李團(tuán)結(jié)， 楊　麗， 李　洋， 馬小飛

(1. 西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710071;2. 中國空間技術(shù)研究院西安分院，陜西 西安 710000)

網(wǎng)狀可展開天線[1]是上世紀(jì)末出現(xiàn)的一種新的可展開天線形式，由于其具有質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)大口徑與高增益等特點(diǎn)，在現(xiàn)有的空間在軌衛(wèi)星中得到廣泛的應(yīng)用．這些網(wǎng)狀可展開天線的反射面[2]是由柔性繩索與金屬絲網(wǎng)縫制而成，在太空環(huán)境中，受劇烈溫度變化影響，不同材料力熱特性差異引起金屬絲網(wǎng)與纖維繩索變形不協(xié)調(diào)，進(jìn)而影響繩索絲網(wǎng)組合結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力分布與形面精度，降低反射面電性能．因此，研究繩索絲網(wǎng)組合結(jié)構(gòu)的力熱匹配問題具有重要的意義[3-4]．

金屬絲網(wǎng)網(wǎng)格細(xì)小，一般將其等效為薄膜進(jìn)行處理，目前針對索膜結(jié)構(gòu)[5-7]的研究主要集中在索膜結(jié)構(gòu)的找形分析．文獻(xiàn)[8]考慮索膜結(jié)構(gòu)幾何和材料非線性，利用動態(tài)松弛法對索桿和膜單元進(jìn)行找形分析．文獻(xiàn)[9]對倒傘式可展索膜結(jié)構(gòu)的靜力分析原理進(jìn)行了理論推導(dǎo)，研究了倒傘式可展索膜結(jié)構(gòu)在荷載作用下應(yīng)力及位移的變化規(guī)律．文獻(xiàn)[10]對膜結(jié)構(gòu)力密度法找形的過程進(jìn)行改進(jìn)，引入膜面應(yīng)力和索拉力作為初始條件，以節(jié)點(diǎn)不平衡力作為控制誤差，使找形過程簡潔高效．

目前已有很多對空間結(jié)構(gòu)在溫度載荷作用下熱變形的研究．文獻(xiàn)[11]采用子域攝動隨機(jī)有限元法研究了空間結(jié)構(gòu)在軌運(yùn)行的熱變形，考慮了結(jié)構(gòu)參數(shù)受熱擾動對結(jié)構(gòu)熱變形的影響．文獻(xiàn)[12]通過有限元分析論證了空間反射面天線用薄膜在熱載荷作用下的影響規(guī)律．文獻(xiàn)[13]通過有限元法計(jì)算星載可展開天線太空輻射熱變形，研究了基本結(jié)構(gòu)參數(shù)對天線熱變形的影響．文獻(xiàn)[14]采用概率有限元法研究了材料熱膨脹系數(shù)在空間溫度影響下，空間可展開天線在軌運(yùn)行時(shí)的熱變形及其對天線形面精度的影響規(guī)律．

綜上所述，為了滿足我國航天事業(yè)對高精度網(wǎng)狀天線的需求，提高網(wǎng)狀天線在軌運(yùn)行的熱穩(wěn)定性，文中嘗試探索研究繩索絲網(wǎng)組合結(jié)構(gòu)的力熱匹配設(shè)計(jì)方法．首先，采用只承受張力的兩節(jié)點(diǎn)桿模擬繩索，利用膜模擬金屬絲網(wǎng)結(jié)構(gòu)，建立繩索絲網(wǎng)組合結(jié)構(gòu)力學(xué)模型；然后，分析繩索絲網(wǎng)組合結(jié)構(gòu)熱變形影響規(guī)律，并對索截面參數(shù)進(jìn)行匹配設(shè)計(jì)；最后，以環(huán)形桁架網(wǎng)狀可展開天線為算例，通過仿真驗(yàn)證了文中力熱匹配設(shè)計(jì)方法的有效性．

