賀王鵬， 孫　偉， 蘇　博， 閆允一， 郭寶龍

(西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710071)

重大機(jī)械設(shè)備不僅是重要的工業(yè)制造產(chǎn)品，也是關(guān)鍵的生產(chǎn)資料，其使用幾乎覆蓋了后續(xù)更新產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造、測(cè)試和服役保障等諸多環(huán)節(jié)．然而，這些關(guān)鍵設(shè)備在高溫腐蝕、復(fù)雜極端、重載強(qiáng)度和長(zhǎng)時(shí)間疲勞等惡劣的工作條件下運(yùn)行，零部件不可避免會(huì)發(fā)生性能退化和故障失效[1]．

旋轉(zhuǎn)機(jī)械關(guān)鍵零部件存在局部損傷故障時(shí)，其運(yùn)行過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生周期性沖擊響應(yīng)特征，且每個(gè)有用沖擊特征信息并不是孤立的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是具有簇稀疏的點(diǎn)集合．在機(jī)械設(shè)備運(yùn)行過(guò)程中，采集得到的振動(dòng)信號(hào)不可避免地會(huì)受到系統(tǒng)噪聲和環(huán)境噪聲的干擾．當(dāng)設(shè)備存在早期微弱故障時(shí)，故障的特征本身比較微弱，有用的故障特征信息往往被淹沒(méi)在強(qiáng)大的背景噪聲中[2]．機(jī)械故障動(dòng)態(tài)信號(hào)的微弱性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:故障損傷信號(hào)特征本身非常微弱，如早期故障;有用故障特征信號(hào)被機(jī)械系統(tǒng)多干擾源和強(qiáng)噪聲所淹沒(méi)，導(dǎo)致難以識(shí)別，這使得關(guān)鍵設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷的難度不斷增大[3]．因此，研究先進(jìn)的故障特征提取技術(shù)，具有重要的工程意義和實(shí)用價(jià)值．

近年來(lái)工程中廣泛應(yīng)用的傅里葉變換和小波變換等非平穩(wěn)信號(hào)處理方法，其本質(zhì)都是基于內(nèi)積變換原理的特征波形基函數(shù)分解．其中，基于小波的稀疏特征提取技術(shù)得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[4]．然而，對(duì)于復(fù)雜多變信號(hào)，小波變換在信號(hào)稀疏特征提取方面缺乏自適應(yīng)性．針對(duì)此類(lèi)信號(hào)，建立在多種基函數(shù)之上的原子分解方法(如匹配追蹤和基追蹤)可以取得較好的效果[5]．目前廣泛應(yīng)用的稀疏優(yōu)化模型中，基于l1范數(shù)的凸正則化得到各個(gè)領(lǐng)域的青睞．然而，非凸正則化往往能夠取得更好的處理效果，但是非凸正則項(xiàng)的引入可能會(huì)犧牲目標(biāo)函數(shù)的凸性[6]．針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]提出了一種巧妙的解決思路:通過(guò)適當(dāng)?shù)募s束非凸正則項(xiàng)(懲罰函數(shù))，使其與凸的二次數(shù)據(jù)保真項(xiàng)進(jìn)行平衡，可以保證目標(biāo)函數(shù)整體仍然為凸．基于上述思想，一些學(xué)者在近年來(lái)構(gòu)造出具體的優(yōu)化模型，并取得了比凸正則化更佳的應(yīng)用效果[8]．

筆者針對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的周期簇稀疏故障特征提取問(wèn)題，深入研究了一種周期重疊簇稀疏(Periodic Overlapping Group Sparsity， POGS)信號(hào)優(yōu)化特征提取算法[6]．旨在從含噪觀測(cè)數(shù)據(jù)中提取周期簇稀疏故障特征，所研究的POGS算法構(gòu)造了有效的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)中的正則項(xiàng)(懲罰函數(shù))選用非凸懲罰函數(shù)來(lái)增強(qiáng)周期性特征的稀疏性，并且證明了非凸可控化參數(shù)在一定約束條件下可以保證目標(biāo)函數(shù)整體為凸．引入優(yōu)控極小化方法(Majorization-Minimization， MM)[9]，推導(dǎo)出高效的迭代收斂算法用于POGS算法優(yōu)化問(wèn)題的求解．將所提出的POGS算法應(yīng)用于仿真信號(hào)，定量地分析了其有效性．最后將POGS算法應(yīng)用于軸承故障特征提取中，進(jìn)一步驗(yàn)證了其在稀疏故障特征提取中的優(yōu)越性．

