陳炎冬，楊 敏，許轟烈，劉 潔

（無錫太湖學(xué)院 物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)江蘇省重點實驗室，無錫 214064）

0 引言

在現(xiàn)在的控制系統(tǒng)中，PID（Proportional, Integral and Differential）控制是已知的應(yīng)用范圍較廣泛、技術(shù)理論較成熟的一種控制方法。近幾年，車輛ABS控制策略也在不斷改進，在傳統(tǒng)PID的基礎(chǔ)上又發(fā)展出模糊PID、自適應(yīng)PID、模糊自適應(yīng)PID及非線性控制等性能更好的控制方法[1～3]。

分數(shù)階微積分理論在很多方面相比整數(shù)階微積分理論具有一定的優(yōu)越性[4～7]將PID控制與分數(shù)階微積分理論相結(jié)合，針對PID中存在的不足和問題，利用分數(shù)階微積分理論的“記憶”特性等性能，采用分數(shù)階PID控制器控制分數(shù)階被控系統(tǒng)或者整數(shù)階系統(tǒng)時，分數(shù)階PID控制器比整數(shù)階PID控制器多了積分階次與微分階次兩個可改變的參數(shù)，提高了系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置的靈活性，可以獲得更好的動態(tài)品質(zhì)。但如何找到這些參數(shù)的最佳值比較困難，目前PID參數(shù)整定方法主要有兩種，一種是經(jīng)驗整定法，另一種是智能整定方法。而遺傳算法是一種新型的、模擬生物進化機制的隨機化搜索和優(yōu)化方法，具有并行計算、全局收斂、編碼操作，易于與問題結(jié)合，便于運算等特點，這些特點使得將其運用于分數(shù)階PID 參數(shù)的優(yōu)化是可行的。目前車輛ABS的整數(shù)階PID控制參數(shù)整定方面已經(jīng)有一些研究[8～10]，但在方面分數(shù)階PID控制[11,12]方面研究較少，而且方法有進一步改進的空間。

本文采用MATLAB的遺傳算法工具箱來完成分數(shù)階PID控制的參數(shù)整定，但由于分數(shù)階微積分算子的引入，適應(yīng)度函數(shù)變的復(fù)雜很難用函數(shù)表示，故采用了Simulink環(huán)境建立適應(yīng)度函數(shù)的仿真模型，使非線性、復(fù)雜的問題變得簡單，下面將針對這些問題進行研究。

1 被控車輛系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 單輪車輛模型

本文側(cè)重研究ABS的縱向直線制動性能，故為了簡化問題，采用單輪車輛模型，不考慮空氣阻力和車輪滾動阻力[1,2]，如圖1所示。

圖1 單輪車輛模型

汽車的運動方程：

汽車車輪的運動方程：

汽車車輪的縱向摩擦力：

式中，M是1/4汽車的質(zhì)量（kg），v是汽車的行駛速度（m/s），F(xiàn)縱向摩擦力（N）；I是車輪的轉(zhuǎn)動慣量（kg·m2），r是車輪半徑（m），Mb是制動器產(chǎn)生的制動力矩（N·m），ω是車輪的角速度（rad/s）；Fz是地面支持力（N），μ是縱向附著系數(shù)。

1.2 車輪輪胎模型

本文輪胎模型采用雙線性模型[3]其數(shù)學(xué)公式表示為：

式(4)中，μ是輪胎縱向的附著系數(shù)，Sd是汽車最佳的滑移率，μz為峰值的縱向附著系數(shù)，S在實際中的汽車滑移率，μh滑移率等于100%時所得的縱向附著 系數(shù)。

1.3 滑移率模型

汽車在制動過程之中，由制動強度的不斷增大，車輪滑動也就不斷加大，與此同時車輪滾動就會變得越來越小。為了說明在制動過程所存在的滑動比例，我們通常會用輪胎滑移率S來說明。

當車輪本身的速度等于車體的速度時，滑移率S的值為0，汽車未發(fā)生滑動，車輪只是處于純滾動狀態(tài)。當汽車的車輪在路面上發(fā)生滑動時，車輪會發(fā)生抱死的現(xiàn)象，致使滑移率為100%為純滑動狀態(tài)。在這種情況下，其側(cè)向產(chǎn)生的附著力幾乎處于零干擾狀態(tài)，就會使汽車車輪發(fā)生側(cè)滑，造成事故。所以說當汽車制動時，首先要防止制動抱死情況的發(fā)生。

1.4 制動系統(tǒng)模型

1）液壓模型

建模時考慮制動器制動力隨電磁閥電流的變化會發(fā)生變化的。忽略電磁閥彈簧的非線性因素和壓力傳送的延遲，將液壓傳動系統(tǒng)簡化為由一個積分環(huán)節(jié)和一個電磁閥環(huán)節(jié)構(gòu)成[12]。電磁閥的響應(yīng)時間t一般小于或等于10ms，故仿真時慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T為0.01，同時設(shè)環(huán)節(jié)增益K＝100，則液壓傳動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

