周燕茹,曾建平,邵振華,黃程愷

(1.廈門(mén)理工學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,福建 廈門(mén) 361024;2.廈門(mén)大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,福建 廈門(mén) 361005)

在控制設(shè)計(jì)研究中,采用狀態(tài)反饋的前提條件是被控對(duì)象的狀態(tài)都可獲知．然而,在許多實(shí)際工程系統(tǒng)中,一些狀態(tài)往往不能直接測(cè)量,或因技術(shù)成本太高而無(wú)法進(jìn)行測(cè)量．針對(duì)此種情況,可采用基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制方式,即通過(guò)系統(tǒng)輸出信號(hào)來(lái)對(duì)這些不可測(cè)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì),以實(shí)現(xiàn)特定的控制目標(biāo)．迄今,基于觀測(cè)器的控制方法已受到廣泛的關(guān)注,并取得了大量的研究成果[1-8]．

對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng),Park等[1]設(shè)計(jì)了一種新型的線性動(dòng)態(tài)觀測(cè)器．該觀測(cè)器的增益存在動(dòng)態(tài)特性,可視為經(jīng)典Luenberger觀測(cè)器[2]在結(jié)構(gòu)上的擴(kuò)展,也可認(rèn)為是動(dòng)態(tài)輸出反饋控制機(jī)制的一種對(duì)偶形式[3]．與經(jīng)典的Luenberger觀測(cè)器相比,動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的最大優(yōu)勢(shì)在于可提供更多控制設(shè)計(jì)自由度．目前,動(dòng)態(tài)觀測(cè)器已被應(yīng)用于各類控制問(wèn)題研究,如傳感器故障診斷的H∞控制[4]、Lipschitz非線性系統(tǒng)的H∞控制[5]、不確定T-S模糊系統(tǒng)的魯棒H∞控制[6]和線性廣義系統(tǒng)的H∞控制[7]等．然而,這些現(xiàn)有成果大多采用線性控制．由于非線性系統(tǒng)固有的復(fù)雜性,且缺乏一般的非線性求解方法和工具,動(dòng)態(tài)觀測(cè)器在非線性控制領(lǐng)域還未能得到實(shí)質(zhì)性的推廣應(yīng)用．

近來(lái)快速發(fā)展的多項(xiàng)式平方和(sum of squares,SOS)理論有力地促進(jìn)了非線性系統(tǒng)研究,特別是在基于SOS的非線性狀態(tài)反饋控制問(wèn)題上取得了重大突破[8-10]．SOS可為多項(xiàng)式非負(fù)性判斷提供有效的凸松弛算法[11]．在其框架下,一方面,許多成熟的線性控制理論可推廣應(yīng)用于多項(xiàng)式非線性系統(tǒng)[9];另一方面,各種帶多項(xiàng)式約束的非線性控制問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為SOS凸規(guī)劃問(wèn)題．

本文中針對(duì)一類特定的多項(xiàng)式非線性系統(tǒng),采用SOS研究基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制問(wèn)題．根據(jù)線性動(dòng)態(tài)觀測(cè)器形式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出相應(yīng)的非線性降維動(dòng)態(tài)觀測(cè)器;觀測(cè)器的非線性H∞控制問(wèn)題被轉(zhuǎn)換為SOS凸優(yōu)化問(wèn)題,從而有效地避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和數(shù)值仿真的困難;所得非線性觀測(cè)器和控制器僅是關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的多項(xiàng)式或有理式函數(shù),從工程實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)看,與傳統(tǒng)線性觀測(cè)器和控制器相比,實(shí)現(xiàn)這種非線性觀測(cè)器和控制器所增加的復(fù)雜性很有限．

1　問(wèn)題描述和預(yù)備

1.1　系統(tǒng)描述和問(wèn)題聲明

考慮如下一類特定的多項(xiàng)式型非線性系統(tǒng)

(1)

注1系統(tǒng)(1)具有的結(jié)構(gòu)特征:1) 動(dòng)力學(xué)行為由一個(gè)類線性微分方程來(lái)描述;2) 系數(shù)矩陣的元素是關(guān)于可測(cè)狀態(tài)的多項(xiàng)式函數(shù)．許多實(shí)踐和理論研究對(duì)象可以被描述為類似系統(tǒng)(1)的形式,如質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)[12]、洛倫茲(Lorentz)和羅斯勒(Rossler)混沌系統(tǒng)[13]以及各種航天器姿態(tài)模型[9]等．