1　問(wèn)題描述和非凸懲罰函數(shù)

1.1　問(wèn)題描述

文中研究時(shí)域周期性簇稀疏故障特征的優(yōu)化提取問(wèn)題．假設(shè)觀測(cè)到的含噪信號(hào)y可表示為

y=x+w,

(1)

其中，x表示具有周期簇稀疏特征的信號(hào)成分；w表示背景噪聲，通常假設(shè)為高斯白噪聲．需要說(shuō)明的是，在通用的故障診斷降噪模型中，一般假設(shè)觀測(cè)信號(hào)由有用振動(dòng)成分和干擾噪聲組成，而文中直接將觀測(cè)信號(hào)構(gòu)造為稀疏故障特征和噪聲的合成信號(hào)，旨在提取出與故障直接相關(guān)的周期性稀疏特征．

1.2　非凸懲罰函數(shù)

文中選用非凸懲罰函數(shù)來(lái)增強(qiáng)周期性特征的稀疏性，假設(shè)非凸懲罰函數(shù)φ:R→R，滿(mǎn)足如下特性:

(1)φ在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)．

(2)φ在R{0}范圍內(nèi)二階可微．

(3)φ在R+范圍內(nèi)遞增且是凹的．

(4)φ是對(duì)稱(chēng)函數(shù)，即φ(-x)=φ(x)．

圖1 絕對(duì)值凸函數(shù)與典型的非凸懲罰函數(shù)圖(a=2)

(5)φ′(0+)=1(在0處的斜率為1)．

(6) ?x≠0，存在φ″(x)≥φ″(0+)．

文中使用的非凸懲罰函數(shù)由一個(gè)標(biāo)量參數(shù)靈活地實(shí)現(xiàn)非凸程度的調(diào)節(jié)，該標(biāo)量參數(shù)標(biāo)記為a>0．定義符號(hào)φ(x;a)來(lái)表示非凸懲罰函數(shù)的參數(shù)化形式．滿(mǎn)足以上假設(shè)的典型非凸懲罰函數(shù)有對(duì)數(shù)函數(shù)型(log)、有理分式函數(shù)型(rat)及反正切函數(shù)型(arctan)，如表1所示．這幾類(lèi)典型的參數(shù)化非凸懲罰函數(shù)φ還具有如下特性:φ″(0+;a)= -a和φ(x;0)= |x|．絕對(duì)值凸函數(shù)和滿(mǎn)足本節(jié)假設(shè)的典型非凸懲罰函數(shù)如圖1所示．由圖1中可以觀察得到，反正切型(arctan)懲罰函數(shù)比其他兩種懲罰函數(shù)的非凸性更強(qiáng)，可以更大限度的增強(qiáng)提取特征的稀疏性．

表1　絕對(duì)值凸函數(shù)與典型的非凸稀疏懲罰函數(shù)

2　周期重疊簇稀疏信號(hào)優(yōu)化特征提取算法

針對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心零部件在發(fā)生故障時(shí)常伴隨周期性非平穩(wěn)沖擊特征的先驗(yàn)知識(shí)，研究一種高效的周期重疊簇稀疏(POGS)信號(hào)優(yōu)化特征提取算法．POGS算法具體包括優(yōu)化問(wèn)題的構(gòu)造、凸函數(shù)約束條件和快速收斂算法推導(dǎo)．

2.1　POGS算法優(yōu)化問(wèn)題的構(gòu)造

POGS算法構(gòu)造如下的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題:

(2)