1　力學(xué)模型

金屬絲網(wǎng)網(wǎng)格細(xì)小，可用薄膜來等效．取單片三角形膜與索網(wǎng)進(jìn)行分析，如圖1所示．

圖1 單片索網(wǎng)與膜單元圖2 膜單元等效為桿單元

取每個(gè)索為一兩節(jié)點(diǎn)空間桿，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有3個(gè)自由度．假定索兩節(jié)點(diǎn)為理想的無摩擦鉸節(jié)點(diǎn)，索材料為理想線彈性體，受力和變形滿足虎克定律．將膜離散為三節(jié)點(diǎn)三角形單元，并進(jìn)一步將三角形膜單元等價(jià)為以三角形3條邊為單元的桿單元，這樣原來的三角形單元就轉(zhuǎn)化為沿3根桿自由伸縮的桿單元，如圖2所示．3個(gè)桿單元的初始拉力可表示為[3]

(1)

其中，σx和σy為膜的應(yīng)力，t為膜的厚度．

1.1　等應(yīng)力膜

假設(shè)膜面各方向的應(yīng)力均為σ，即等應(yīng)力膜，σx=σy=σ，則式(1)變?yōu)?/p>

Ti=σLit/(2 tanβi),i=1，2，3．

(2)

設(shè)繩索材料的熱脹系數(shù)為α，彈性模量為E，橫截面積為Ac，膜材料的熱脹系數(shù)為αm，彈性模量為Em，泊松比為μ．當(dāng)環(huán)境溫度變化ΔT時(shí)，繩索的張力增量 ΔF= ΔTαEAc，膜的應(yīng)力變化 Δσ= ΔTEmαm/ (1-μ)，則膜的三邊等效內(nèi)力增量為

圖3　索膜單元內(nèi)力

(3)

工程上，繩索一般選用熱脹系數(shù)為負(fù)的材料，即熱縮冷漲，這與膜材料的熱脹方向相反，如圖3所示．

為保證索膜熱變形協(xié)調(diào)，應(yīng)保證索和膜在連接處(變形相同)張力相等，令

若L1=L2=L3=L，則β1=β2=β3=β，即三角形為等邊三角形，則式(5)變?yōu)?/p>

(6)

其中，C是常數(shù)．

由式(5)和式(6)可知，由索膜熱變形協(xié)調(diào)得到的索參數(shù)Ac與溫度無關(guān)，但與索和膜的熱脹系數(shù)及膜的幾何參數(shù)有關(guān)．即當(dāng)索參數(shù)為Ac時(shí)，在任一溫變環(huán)境下，索的熱變形量與膜的熱變形量相同．

在索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中，索一般和兩個(gè)三角形膜相連．為了保證索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在溫變環(huán)境中熱變形協(xié)調(diào)，索i的截面參數(shù)可設(shè)計(jì)為

(7)

1.2　正交各向異性膜

對于正交各向異形體，平面彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)由應(yīng)力組成的向量與應(yīng)變組成的向量應(yīng)滿足下式：

(8)

其中，σx、σy和τxy分別為x、y方向應(yīng)力以及xy平面內(nèi)的切應(yīng)力，D為平面結(jié)構(gòu)的彈性矩陣，即

(9)

圖4　平面三角形膜單元

其中，Ex、Ey、Gxy和Vxy為工程常數(shù)．

圖4所示為一平面三角形膜單元，Oxy為彈性坐標(biāo)系，Ox′y′為局部坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系夾角為θ(逆時(shí)針為正)．

推導(dǎo)可以得到彈性坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系間的應(yīng)力關(guān)系為

(10)

其中，c=cosθ，s=sinθ，A為變換矩陣．

對于彈性坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系下的應(yīng)變，也有類似的關(guān)系[15]，即

(11)

將式(10)和式(11)代入式(8)，得到

(12)

所以，局部坐標(biāo)系下的正交各向異性膜的本構(gòu)矩陣D′為

D′=ATDRAR-1．

(13)

在局部坐標(biāo)系下，膜單元由于溫度變化產(chǎn)生的熱應(yīng)力為

(14)

展開式(14)，得到

若θ=45°或135°，則

(16)

其中，Eem定義為正交各向異性膜單元的等效彈性模量．由式(1)可知，此時(shí)熱應(yīng)力等效到3根桿的拉力為

Ti=EemαmΔTLit/(2 tanβi),i=1，2，3．

(17)

為了保證索膜變形協(xié)調(diào)，此時(shí)索截面參數(shù)應(yīng)設(shè)計(jì)為

Aci=(Eem/E) (αm/α)t(Li/(2 tanβi)),i=1，2，3．

(18)

