陳河， 張志利， 周召發(fā)， 劉朋朋， 趙曉楓

(火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院， 陜西 西安 710025)

0　引言

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(SINS)是一個(gè)積分系統(tǒng)，導(dǎo)航解算需要在已知系統(tǒng)初始位置、速度和姿態(tài)的基礎(chǔ)上進(jìn)行。SINS的初始姿態(tài)通過初始對(duì)準(zhǔn)獲取，對(duì)準(zhǔn)誤差會(huì)對(duì)導(dǎo)航精度產(chǎn)生直接影響。因此，初始對(duì)準(zhǔn)的誤差分析對(duì)算法改進(jìn)、器件選型和系統(tǒng)精度評(píng)估等具有重要指導(dǎo)意義。截至目前，已有很多學(xué)者對(duì)慣性器件帶來的對(duì)準(zhǔn)誤差進(jìn)行了大量分析，如文獻(xiàn)[1-5]分析了慣性器件誤差對(duì)解析對(duì)準(zhǔn)的影響，文獻(xiàn)[6-7]分析了慣性器件誤差對(duì)羅經(jīng)法對(duì)準(zhǔn)的影響，文獻(xiàn)[8-10]推導(dǎo)了慣性器件誤差帶來的Kalman濾波對(duì)準(zhǔn)誤差，文獻(xiàn)[11-15]分析了慣性系粗對(duì)準(zhǔn)的誤差。上述文獻(xiàn)的分析表明，不同對(duì)準(zhǔn)方法中器件常值誤差帶來的對(duì)準(zhǔn)誤差是一致的。然而，上述研究均著重分析器件常值誤差帶來的對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角，未考慮對(duì)準(zhǔn)誤差的隨機(jī)特性，也沒有分析對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角帶來的姿態(tài)角誤差。由于常值誤差的影響可以通過器件標(biāo)定或適當(dāng)?shù)膶?duì)準(zhǔn)方法(如二位置對(duì)準(zhǔn)、連續(xù)旋轉(zhuǎn)對(duì)準(zhǔn)等)加以消除[16-18]，實(shí)際中更關(guān)心的往往是誤差的隨機(jī)特性。對(duì)于激光陀螺捷聯(lián)慣性導(dǎo)航而言，測(cè)量輸出中除包含常值誤差外，還包含隨機(jī)游走誤差，造成對(duì)準(zhǔn)誤差的隨機(jī)波動(dòng)。與傳統(tǒng)的機(jī)械陀螺相比，隨機(jī)游走誤差是光學(xué)陀螺特有的性能指標(biāo)，用于描述陀螺輸出的白噪聲水平，對(duì)初始對(duì)準(zhǔn)和導(dǎo)航性能有重要影響，尤其是高精度導(dǎo)航系統(tǒng)中，隨機(jī)游走成為制約對(duì)準(zhǔn)速度和系統(tǒng)性能的重要因素。文獻(xiàn)[19]分析了隨機(jī)游走對(duì)羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)方位失準(zhǔn)角的影響；文獻(xiàn)[20]基于解析法的速率形式分析了陀螺隨機(jī)游走對(duì)方位失準(zhǔn)角的影響，但其分析以載體姿態(tài)為0的特殊條件為前提，且推導(dǎo)過程不夠嚴(yán)密。在很多應(yīng)用領(lǐng)域如方位瞄準(zhǔn)中，關(guān)心的往往是失準(zhǔn)角帶來的姿態(tài)角誤差，而不是姿態(tài)失準(zhǔn)角本身。此外，激光陀螺SINS中慣性器件的輸出是增量輸出而不是速率輸出。因此，本文從解析對(duì)準(zhǔn)法的增量形式出發(fā)，推導(dǎo)了器件誤差帶來的對(duì)準(zhǔn)誤差及其隨機(jī)特性，并分析由此造成的姿態(tài)角誤差，特別是方位角誤差。

1　解析對(duì)準(zhǔn)的基本原理

(1)

采用(1)式的優(yōu)點(diǎn)主要是慣性器件帶來的對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角最小，且對(duì)準(zhǔn)結(jié)果不受緯度誤差的影響[21]。

實(shí)際中，激光陀螺SINS的輸出往往是角增量和速度增量，采用增量形式計(jì)算姿態(tài)矩陣的公式為

(2)

2　對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角分析

2.1　測(cè)量誤差分析

根據(jù)SINS的比力方程，載體靜止時(shí)有

gb=-fb.