問(wèn)題1基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制問(wèn)題:針對(duì)系統(tǒng)(1),本文中的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制器,使得相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定且有L2-增益≤γ．

1.2　預(yù)備知識(shí)

則系統(tǒng)的L2-增益≤γ．

定義2(SOS)[15]設(shè)f(x)是一個(gè)關(guān)于x∈Rn的多項(xiàng)式,如果存在一組多項(xiàng)式f1(x),f2(x),…,fm(x)使得

(2)

則稱f(x)為SOS多項(xiàng)式．

顯然,f(x)∈Φsos意味著對(duì)所有x∈Rn,都有f(x)≥0．SOS條件(2)也等價(jià)于存在一個(gè)常數(shù)矩陣Q≥0使得f(x)=ZT(x)QZ(x),其中Z(x)是由關(guān)于x的單項(xiàng)式構(gòu)成的適當(dāng)維列向量．

在本節(jié)的最后,給出了后續(xù)推導(dǎo)需要用到的兩個(gè)引理．

引理2[8]設(shè)P(x)∈S[x]m對(duì)所有x∈Rn都是非奇異的,則有

2　基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制

根據(jù)系統(tǒng)(1)的結(jié)構(gòu)特征,可構(gòu)造其子狀態(tài)x2的一個(gè)動(dòng)態(tài)觀測(cè)器．首先,由系統(tǒng)(1),有

(3)

(4)

(5)

A21(x1)y+B22(x1)u+Cd(x1)xd+

(6)

(7)

于是,由式(6)和(7)即可得出系統(tǒng)(1)的降維動(dòng)態(tài)觀測(cè)器為

Dd(xJ)B21(x1))u+Cd(x1)xd,

xd=hd+Bd(xJ)y.

(8)

Cd(x1)xd+B12(x1)w

(9)

的零平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的．

注3如果A(x1),B2(x1),Ad(x1),Bd(xJ),Cd(x1)和Dd(xJ)都簡(jiǎn)化為常數(shù)矩陣,則非線性觀測(cè)器(8)就簡(jiǎn)化為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)中的線性降維動(dòng)態(tài)觀測(cè)器．換言之,不同于該線性動(dòng)態(tài)觀測(cè)器,觀測(cè)器(8)的參數(shù)矩陣均與系統(tǒng)(1)的可測(cè)子狀態(tài)x1相關(guān)．在后續(xù)討論中,將解決非線性動(dòng)態(tài)觀測(cè)器(8)和相應(yīng)控制器的求解問(wèn)題．

基于觀測(cè)器(8),設(shè)計(jì)如下?tīng)顟B(tài)反饋控制器

(10)

(11)

再由式(1)和(9),可得

(12)

綜上,結(jié)合式(9)～(12),可構(gòu)成如下閉環(huán)系統(tǒng):

(13)

Acl1(x1)=A(x1)+B2(x1)K(x1),

Acl4(x1)=Bd(xJ)A12(x1),

Acl3(x1)=A22(x1)-Dd(xJ)A12(x1),

Ccl(x1)=[C1(x1)+

D2(x1)K(x1)C1(x1)Q10].

對(duì)于系統(tǒng)(1),基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制問(wèn)題具體是指設(shè)計(jì)降維動(dòng)態(tài)觀測(cè)器(8)和狀態(tài)反饋控制器(10),使得相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)(13)的零平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的且有L2-增益≤γ．

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,可先建立上述系統(tǒng)的一個(gè)H∞性能準(zhǔn)則．

0,

(14)

則閉環(huán)系統(tǒng)(11)在零平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定且L2-增益≤γ．

對(duì)系統(tǒng)(13),又有

再根據(jù)Schur補(bǔ)引理,由式(14)成立,可知

(15)

V(xcl(T))-V(xcl(0))≥0.