同樣，若索網(wǎng)三角形為等邊三角形，在索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中，索的截面參數(shù)應(yīng)設(shè)計(jì)為

Ad=(Eem/E) (αm/α)t(L/tanβ)．

(19)

為了制造方便，索可選用同一截面尺寸的繩索．因此，工程設(shè)計(jì)中，為保證繩索-金屬絲網(wǎng)結(jié)構(gòu)的熱穩(wěn)定性，繩索的截面尺寸應(yīng)按式(7)或式(19)進(jìn)行選?。艚饘俳z網(wǎng)具有正交各向異性，可采取將金屬絲網(wǎng)彈性主軸沿與繩索局部坐標(biāo)系成45°或135°的方向鋪設(shè)．

圖5　環(huán)形桁架網(wǎng)狀可展開天線

2　數(shù)值算例

如圖5所示為一環(huán)形桁架網(wǎng)狀可展開天線，由前索網(wǎng)、金屬網(wǎng)面、豎向索、桁架結(jié)構(gòu)以及背索網(wǎng)構(gòu)成．天線口徑為 5 m，桁架高度為 1.2 m，前網(wǎng)面焦距為 3 m，后網(wǎng)面焦距為 20 m．E= 2× 1010N/m2，α= -1× 10-6，Ac= 3.14× 10-6m2，Em= 1×1 09N/m2，αm= 1× 10-5，t= 0.1 mm，μ=0.3．

對桁架進(jìn)行固定處理，設(shè)前索網(wǎng)索力均值為 20 N，利用平面投影法[16]對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形．找形后，索長度分布介于 0.417 m 到 0.446 m 之間，求得前網(wǎng)面索長均值L= 0.427 m，由式(7)，得到前網(wǎng)面索的設(shè)計(jì)橫截面積Ad= 1.760× 10-5m2．天線在太空工作，最低溫度低于 -100℃．在有限元軟件中對天線施加低溫 -100℃ 溫度場進(jìn)行仿真分析，前網(wǎng)面索取不同參數(shù)時(shí)天線熱變形云圖如圖6所示，其中，圖6(a)是前索網(wǎng)半徑 1 mm 的熱變形云圖，對應(yīng)的形面均方根誤差為 1.284 mm; 圖6(b)是力熱匹配設(shè)計(jì)的索參數(shù)的熱變形云圖，對應(yīng)的形面的均方根誤差為 0.101 mm．可以看出，采用文中的力熱匹配設(shè)計(jì)方法，天線在溫變環(huán)境下的熱穩(wěn)定性得到很大的改善，形面精度的均方根誤差提高了92%．

圖6　天線熱變形云圖

3　結(jié) 束 語

文中提出了一種繩索-金屬絲網(wǎng)組合結(jié)構(gòu)力熱匹配設(shè)計(jì)方法，能夠保證天線在軌運(yùn)行的熱穩(wěn)定性，得到了如下結(jié)論:

(1) 繩索-金屬絲網(wǎng)熱變形協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)得到的繩索設(shè)計(jì)參數(shù)與溫度無關(guān)，與繩索和金屬絲網(wǎng)的熱脹系數(shù)及幾何參數(shù)有關(guān)．

(2) 對于正交各向異性金屬絲網(wǎng)結(jié)構(gòu)，除了繩索參數(shù)需要匹配設(shè)計(jì)，金屬絲網(wǎng)彈性主軸應(yīng)沿與繩索局部坐標(biāo)系成45°或135°的方向鋪設(shè)．

(3) 數(shù)值算例結(jié)果表明: 采用文中的力熱匹配設(shè)計(jì)方法，天線在溫變環(huán)境下的熱穩(wěn)定性得到很大的改善，形面精度提高了92%．

參考文獻(xiàn)：

[1] LI T J, JIANG J, DENG H Q, et al. Form-finding Methods for Deployable Mesh Reflector Antennas[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2013, 26(5): 1276-1282.

[2]范葉森, 李團(tuán)結(jié), 馬小飛, 等. 一種等張力空間索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形方法[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 42(1): 49-55.