(3)

比力fb由加速度計(jì)測(cè)得，經(jīng)過刻度誤差和安裝誤差補(bǔ)償后其測(cè)量值為

(4)

(5)

采用增量輸出時(shí)，有

(6)

(7)

(8)

則加速度計(jì)增量輸出均值的測(cè)量誤差為

(9)

(10)

靜基座對(duì)準(zhǔn)時(shí)ωie的測(cè)量值為

(11)

對(duì)應(yīng)的增量輸出為

(12)

(13)

(14)

式中：

(15)

2.2　對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角分析

為便于分析，設(shè)

(16)

(17)

則有

(18)

根據(jù)失準(zhǔn)角的定義，有

(19)

比較(18)式、(19)式，可得

φ×=-N.

(20)

將(5)式、(11)式代入(17)式，得

(21)

由于誤差為小量，保留1階小量，有

(22)

同理，設(shè)r=g×ωie，s=g×ωie×g，則有

(23)

(24)

由(22)式～(24)式可得

(25)

將(25)式代入矩陣N的計(jì)算公式，得

(26)

根據(jù)(25)式，整理可得

(27)

式中：δgE、δgN分別為δg在導(dǎo)航系的東向和北向分量；δωE為δω在導(dǎo)航系的東向分量。

對(duì)比(20)式和(27)式，可得

(28)

同理可以求得采用增量計(jì)算公式(2)式時(shí)對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角為

(29)

2.3　失準(zhǔn)角的統(tǒng)計(jì)特性

(30)

結(jié)合(29)式可知：

(31)

可見對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角的數(shù)學(xué)期望(均值)取決于陀螺儀和加速度計(jì)的常值誤差。這與文獻(xiàn)[1-5]的分析一致。慣性器件的隨機(jī)游走造成對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角的隨機(jī)變化，下面分析失準(zhǔn)角標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)游走系數(shù)之間的關(guān)系。為便于分析，將(29)式改寫為如下矩陣形式：

(32)

式中：

設(shè)P(x)表示隨機(jī)向量x的協(xié)方差矩陣，則有

(33)

結(jié)合(10)式、(14)式、(32)式、(33)式可以計(jì)算出失準(zhǔn)角矢量的協(xié)方差矩陣，其對(duì)角元素為3個(gè)失準(zhǔn)角的方差，進(jìn)行開方運(yùn)算即可得到失準(zhǔn)角的標(biāo)準(zhǔn)差。這里直接給出推導(dǎo)結(jié)果：

(34)

式中：T為對(duì)準(zhǔn)總時(shí)間，T=nΔt；

綜上所述可以看出，由于矩陣A的前兩行均為零元素，東向和北向失準(zhǔn)角的隨機(jī)特性不受陀螺儀隨機(jī)游走的影響，只與加速度計(jì)隨機(jī)游走有關(guān)。

3　對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)角誤差

姿態(tài)角的定義與文獻(xiàn)[23]一致，則有

(35)

微分可得

(36)

又由

(37)

可得

(38)

將(38)式代入(36)式并整理，可得

(39)

E(δφ)=HE(φ).

(40)

結(jié)合(31)式可得

(41)

姿態(tài)角誤差矢量的協(xié)方差矩陣為

P(δφ)=HP(φ)HT.