2）制動器模型

建模仿真時將制動器認為是理想元件,假定制動器的非線性特性較弱并且其滯后帶來的影響可忽略不計[10]。制動力矩為式中，Kρ為制動效能因數(shù)，N·m/kPa，P為制動缸壓力，kPa。

2 分數(shù)階PID控制器的設(shè)計

分數(shù)階PID控制器最早是I.Podlubny教授提出的[13]，它的一般格式簡記為PIλDμ。由于除了和常規(guī)PID一樣的三個比例系數(shù)外，它還引入了微分、積分階次參數(shù)λ和μ，從而使得整個控制器增加了兩個可隨意改變的參數(shù)，因此控制器參數(shù)的整定范圍變大，從而能夠更加靈活地控制被控對象。

分數(shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為：

分數(shù)階微積分算子s?λ、sμ本文采用改進Oustaloup濾波器近似法[14]來計算控制器的輸出。

圖2 分數(shù)階PID控制器結(jié)構(gòu)框圖

圖中Kp比例系數(shù)、Ki為積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù)，G(s)為被控對象傳遞函數(shù)，e(t)，u(t)分別為PID控制器的輸入信號（系統(tǒng)誤差信號）和輸出信號。

式中Sd、S分別為控制系統(tǒng)的期望滑移率與實際滑移率；分數(shù)階PID的控制規(guī)律為:

3 基于遺傳算法的分數(shù)階PID參數(shù)整定

3.1 遺傳算法參數(shù)整定步驟

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是建立在自然選擇原理和自然遺傳機制上的迭代式自適應(yīng)概率性搜索方法，它能夠模擬自然界中生物進化的發(fā)展規(guī)律，對特定目標實現(xiàn)自動優(yōu)化。本文主要采用MATLAB遺傳算法工具箱提供的函數(shù)對分數(shù)階PID參數(shù)進行優(yōu)化，流程圖如圖3所示，具體步驟入下：

1）并對參數(shù)群體進行初始化種群的規(guī)模NIND、變量個數(shù)NVAR、最大迭代次數(shù)MAXGEN、交叉XOVR和變異MUTR概率等。

2）采用經(jīng)驗試湊法，大概確定Kp、Ki、Kd、λ、μ這5個參數(shù)的大致上下限，用Crtbp并進行二值編碼。

3）隨機產(chǎn)生NIND個個體構(gòu)成初始種群。

4）用bs2rv指令將種群中各個二值編碼的個體解碼成對應(yīng)的實數(shù)參數(shù)值，用此參數(shù)調(diào)用Simulink仿真模型求系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，同時得到目標函數(shù)值ObjV=J及調(diào)用適應(yīng)度分配函數(shù)Ranking(ObjV)。

5）應(yīng)用選擇（Select）、交叉（Recombin）和變異（Mut）算子對種群進行操作，然后通過重插入命令（Reins）產(chǎn)生下一代種群。

6）重復(fù)步驟4）和5）直至參數(shù)收斂或者達到預(yù)定目標。

圖3 遺傳算法分數(shù)階PID參數(shù)整定的流程圖

3.2 適配度函數(shù)的確定

為了滿足系統(tǒng)的動態(tài)特性，本文參考常見的誤差絕對時間積分的性能指標和系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間確定系統(tǒng)的評價函數(shù)，為了防止控制量過大，引入輸入的平方項。評價函數(shù)[8～10]為：

式中：w1、w2和w3、w4為評價各個部分的權(quán)重值，這里分別取0.999、0.001、100、10；e(t)為系統(tǒng)誤差；u(t)為控制輸入；ts為系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間取0.1s。

3.3 仿真模型及仿真內(nèi)容

綜合上述，根據(jù)車輛數(shù)學(xué)建模和分析、分數(shù)階PID控制器的設(shè)計及遺傳算法的步驟，構(gòu)建了基于遺傳算法的車輛ABS分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定框圖。如圖4所示。

圖4 基于遺傳算法的車輛ABS分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定框圖

在MATLAB/Simulink環(huán)境中，下面主要進行兩個方面的仿真比較實驗：1）經(jīng)驗試湊法和遺傳算法得到控制器參數(shù)時的系統(tǒng)仿真比較；2）基于遺傳算法的分數(shù)階PID控制器與傳統(tǒng)PID控制器的系統(tǒng)仿真比較。

3.4 仿真參數(shù)

這里根據(jù)干燥的混凝土路面選取路面參數(shù)，按照長安某微型汽車的1/4車輛模型各個參數(shù)，控制器參數(shù)Kp、Ki、Kd、λ、μ用經(jīng)驗試湊法選取其范圍以及遺傳算法各個初值按經(jīng)驗選取。具體參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3.5 仿真結(jié)果

首先，根據(jù)經(jīng)驗試湊法反復(fù)試湊得到一組分數(shù)階

PID參數(shù)：

并為每個參數(shù)規(guī)劃出大致的上下限：

給遺傳算法選擇初值做參考。

然后，在同等的遺傳算法條件下（如表1所示），分別對傳統(tǒng)整數(shù)階PID和分數(shù)階PID控制器的參數(shù)進行遺傳算法優(yōu)化仿真，得到最優(yōu)的參數(shù)如下：

