從中間問題入手引導(dǎo)小學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化

王浩 王艷

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)方法，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化反映，它具有過程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也明確指出，要“通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與探究，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。考察一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，要看他能否在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，采用數(shù)學(xué)方法與策略解決數(shù)學(xué)問題。所以教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)提煉數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法及策略。下面結(jié)合義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（人教版）小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的課例，談?wù)勅绾螐闹虚g問題入手，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想并掌握數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法。

一、創(chuàng)設(shè)情境，將數(shù)變形

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)的工具性特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)獨(dú)特的抽象性和概括性。數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)教育者截取生活中的某一個(gè)畫面，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，使其成為情境圖。這種情境圖往往具有濃郁的生活氣息，使學(xué)生感到親切自然，能喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。但數(shù)學(xué)本身又具有符號(hào)性的特點(diǎn)，如果沒有對(duì)情境圖進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程，只會(huì)使學(xué)生停留在片段的情境中，不能形成抽象概括能力，不利于掌握解決問題的方法。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境圖進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，將形象的實(shí)物圖形抽象成數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)符號(hào)，這也是數(shù)學(xué)教師要探究的教學(xué)方法和教學(xué)策略。

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者在設(shè)計(jì)用小數(shù)的除法解決問題時(shí)，首先讓學(xué)生感知情境圖，收集情境圖中所給予的已知數(shù)學(xué)信息，并找出要解決的問題。例如已知信息是“220.5千克的產(chǎn)奶量是上周3頭奶牛的”，問題是“平均每頭奶牛每天的產(chǎn)奶量是多少千克？”要讓學(xué)生抓住問題進(jìn)行分析：平均分的是什么？分給了誰(shuí)？怎么分的？學(xué)生根據(jù)情境圖的信息，馬上就能說出：分的是上周產(chǎn)奶量，平均分給了3頭奶牛。教師繼續(xù)因勢(shì)利導(dǎo)：你能畫出一個(gè)圖表示題目的意思嗎？學(xué)生經(jīng)過小組合作探討后畫出了兩種示意圖（見圖1）。

學(xué)生利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)完成了數(shù)形的轉(zhuǎn)化。之后教師讓學(xué)生說一說圖畫代表的意思，并給予恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)鼓勵(lì)。然后對(duì)比兩幅圖哪一幅更簡(jiǎn)潔一些，再進(jìn)行優(yōu)化。在學(xué)生普遍認(rèn)為右圖更簡(jiǎn)潔的情況下，教師讓學(xué)生利用課前準(zhǔn)備好的學(xué)具——21厘米長(zhǎng)的紙條，將其折成3等份，每一份代表一頭奶牛上周的產(chǎn)奶量，然后適當(dāng)引導(dǎo)：如果把長(zhǎng)方形紙條變成一條線段，你能用點(diǎn)表示出上周每一頭奶牛的產(chǎn)奶量嗎？這樣，學(xué)生就能化繁為簡(jiǎn)，完成3頭奶牛上周產(chǎn)奶量的線段圖，使數(shù)轉(zhuǎn)化為形。

二、數(shù)形分析，提出中間問題

數(shù)與形的轉(zhuǎn)化是解決實(shí)際應(yīng)用問題的重要途徑。數(shù)與形轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)和形成不是短期內(nèi)一下子完成的，必須結(jié)合具體內(nèi)容系統(tǒng)地、有針對(duì)性地、循序漸進(jìn)地開展。數(shù)形轉(zhuǎn)化思想也不是靠簡(jiǎn)單的畫圖就能實(shí)現(xiàn)，而是要漸進(jìn)地滲透，應(yīng)根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題的聯(lián)系，在教學(xué)中逐漸培養(yǎng)。本例中數(shù)形對(duì)應(yīng)的建構(gòu)，克服了學(xué)生在思考抽象文字時(shí)遇到的阻礙，使問題更形象具體，同時(shí)也使學(xué)生學(xué)會(huì)了一種解決問題的方法——畫圖。在圖示的指導(dǎo)下，教師再問：“根據(jù)你的線段圖或折分的紙條，你能提出什么問題？”學(xué)生很容易就會(huì)提出“上周每頭奶牛的產(chǎn)奶量是多少千克？”的問題。這樣就抓住了本節(jié)課的重點(diǎn)，即中間問題。中間問題的提出，為解決最終問題掃清了障礙。學(xué)生利用已有知識(shí)——平均分的除法意義，列出算式，對(duì)中間問題進(jìn)行了解答。在此基礎(chǔ)上，教師再讓學(xué)生對(duì)比“我們提出的問題和解決的問題與題目要求解決的問題一樣嗎？”學(xué)生通過認(rèn)真觀察與討論，發(fā)現(xiàn)剛剛求出的是上周每頭奶牛的產(chǎn)奶量，而并非平均每頭奶牛每天的產(chǎn)奶量。教師此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生審題后回答：上周是多少天呢？平均每頭奶牛每天產(chǎn)奶多少千克是什么意思？在學(xué)生明確了上周是7天后，再讓學(xué)生通過紙條，找出一頭奶牛上周的產(chǎn)奶量，再動(dòng)手折紙平均分到7天里（見圖2）。學(xué)生思考與動(dòng)手操作后，就能夠說出：平均每頭奶牛每天的產(chǎn)奶多少千克，只要把上周一頭奶牛的產(chǎn)奶量平均分到7天里，就是一頭奶牛一天的產(chǎn)奶量。

然后教師再讓學(xué)生回到線段圖上，找到哪一部分是一頭奶牛上周的產(chǎn)奶量，再把它平均分成7份，就找到了一頭奶牛一天的產(chǎn)奶量，從而使數(shù)形一一對(duì)應(yīng)起來。這樣分層遞進(jìn)，就構(gòu)建了數(shù)形結(jié)合解決問題的策略體系。最后列式解答，讓學(xué)生思考并練習(xí)如何將連除問題還原成連乘問題進(jìn)行驗(yàn)算，使學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的態(tài)度和驗(yàn)證習(xí)慣。

三、數(shù)形結(jié)合，發(fā)散學(xué)生思維

學(xué)生理解了數(shù)形結(jié)合解決問題的策略后，教師應(yīng)該利用這種思想方法培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，培養(yǎng)思維的靈活性、敏捷性和深刻性。如教師在本例第一種方法完成以后，接著鼓勵(lì)學(xué)生思考：除了把3頭奶牛上周的產(chǎn)奶量先平均分給3頭奶牛外，你們還可以先算什么？讓學(xué)生通過小組合作，利用線段圖邊畫邊探討。學(xué)生畫出了如圖3所示的幾種不同的線段。

（1）先求3頭奶牛一天的產(chǎn)奶量，再求一頭奶牛一天的產(chǎn)奶量

（2）先求上周的產(chǎn)奶量相當(dāng)于多少頭奶牛一天的產(chǎn)奶量， 再求一頭奶牛一天的產(chǎn)奶量

（3）先求一頭奶牛多少天能產(chǎn)220.5千克奶，再求一頭奶牛一天的產(chǎn)奶量

數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。通過對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的分析，教師采用“一畫（自由畫）、二折（平均分）、三討論、四抽象（建立模型，規(guī)范線段圖）、五對(duì)應(yīng)（數(shù)形對(duì)應(yīng)，表明條件問題）、六列式、七解答、八驗(yàn)證”八個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，對(duì)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)、提高創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問題的能力起到了促進(jìn)作用。同時(shí)，也有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他們真切地感受到數(shù)學(xué)的有趣和有用。