(42)

結(jié)合(10)式、(14)式、(32)式和(33)式可以計(jì)算出姿態(tài)角誤差矢量的協(xié)方差矩陣，其主對(duì)角線上的元素為3個(gè)姿態(tài)角誤差的方差，對(duì)方差進(jìn)行開方運(yùn)算即可得到姿態(tài)角誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

4　仿真與試驗(yàn)

4.1　仿真分析

設(shè)對(duì)準(zhǔn)點(diǎn)位于北緯34.25°，初始姿態(tài)角為俯仰角θ=5°，橫滾角γ=3°，航向角ψ=50°，采樣頻率100 Hz(Δt=0.01 s)，慣性器件性能參數(shù)如表1所示。將上述參數(shù)代入(31)式、(34)式、(41)式、(42)式，可以計(jì)算出對(duì)準(zhǔn)誤差的理論值(見表2)，其中標(biāo)準(zhǔn)差1～4對(duì)應(yīng)的對(duì)準(zhǔn)時(shí)間分別為1 min、5 min、10 min和15 min. 從表2中可以發(fā)現(xiàn)：由于加速度計(jì)的隨機(jī)游走較小，帶來的水平對(duì)準(zhǔn)隨機(jī)誤差很小；激光陀螺隨機(jī)游走較大，帶來的方位對(duì)準(zhǔn)誤差較大，因此在短時(shí)對(duì)準(zhǔn)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體精度要求選擇滿足要求的陀螺儀。

表1　慣性器件參數(shù)設(shè)置Tab.1　Parameter configurations of inertial sensors for initial alignment simulation

表2　對(duì)準(zhǔn)誤差理論值Tab.2　Theoretical values of initial alignment errors

通過仿真得到SINS在靜止基座上的輸出結(jié)果，然后采用解析法粗對(duì)準(zhǔn)；在10 s～15 min之間每隔5 s取一個(gè)時(shí)間值作為對(duì)準(zhǔn)時(shí)間，對(duì)每一個(gè)對(duì)準(zhǔn)時(shí)間T，分別進(jìn)行100次對(duì)準(zhǔn)仿真，計(jì)算對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角和姿態(tài)角誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。圖1是對(duì)準(zhǔn)時(shí)間T從10 s～15 min變化時(shí)對(duì)應(yīng)的對(duì)準(zhǔn)誤差理論變化曲線和仿真變化曲線。從圖1(a)和圖1(c)中可以看出，仿真得到的失準(zhǔn)角均值和姿態(tài)角誤差均值都圍繞理論值上下波動(dòng)，原因在于仿真結(jié)果通過計(jì)算100次對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角的均值得到，本質(zhì)上也是一個(gè)隨機(jī)變量。從圖1(a)和圖1(c)中還可以看出，仿真結(jié)果繞理論值的波動(dòng)隨對(duì)準(zhǔn)時(shí)間的增長而減小，與理論分析結(jié)果一致。從圖1(b)和圖1(d)中可以看出，誤差標(biāo)準(zhǔn)差隨對(duì)準(zhǔn)時(shí)間的增長而不斷減小，仿真結(jié)果與理論分析吻合很好。

對(duì)比圖1(a)和圖1(c)還可以發(fā)現(xiàn)，水平失準(zhǔn)角φE、φN和水平姿態(tài)角誤差δθ、δγ明顯小于天向失準(zhǔn)角φZ和方位角誤差δψ. 從(31)式和(41)式可以看出其原因在于，加速度計(jì)零偏相對(duì)于地球重力加速度的比值(10-5量級(jí))小于陀螺常值漂移相對(duì)于地球自轉(zhuǎn)角速度的比值(10-3量級(jí))。此外，水平失準(zhǔn)角和水平姿態(tài)角誤差的大小有明顯區(qū)別，而天向失準(zhǔn)角和方位角誤差的大小相差不大。對(duì)比(31)式和(41)式可以看出：其原因在于水平失準(zhǔn)角和水平姿態(tài)誤差只與加速度計(jì)零偏有關(guān)，由于系數(shù)矩陣H的作用，二者區(qū)別比較明顯；而天向失準(zhǔn)角和方位角誤差計(jì)算公式中，陀螺常值漂移項(xiàng)是相同的，區(qū)別僅在于加速度計(jì)零偏項(xiàng)系數(shù)，由于加速度計(jì)零偏帶來的誤差遠(yuǎn)小于陀螺常值漂移的影響，φZ和δψ相差不大。