分數(shù)階PID控制器的參數(shù)：

傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的參數(shù)：

分別對三種不同控制方法的ABS制動過程進行仿真，其主要制動性能指標如圖5～圖7所示，分別表示試湊法分數(shù)階PID、傳統(tǒng)整數(shù)階PID和分數(shù)階PID時的滑移率響應(yīng)曲線、制動距離、車速和輪速圖的對比仿真圖。

圖5 不同控制方法時的滑移率響應(yīng)曲線

表2數(shù)據(jù)列出了圖5、圖6主要制動指標的仿真結(jié)果。從表中可知分數(shù)階PID控制時的車輛制動距離S、制動時間t、評價函數(shù)最優(yōu)值J比其他兩種方法小。同時分數(shù)階PID還有非常好的控制性能，滑移率響應(yīng)的超調(diào)量幾乎沒有，上升時間和調(diào)整時間也明顯比整數(shù)階時小。從圖7所示的輪速和車速圖，還可以看出本文提出的控制策略可以使車輛輪速和車速很平穩(wěn)接近同步的降低到0。

圖7 不同控制方法時的車速和輪速圖

表2 仿真結(jié)果

圖8表示，基于遺傳算法的兩種PID控制器進化100代的最優(yōu)解變化曲線對比圖。

從圖中可以看出分數(shù)階PID時，在相同條件下收斂更快，23代左右基本達到最優(yōu)值區(qū)間，而整數(shù)階PID需要29代左右才能達到最優(yōu)值區(qū)間；同時分數(shù)階PID的最優(yōu)值明顯比整數(shù)階時更小。

圖8 整數(shù)階PID和分數(shù)階PID最優(yōu)目標值的變化曲線

4 結(jié)論

本文設(shè)計的ABS控制策略，充分發(fā)揮了分數(shù)階微積

【】【】分理論在PID控制中的特殊優(yōu)點，并且結(jié)合Simulink建模解決了非線性、復(fù)雜模型不能用傳遞函數(shù)表示目標函數(shù)的問題，使程序編寫變得簡單清晰，實現(xiàn)了基于遺傳算法的分數(shù)階PID控制器的在線參數(shù)整定，有一定的推廣價值。從上述實驗表明，相比傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器和試湊法本文提出分數(shù)階控制系統(tǒng)的控制指標：上升時間、調(diào)整時間短且?guī)缀鯖]有超調(diào)；制動效果：制動距離、制動時間都有明顯降低。綜合上述結(jié)論，說明基于遺傳算法在線參數(shù)整定的分數(shù)階PID控制在車輛ABS控制中是可行的。

參考文獻：

[1]張紅英,蔡進軍.汽車制動防抱死系統(tǒng)控制策略的仿真研究[J]. 制造業(yè)自動化,2012,(18):87-90.

[2]蔣科軍,劉成曄,張?zhí)m春.模糊PID在汽車防鎖死系統(tǒng)(ABS)上的控制優(yōu)化及仿真研究.科學(xué)技術(shù)與工程,2013,(31):9450-9453,9459

[3]席本強,何毅,丘文森.汽車ABS的模糊自適應(yīng)PID控制[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報,2014(11):1551-1555.

[4]陳炎冬.分數(shù)微積分理論在車輛底盤控制中的應(yīng)用研究[D].南京林業(yè)大學(xué),2008.

[5]彭建偉,周建斌,柳向斌.分數(shù)階PIλDδ控制器的設(shè)計[J].制造業(yè)自動化,2010,32(15):35-36,52.

[6]錢曉穎.分數(shù)階PIλDμ控制及其應(yīng)用研究[D].東南大學(xué),2016.

[7]Shah P,Agashe S. Review of Fractional PID Controller [J]. Mechatronics,2016,38:29-41.

[8]唐國元,賓鴻贊.基于遺傳算法的車輛ABS在線整定PID控制及仿真[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2007,19(07):1554-1557.

[9]牛薌潔,王玉潔,唐劍.基于遺傳算法的PID控制器參數(shù)優(yōu)化研究[J].計算機仿真,2010,27(11):180-182.

[10]張巍,盧宇清.基于在線自適應(yīng)遺傳算法的PID參數(shù)整定和優(yōu)化[J].計算機仿真,2011,28(12):154-157.

[11]李文,劉洋.基于遺傳算法的分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)分級整定[J].大連交通大學(xué)學(xué)報,2009,30(6):82-85.

[12]陳超波,胡莉,馬穎,等.一種改進式遺傳算法優(yōu)化分數(shù)階PID控制器[J].西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2016,36(06):510-516.

[13]Podlubny I. Fractional-order Systems and PIλDμ Controllers[J]. IEEE Trans-actions on Automatic Control,1999(1):208-214.

[14]齊乃明,秦昌茂,王威.分數(shù)階系統(tǒng)的最優(yōu)Oustaloup數(shù)字實現(xiàn)算法[J].控制與決策,2010,25(10):1598-1600.