定性排序大體為ACO>GA>SAA>TSA；收斂性能排序大體為SAA>ACO>GA>TSA，程序執(zhí)行效率排序?yàn)門(mén)SA>SAA>GA>ACO；最優(yōu)解獲得難易程度排序?yàn)镚A>ACO>TSA>SAA；在節(jié)點(diǎn)規(guī)模較大環(huán)境模型下，GA的全局搜索能力優(yōu)于其他3種算法。

各算法在節(jié)點(diǎn)規(guī)模為40的環(huán)境模型下的測(cè)試結(jié)果如圖1、圖2、圖3和圖4所示。

圖5為遺傳算法在節(jié)點(diǎn)規(guī)模為50的環(huán)境模型下的路徑軌跡迭代圖。由仿真測(cè)試結(jié)果可知，在節(jié)點(diǎn)數(shù)為40的環(huán)境模型下，各算法均能為農(nóng)用機(jī)器人規(guī)劃出一條距離最短的優(yōu)化路徑，但在節(jié)點(diǎn)數(shù)為50的環(huán)境模型下，僅有GA能為其規(guī)劃出距離最短的優(yōu)化路徑。由圖1至圖4還可看出，SAA收斂性能優(yōu)于ACO，ACO優(yōu)于GA，GA優(yōu)于TSA。此外，對(duì)比不同環(huán)境模型下的測(cè)試數(shù)據(jù)可知，針對(duì)節(jié)點(diǎn)規(guī)模較大的環(huán)境模型，GA可通過(guò)增大種群數(shù)量和增加收斂代數(shù)獲取最優(yōu)路徑。

4　結(jié)論

本研究提出采用禁忌搜索算法、模擬退火算法、遺傳算法和蟻群算法解決多功能農(nóng)用機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題。為驗(yàn)證算法的有效性，分別以作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)數(shù)為25、30、40、50的環(huán)境模型為實(shí)例，對(duì)多功能農(nóng)用機(jī)器人路徑規(guī)劃過(guò)程進(jìn)行仿真測(cè)試。由測(cè)試結(jié)果可知，在滿(mǎn)足目標(biāo)函數(shù)約束的條件下，各算法均能為農(nóng)用機(jī)器人規(guī)劃出評(píng)價(jià)指標(biāo)最好的優(yōu)化路徑；在作物種植區(qū)節(jié)點(diǎn)規(guī)模較小環(huán)境下，雖然蟻群算法具有最強(qiáng)的全局搜索能力和較好的收斂性能，但程序執(zhí)行效率最低；遺傳算法雖能通過(guò)增大種群數(shù)量和增加收斂代數(shù)解決農(nóng)用機(jī)器人節(jié)點(diǎn)規(guī)模較大路徑規(guī)劃問(wèn)題，但收斂性能較差；雖然禁忌搜索算法和模擬退火算法的全局尋優(yōu)能力較差，但其程序執(zhí)行效率高，因此，可考慮通過(guò)算法融合策略來(lái)增強(qiáng)其全局尋優(yōu)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]姬江濤，鄭治華，杜蒙蒙，等. 農(nóng)業(yè)機(jī)器人的發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢(shì)[J]. 農(nóng)機(jī)化研究，2014(2)：1-4，9.

[2]林歡，許林云. 中國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)器人發(fā)展及應(yīng)用現(xiàn)狀[J]. 浙江農(nóng)業(yè)學(xué)報(bào)，2015，27(5)：865-871.

[3]王寶梁，薛金林. 開(kāi)放式系統(tǒng)農(nóng)業(yè)機(jī)器人技術(shù)概述[J]. 農(nóng)機(jī)化研究，2013(6)：8-12.

[4]Zhang X，Zhao Y，Deng N，et al.Dynamic path planning algorithm for a mobile robot based on visible space and an improved genetic algorithm[J]. International Journal of Advanced Robotic System，2016(13)：1-17.

[5]張?chǎng)锡?，陳秀萬(wàn)，肖漢，等. 一種求解旅行商問(wèn)題的新型帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法[J]. 控制與決策，2016，31(4)：586-592.

[6]Dewil R，Vansteenwegen P，Cattrysse D.A review of cutting path algorithms for laser cutters[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2016，87(5/6/7/8)：1865-1884.

[7]Michail O，Spirakis P G.Traveling salesman problems in temporal graphs[J]. Theoretical Computer Science，2016(634)：1-23.

[8]王輝，朱龍彪，朱天成，等. 基于粒子群遺傳算法的泊車(chē)系統(tǒng)路徑規(guī)劃研究[J]. 工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2016，23(2)：195-200.

[9]李陽(yáng)，李文芳，馬驪，等. 混合退火算法求解旅行商問(wèn)題[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2014，34(增刊1)：110-113.

[10]汪定偉，王俊偉，王洪峰，等. 智能優(yōu)化方法[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[11]邵陸壽. 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[M]. 北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2007.

[12]鞏敦衛(wèi)，曾現(xiàn)峰，張勇. 基于改進(jìn)模擬退火算法的機(jī)器人全局路徑規(guī)劃[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2013，25(3)：480-483，488.

[13]潘國(guó)強(qiáng)，胡俊逸，洪敏，等. 考慮GIS的物流配送區(qū)域劃分與路徑規(guī)劃算法[J]. 大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，41(1)：83-90.

[14]郁磊，史峰，王輝，等. MATLAB智能算法30個(gè)案例分析[M]. 2版.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2015.

[15]Wang J G，Wang N，Jiang H Y.Robot global path planning based on improved ant colony algorithm[C]. Paris：International Conference on Material，2015：2099-2102.

[16]Cao J.Robot global path planning based on an improved ant colony algorithm[J]. Journal of Computer and Communications，2016，4(2)：11-19.

[17]Jiang M，F(xiàn)an X，Pei Z，et al.Robot path planning method based on improved genetic algorithm[J]. Sensors and Transducers，2014，166(3)：255-260.

[18]雷英杰，張善文. MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用[M]. 西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2014.