其中，P為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)；y∈RN，為觀測(cè)得到的含噪信號(hào)；b為二進(jìn)制的序列b= {b0，b1，…，bK-1}，bk∈ {0，1}；懲罰函數(shù)φ:R→R，滿(mǎn)足1.2節(jié)中定義的假設(shè)條件．POGS算法優(yōu)化問(wèn)題在懲罰函數(shù)作用的對(duì)象中創(chuàng)造性地引入二進(jìn)制權(quán)重序列b，實(shí)現(xiàn)了稀疏特征結(jié)構(gòu)的靈活性刻畫(huà)[6]．具體地，θ(x，b，n)是一個(gè)具有二進(jìn)權(quán)重?cái)?shù)據(jù)塊的歐幾里得范數(shù)(l2范數(shù))，該數(shù)據(jù)塊包含K個(gè)相鄰的信號(hào)點(diǎn), 可表示為

(3)

2.2　凸函數(shù)約束條件

通過(guò)調(diào)節(jié)非凸懲罰函數(shù)的非凸程度，可以保證POGS算法優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)整體仍然為凸函數(shù)．其理論依據(jù)為:數(shù)據(jù)保真度項(xiàng)為凸的二次項(xiàng)(目標(biāo)函數(shù)P中的第1項(xiàng))，因此適當(dāng)?shù)丶s束非凸懲罰函數(shù)φ的非凸程度，可以保證目標(biāo)函數(shù)P整體為凸函數(shù)．目標(biāo)函數(shù)P為凸函數(shù)可以保證用迭代收斂算法求解時(shí)，所得到的結(jié)果不會(huì)受陷于局部最優(yōu)解．

0≤a<1/(K1λ)

(4)

時(shí)，則目標(biāo)函數(shù)P是嚴(yán)格凸的[6]．

2.3　POGS算法快速收斂求解算法

為求解POGS算法構(gòu)造的優(yōu)化問(wèn)題，引入優(yōu)控極小化方法(MM)求解所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)，并提出了高效的迭代收斂數(shù)值算法[6]．由于可以約束所構(gòu)造的優(yōu)化問(wèn)題為凸，所提出的迭代優(yōu)化算法最終收斂于凸優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解，這樣可以避免非凸優(yōu)化問(wèn)題受困于局部最優(yōu)解的難題．其中，POGS算法的正則化參數(shù)的取值，可根據(jù)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差大小進(jìn)行設(shè)置[6]．為了最大化地增強(qiáng)提取特征的稀疏性，非凸可控化參數(shù)a在滿(mǎn)足約束式(4)的條件下取最大值進(jìn)行設(shè)置．

POGS求解算法歸納如下:

輸入:y∈RN，λ，b∈{0，1}K，ε．

初始化:x=y，S={n:yn≠0}．

對(duì)n∈S，執(zhí)行循環(huán):

(2)xn=yn/(1+λrn)．

(3)S={n: |xn|>ε}．

直至收斂．

輸出:x．

3　仿真信號(hào)分析

為了驗(yàn)證文中研究的POGS算法在周期性稀疏故障特征提取中的有效性，模擬了一組周期性沖擊信號(hào)特征，并添加高斯白噪聲n(t)用于模擬背景干擾噪聲．仿真信號(hào)表達(dá)式為

y(t)=exp(-50t) sin(2π×50t)+n(t)．

(5)

仿真的周期性沖擊信號(hào)及含噪信號(hào)波形分別如圖2(a)和圖2 (b)所示，其中采樣頻率fs= 1 000 Hz，信號(hào)長(zhǎng)度為 2 048 個(gè)點(diǎn)，噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ= 0.33．可以觀察到，在原始信號(hào)中模擬的周期性瞬態(tài)沖擊分量被強(qiáng)大的背景噪聲所淹沒(méi)．為定量地分析POGS算法在提取周期稀疏特征方面的有效性，選用均方根誤差(Root-Mean-Square Error，RMSE)和信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)．對(duì)于圖2(b)中的仿真含噪信號(hào)，其均方根誤差為0.328，信噪比為 -6.540 dB．