FAN Yesen, LI Tuanjie, MA Xiaofei, et al. Form-finding Method of Equal Tension Cable Networks for Space Mesh Antennas[J]. Journal of Xidian University, 2015, 42(1): 49-55.

[3]王輝, 宋燕平, 馬小飛. 非對稱環(huán)形天線型面穩(wěn)定性的參數(shù)匹配設(shè)計(jì)方法[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2017, 44(3): 122-128.

WANG Hui, SONG Yanping, MA Xiaofei. Parameter Matching Design Method to Keep Asymmetrical Astromesh Reflector Surface[J]. Journal of Xidian University, 2017, 44(3): 122-128.

[4]任榕, 解啟林, 高永新, 等. 一種應(yīng)用于電子封裝的熱匹配工藝設(shè)計(jì)[J]. 電子工藝技術(shù), 2011, 32(3): 141-144.

REN Rong, XIE Qilin, GAO Yongxin, et al. Thermal Matching Technique Design for Electronics Packaging[J]. Electronics Process Technology, 2011, 32(3): 141-144.

[5]ANDO K, MITSUGI J, SENBOKUYA Y. Analyses of Cable-membrane Structure Combined with Deployable Truss[J]. Computers and Structures, 2000, 74(1): 21-39.

[6]DINH T D, REZAEI A, PUNURAI W, et al. A Shape Optimization Approach to Integrated Design and Nonlinear Analysis of Tensioned Fabric Membrane Structures with Boundary Cables[J]. International Journal of Solids and Structures, 2016, 83: 114-125.

[7]SAKAMOTO H, PARK K C, MIYAZAKI Y. Evaluation of Membrane Structure Designs Using Boundary Web Cables for Uniform Tensioning[J]. Acta Astronautica, 2007, 60(10/11): 846-857.

[8]BARNES M R. Form Finding and Analysis of Tension Structures by Dynamic Relaxation[J]. International Journal of Space Structures, 1999, 14(2): 89-104.

[9]殷志祥, 孫芳錦. 倒傘式可展索膜結(jié)構(gòu)靜力特性分析[J]. 工程力學(xué), 2006, 23(7): 160-164.

YIN Zhixiang, SUN Fangjin. The Analysis of Static Mechanical Properties of Deployable Upside-down Umbrella Membrane Structures[J]. Engineering Mechanics, 2006, 23(7): 160-164.

[10]周樹路, 葉繼紅. 膜結(jié)構(gòu)找形方法—改進(jìn)力密度法[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 25(3): 421-424.

ZHOU Shulu, YE Jihong. Modified Force-density Method for Form-finding of Membrane Structures[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2008, 25(3): 421-424.

[11]范立佳, 向志海, 薛明德, 等. 空間結(jié)構(gòu)熱變形的子域攝動隨機(jī)有限元解法[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 50(7): 1099-1103.

FAN Lijia, XIANG Zhihai, XUE Mingde, et al. Perturbation Based Sub-domain Stochastic Finite Element Method for Analyzing Thermal Deformations of Space Structures[J]. Journal of Tsinghua University, 2010, 50(7): 1099-1103.

[12]JENKINS C H, FAISAL S M. Thermal Load Effects on Precision Membranes[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2001, 38(2): 207-211.

[13]朱敏波, 曹峰云, 劉明治, 等. 星載大型可展開天線太空輻射熱變形計(jì)算[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 31(1): 28-31.

ZHU Minbo, CAO Fengyun, LIU Mingzhi, et al. The Calculation of Thermal Radiaiton Distortion for Large Deployable Antennas in Satellites[J]. Journal of Xidian University, 2004, 31(1): 28-31.

[14]TANG Y Q, LI T J, WANG Z W. Surface Accuracy Analysis of Large Deployable Antennas[J]. Acta Astronautica, 2014, 104(1): 125-133.

[15]TING E C, SHIH C, WANG Y K. Fundamentals of a Vector Form Intrinsic Finite Element: Part Ⅰ: Basic Procedure and a Plane Frame Element[J]. Journal of Mechanics, 2004, 20(2): 113-122.

[16]DENG H Q, LI T J, WANG Z W, et al. Pretension Design of Space Mesh Reflector Antennas Based on Projection Principle[J]. Journal of Aerospace Engineering, 2015, 28(6): 04014142.