分析圖1(b)和圖1(d)還可以發(fā)現(xiàn)：由于加速度計(jì)隨機(jī)游走很小，水平失準(zhǔn)角和水平姿態(tài)角誤差的標(biāo)準(zhǔn)差很??；而天向失準(zhǔn)角和方位角誤差的標(biāo)準(zhǔn)差則比較大，在對(duì)準(zhǔn)時(shí)間較短時(shí)甚至大于其均值。因此對(duì)準(zhǔn)時(shí)水平失準(zhǔn)角和姿態(tài)角會(huì)很快收斂，而天向失準(zhǔn)角和方位角則需要較長時(shí)間才能收斂到較高精度。由于加速度計(jì)的隨機(jī)游走遠(yuǎn)小于陀螺的隨機(jī)游走，(34)式中φZ標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式中根號(hào)內(nèi)加速度計(jì)的隨機(jī)游走項(xiàng)(10-12量級(jí))遠(yuǎn)小于陀螺隨機(jī)游走項(xiàng)(10-5量級(jí))，因此計(jì)算天向失準(zhǔn)角方差時(shí)可以忽略加速度計(jì)隨機(jī)游走的影響，相當(dāng)于將矩陣B中的-tanL/(gΔt)置0. 計(jì)算方位角誤差的方差時(shí)，同樣可以忽略加速度計(jì)隨機(jī)游走的影響，相當(dāng)于將矩陣H第2行的前兩項(xiàng)置0；由于矩陣H第3行的第3項(xiàng)為1，忽略加速度計(jì)隨機(jī)游走影響后φZ和δψ的標(biāo)準(zhǔn)差相等。

4.2　試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在實(shí)驗(yàn)室轉(zhuǎn)臺(tái)上進(jìn)行了相關(guān)試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)室緯度34.31°，試驗(yàn)中SINS近似處于水平狀態(tài)；激光陀螺零偏分別為0.005 1°/h、0.004 5°/h、0.003 8°/h，隨機(jī)游走系數(shù)分別為0.000 6°/h1/2、0.001 2°/h1/2、0.000 7°/h1/2；加速度計(jì)零偏分別為54 μg、62 μg、57 μg，由于加速度計(jì)隨機(jī)游走很小，試驗(yàn)分析中未予考慮。誤差的理論值可以根據(jù)試驗(yàn)地點(diǎn)的緯度和慣性器件的誤差參數(shù)計(jì)算出來?？梢圆捎酶呔鹊耐勇萁?jīng)緯儀尋北結(jié)果作為方位角真值來計(jì)算對(duì)準(zhǔn)方位誤差，而俯仰角和橫滾角真值難以獲??；由于難以得到SINS的真實(shí)姿態(tài)矩陣，對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角真值也難以獲取。試驗(yàn)時(shí)僅對(duì)方位角誤差進(jìn)行了驗(yàn)證。

方位角誤差隨時(shí)間的變化曲線如圖3所示。圖3中，試驗(yàn)誤差由實(shí)際對(duì)準(zhǔn)得到的方位角均值減去尋北儀測(cè)量得到的方位角得到；計(jì)算方位角誤差理論值時(shí)，采用對(duì)準(zhǔn)得到的姿態(tài)矩陣代替真實(shí)姿態(tài)矩陣進(jìn)行計(jì)算；誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差均采用7次試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到。試驗(yàn)中SINS保持靜止不動(dòng)，啟動(dòng)系統(tǒng)5 min后開始采集數(shù)據(jù)，共采集7組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)采集10 min，整個(gè)試驗(yàn)過程中系統(tǒng)不斷電。