圖2　仿真信號(hào)波形圖

采用文中研究的POGS算法對(duì)該模擬含噪信號(hào)進(jìn)行分析，其中正則化參數(shù)設(shè)置為λ= 0.152，算法迭代次數(shù)為30．POGS算法稀疏特征提取結(jié)果及優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)收斂特性分別如圖3(a)和圖3(b)所示．在提取得到的稀疏特征波形圖3(a)中，可以清晰地發(fā)現(xiàn)周期性沖擊單元，其均方根誤差為0.101，信噪比為 3.653 dB．分析結(jié)果證明了所研究的POGS算法可以準(zhǔn)確地恢復(fù)具有周期性稀疏特征的有用信號(hào)成分，最大限度地消除了背景噪聲的干擾．本例中所研究的POGS算法處理該仿真信號(hào)時(shí)運(yùn)行時(shí)間僅為 0.009 s，完全滿(mǎn)足工程中對(duì)算法實(shí)時(shí)性的要求．測(cè)試軟硬件為: 聯(lián)想Y40筆記本，16 GB 內(nèi)存，Intel i7-5500U處理器，Matlab 2011．

圖3　POGS算法稀疏特征提取結(jié)果及優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)收斂圖

4　實(shí)際信號(hào)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所研究的POGS算法在機(jī)械故障特征提取中的有效性，這里將其應(yīng)用于軸承故障振動(dòng)信號(hào)分析中．振動(dòng)信號(hào)來(lái)源于機(jī)械故障預(yù)防協(xié)會(huì)(Machinery Failure Prevention Technology Society， MFPTS)的故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)，數(shù)據(jù)來(lái)源網(wǎng)址為http://www.mfpt.org/FaultData/FaultData.htm．表2中列出了測(cè)試滾動(dòng)軸承的具體參數(shù)．輸入軸的轉(zhuǎn)頻(驅(qū)動(dòng)頻率)為 25 Hz．由表2可以計(jì)算得到軸承內(nèi)圈故障特征頻率為 118.9 Hz[10]．

表2　測(cè)試滾動(dòng)軸承具體參數(shù)

圖4所示為采集的軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形圖，該信號(hào)的采樣頻率和采樣長(zhǎng)度分別為 48.828 kHz 與 9 765 點(diǎn)．采用文中研究的POGS稀疏優(yōu)化算法對(duì)該含噪振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，正則化參數(shù)λ與噪聲標(biāo)準(zhǔn)差大小σ成比例．本節(jié)中，針對(duì)實(shí)際測(cè)量得到的信號(hào)，背景噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ可表示為

σ=median(|y|)/0.674 5,

(6)

其中，median(·)為取中值函數(shù)．式(6)為文獻(xiàn)[6]提出，并且已經(jīng)在小波降噪等研究中得到了廣泛的應(yīng)用．利用式(6)估計(jì)得到的背景噪聲標(biāo)準(zhǔn)差大小σ= 0.729，設(shè)置正則化參數(shù)λ= 0.273 4．POGS稀疏特征提取結(jié)果如圖5所示，在提取得到的特征波形圖中，可以清晰地發(fā)現(xiàn)周期性沖擊單元．沖擊單元間隔對(duì)應(yīng)的頻率與內(nèi)圈故障特征頻率 (118.9 Hz) 相一致．

圖4 內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖圖5 POGS稀疏特征提取結(jié)果圖

5　結(jié) 束 語(yǔ)

文中研究了機(jī)械故障信號(hào)的周期重疊簇稀疏(POGS)特征提取算法．POGS算法能夠有效地從時(shí)域含噪信號(hào)中提取出具有周期簇稀疏結(jié)構(gòu)的故障特征．POGS算法構(gòu)造了有效的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)中的正則項(xiàng)(懲罰函數(shù))選用非凸懲罰函數(shù)來(lái)增強(qiáng)周期性特征的稀疏性，并且證明了非凸可控化參數(shù)在滿(mǎn)足一定約束條件下可以保證目標(biāo)函數(shù)整體為凸．為求解POGS算法所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)，引入優(yōu)控極小化方法，推導(dǎo)出高效的迭代收斂數(shù)值算法，該快速求解算法最終收斂于POGS算法優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解．將所提出的POGS算法應(yīng)用于仿真信號(hào)，通過(guò)RMSE和SNR指標(biāo)定量地分析了其有效性．最后將POGS算法應(yīng)用于軸承故障特征提取中，進(jìn)一步驗(yàn)證其在稀疏故障特征提取中的優(yōu)越性．

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