由定義1,又知該系統(tǒng)的L2-增益≤γ．

在定理1的基礎(chǔ)上,采用SOS理論,并限定P(xJ),Ad(x1),Bd(xJ),Cd(x1)和Dd(xJ)均為多項(xiàng)式矩陣,可得出該基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制問(wèn)題的一個(gè)可解性條件．

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

其中,v1∈Rq,v2∈Rq,v3∈Rn,v4∈R2q,v5∈Rn+2q+r+l,

Ξ1(x1)∶=He(A(x1)X1(xJ)+B2(x1)Y(x1))-

Ξ3(x1)∶=He(A22(x1)M11+Cc(x1)),

(Dc(xJ)A12(x1))T,

Ξ6(x1)∶=He(P11A22(x1)+Bc(xJ)A12(x1)),

Ξ7(x1)∶=C1(x1)X1(xJ)+D2(x1)Y(x1)．

此時(shí),控制器增益矩陣及觀測(cè)器參數(shù)矩陣分別為

Dd(xJ)=Dc(xJ),

Cd(x1)=-(Cc(x1)+Dd(xJ)

Dd(xJ)A12(x1))M11-P12Bd(xJ)

(21)

其中,P12和M12是可逆矩陣且滿足

(22)

證明根據(jù)定義2,由條件(16)～(20)成立,可知

P11>0,M11>0,X1(xJ)>0,

(23)

(24)

由式(24),易知P2>0等價(jià)于

Y(x1)=K(x1)X1(xJ),

Ac(x1)=P11(A22(x1)-Dd(xJ)A12(x1))M11-

Bc(xJ)=-P11Dd(xJ)+P12Bd(xJ),

Dc(xJ)=Dd(xJ),

就可得出Ξ(x1)<0．

綜上所述,條件(23)是式(14)成立的一個(gè)充分條件．根據(jù)定理1,可知該基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制問(wèn)題可解,且相應(yīng)控制器和觀測(cè)器的增益能通過(guò)式(21)來(lái)構(gòu)造．

注4在定理2中,X1(xJ)所有元素的最高階數(shù)應(yīng)為偶數(shù),這是式(18)成立的前提條件．

注6對(duì)于式(21),在求出P11和M11之后,可以通過(guò)矩陣I-P11M11的奇異值分解來(lái)得到可逆矩陣P12和M12．

3　數(shù)值仿真

為驗(yàn)證所得非線性H∞控制設(shè)計(jì)方法的可行性和有效性,針對(duì)質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng),采用MATLAB/SOSTOOLS[8]進(jìn)行控制設(shè)計(jì)求解,并給出相應(yīng)的仿真效果圖和分析結(jié)論．

以文獻(xiàn)[12]中的非線性質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)(如圖1所示)為仿真對(duì)象,其動(dòng)力學(xué)方程為:

圖1　質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)Fig.1 Mass-spring-damper system

(25)

對(duì)上述系統(tǒng),J=?,故X(xJ),Bc(xJ)和Dc(xJ)為常數(shù)矩陣．設(shè)定Ac(x1)、Cc(x1)和Y(x1)的最高階為2階,并給定仿真參數(shù)γ=0.9,δ(x1)=10-5,τi=0.1(i=1,2,3,4)．根據(jù)定理2,系統(tǒng)(25)的基于降維動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制問(wèn)題可解,所得結(jié)果具體如下:

控制器增益矩陣為

K(x1)=

觀測(cè)器參數(shù)矩陣為

6.251 0,

Bd(xJ)=13.407 1,

0.850 9,

Dd(xJ)=-0.789 6．

(i) 標(biāo)稱系統(tǒng)(nominal system,NS):w=0;

(ii) 受擾系統(tǒng)1(disturbed system 1,DS1):

(iii) 受擾系統(tǒng)2(disturbed system 2,DS2):

w=

圖2　x1的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.2 Trajectories of x1

圖和x2的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.3 Trajectories of and x2

圖4　xd的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.4 Trajectories of xd

圖5　控制輸入u曲線Fig.5 Control input u

圖6　外部干擾w曲線Fig.6 External disturbances w

4　結(jié)　論

借鑒線性動(dòng)態(tài)觀測(cè)器形式和變量替換法研究思路,本文中針對(duì)一類特定的多項(xiàng)式系統(tǒng),采用Lyapunov穩(wěn)定性理論結(jié)合SOS方法,給出一種基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性H∞控制設(shè)計(jì)方法．該方法可借助有效凸優(yōu)化算法進(jìn)行檢驗(yàn),在一定程度上解決了非線性系統(tǒng)的計(jì)算困難,且相應(yīng)控制器僅是關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的多項(xiàng)式或有理式函數(shù),易于工程實(shí)現(xiàn)．仿真結(jié)果表明,所得控制器能保證相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定,且對(duì)外部擾動(dòng)具有較強(qiáng)抑制能力．當(dāng)然,考慮到工程實(shí)際系統(tǒng)往往存在著各種不確定性,可在本文工作基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)器的非線性魯棒控制問(wèn)題．

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