從圖3(a)中可以看出，方位角誤差均值隨時(shí)間變化曲線與理論曲線也基本吻合，但由于試驗(yàn)中難免引入干擾因素的影響，對(duì)準(zhǔn)時(shí)間較短時(shí)方位角誤差均值與理論值存在較大偏差；從圖3(b)可以看出，方位角誤差標(biāo)準(zhǔn)差變化曲線與理論分析結(jié)果吻合很好。

方位角誤差隨SINS方位角的變化如圖4所示。圖4中誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差為7次試驗(yàn)計(jì)算得到的結(jié)果。試驗(yàn)時(shí)系統(tǒng)固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上并近似調(diào)平，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)使系統(tǒng)指向北附近，啟動(dòng)系統(tǒng)5 min后開始采集數(shù)據(jù)，共采集7組，每組數(shù)據(jù)采集1 min；然后依次使轉(zhuǎn)臺(tái)順時(shí)針轉(zhuǎn)過15°，共24個(gè)位置，轉(zhuǎn)到每個(gè)位置均使系統(tǒng)靜置5 min后采集7組1 min時(shí)長的數(shù)據(jù)；整個(gè)試驗(yàn)過程中系統(tǒng)不斷電。

從圖4中可以看出，試驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果基本吻合。圖4中試驗(yàn)曲線與理論曲線的偏差來源于兩個(gè)方面：一是試驗(yàn)中干擾因素的影響；二是每個(gè)位置試驗(yàn)僅進(jìn)行了7次，樣本較小，導(dǎo)致誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算難以達(dá)到很高精度。

5　結(jié)論

本文對(duì)激光陀螺SINS解析法對(duì)準(zhǔn)的誤差進(jìn)行了分析，推導(dǎo)了慣性器件誤差帶來的對(duì)準(zhǔn)失準(zhǔn)角及對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角誤差，并分析了其均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變化規(guī)律。所得主要結(jié)論如下：

1)慣性器件誤差帶來的對(duì)準(zhǔn)誤差均值與對(duì)準(zhǔn)時(shí)間無關(guān)，但對(duì)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)差與對(duì)準(zhǔn)時(shí)間的平方根呈反比。

2)水平對(duì)準(zhǔn)誤差主要受加速度計(jì)精度影響，由于加速度計(jì)零偏和隨機(jī)游走系數(shù)一般較小，水平對(duì)準(zhǔn)可快速達(dá)到較高精度。

3)方位對(duì)準(zhǔn)誤差主要受激光陀螺精度影響，激光陀螺隨機(jī)游走造成的方位對(duì)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差可達(dá)角分級(jí)，需要結(jié)合對(duì)準(zhǔn)時(shí)間要求選擇滿足精度的器件。

4)對(duì)準(zhǔn)誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)隨載體姿態(tài)角的不同而產(chǎn)生明顯改變，實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)通過對(duì)慣性器件和對(duì)準(zhǔn)時(shí)間的合理選擇來保證任何姿態(tài)下對(duì)準(zhǔn)精度均滿足使用要求。

本文主要考慮了慣性器件精度對(duì)初始對(duì)準(zhǔn)的影響，通過(31)式、(34)式、(41)式、(42)式計(jì)算出的結(jié)果可視為SINS能達(dá)到的極限精度，用來對(duì)系統(tǒng)和算法性能進(jìn)行評(píng)估。雖然本文著重分析的是慣性器件誤差對(duì)對(duì)準(zhǔn)結(jié)果的影響，但其他誤差(安裝誤差、刻度誤差、外界干擾等)可以等效為器件測(cè)量誤差，因此采用本文的思路可以分析其對(duì)初始對(duì)準(zhǔn)精度的影響。

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