關昭，喬衛(wèi)東，楊建峰，薛彬，陶金有

（1. 中國科學院 西安光學精密機械研究所，西安 710119；2. 中國科學院大學，北京 101408）

引 言

為了解火星上的水形成及生命現(xiàn)象存在性，近50年來，世界各空間大國掀起了對火星探測的航天熱潮。為滿足火星探測活動的直接觀測，描述火星表面的光譜特征，需選用一臺集成光、機、電、熱等多系統(tǒng)于一體的多光譜相機作為火星探測巡視器的有效載荷。為了對相機諸多功能的性能進行調試和測試，消除儀器誤差，需要對相機的有關參數(shù)進行精準的定量測量，這一過程稱為相機標定。相機標定主要分為彩色標定、輻射標定、光譜標定、幾何標定及在軌標定幾類，通過檢測成像質量，完成色彩校正、目標物輻射能量校正、光譜校正及幾何畸變校正等成像探測任務，實現(xiàn)地貌探測，掌握火星表面物質類型分布的主要科學任務。

其中基于成像的幾何約束關系，求解相機內部參數(shù)（焦距，主點，畸變系數(shù)），得到相機與地物位置關系的標定內容稱為幾何標定。針對相機內部參數(shù)固定的情況，在無星上相關單元的條件下，對相機的內部參數(shù)進行探測和檢驗時，地面幾何標定是非常有必要的。在已測畸變的情況下，本文主要探究相機焦距、主點的獲取及其精度問題。根據(jù)實際工程應用需求，提出重投影誤差小于0.3pix，焦距誤差小于1%的指標要求?；鹦嵌喙庾V相機共有8個光譜通道（480、525、650、700、800、900、950及1 000 nm），6個調焦位置（1.5、3.1、4.0、5.6、9.4及28.1 m），需要對每個光譜通道的調焦位置均進行幾何標定，實現(xiàn)參數(shù)歸一化，矯正圖像畸變，完成圖像融合，鑲嵌，并最終使用該固定內參實現(xiàn)火星地貌三維重建的科學任務。

首先，普通測繪相機的幾何標定都是針對無窮遠目標，但針對本次近距離目標成像，且距離變化范圍較大（1.5～28.1 m）的特殊情況，標定方法應有所調整；其次，火星相機是一臺具有8通道的多光譜相機，對于任一物距的不同光譜通道，其測量參數(shù)均有不同，故需逐個進行標定。基于以上兩點，為高效率獲得某一光譜條件下有限遠成像時相機的內部參數(shù)，采用算法標定法。目前算法標定主要有3種方法：傳統(tǒng)相機標定法、主動視覺相機標定法和相機自標定法。根據(jù)王衛(wèi)文的總結：基于主動視覺相機標定法需利用攝像機某些運動信息來線性求解模型參數(shù)，但對于相機運動信息未知和無法控制的場合則不能運用，加之實驗設備昂貴，實驗要求較高，故該方法實用性不強[1]；自標定法僅依靠多幅圖像之間的對應關系來完成參數(shù)計算，靈活性較高，由于其多解性和噪聲造成的低魯棒性導致解的精度不高[2]；傳統(tǒng)的相機標定法雖需使用精度較高的標定板，但適用于任意攝像機模型，且標定精度較高[13-16]。由于火星多光譜相機的調焦檔位固定，擬用傳統(tǒng)相機標定法完成多光譜相機的標定工作。

傳統(tǒng)相機標定法主要包括直接線性變換法、Tsai兩步法、張正友算法及Heikkil?算法等。通過大量研究前人成功的經(jīng)驗，認為每種標定技術均有優(yōu)點，但也含缺點，我們企圖把各種標定技術的優(yōu)點予以重新組合，找出自己的標定思路。邱茂林提出：直接線性變換法雖可通過求解線性方程的手段就可獲得相機模型參數(shù)，但卻忽略了成像過程中的非線性畸變問題[3]；Tsai兩步法在直接線性變換法的基礎上[4-6]，考慮畸變因素，并利用最優(yōu)化算法進一步提高定標精度，但由于僅僅考慮徑向畸變而導致成像模型不夠準確；張正友算法在對標定板要求并不高[7]的情況下仍具有良好的魯棒性，但柳溜指出：成像距離對張正友算法的精度影響較大[8]；Heikkil?算法精確度較高，且不受物距影響算法精度，但需提供具有良好魯棒性的初始值，綜上所述本文在選擇張正友算法基礎上改進的Heikkil?算法。

1 標定原理

傳統(tǒng)標定法中，首先通過小孔成像模型建立高精度靶標上的特征點與其影像點間的投影關系，再添加畸變約束，最終通過非線性優(yōu)化得到相機內部參數(shù)。

Heikkil?算法精度較高，但需提供具有抗噪性的初始值。使用魯棒性強的標定初值是完成非線性優(yōu)化，得到準確參數(shù)中至關重要的第一步。張正友算法中驗證了該方法下所得噪聲中估算參數(shù)保持非常穩(wěn)定（其誤差小于0.02%[7]），可獲得具有抗噪性的穩(wěn)定相機參數(shù)，因此本文在清晰成像的基礎上，先使用具有抗噪性的張正友算法得到魯棒性較好的內外方位元素初始值，通過迭代搜索獲得優(yōu)化結果，并代入后向相機模型中求出畸變系數(shù)，同時得到經(jīng)過非線性優(yōu)化的待求參數(shù)，最終通過估算參數(shù)的不確定度，評判算法的有效性。

1.1 張正友算法

標定模型通常使用線性針孔模型，將世界坐標系的特征點投影到像素平面中[9]，令三維空間中任意一物點Q（X，Y，Z）對應像素坐標系中的像點坐標為q（u，v），用=（u，v，1）T和=（X，Y，Z，1）T分別表示像方，物方的齊次坐標。

由針孔模型的共線條件可知

圖1 針孔模型Fig.1 Pinhole model

根據(jù)旋轉矩陣中向量的標準正交性，用最小二乘法建立關于P-TP-1的方程，后通過cholesky分解求取內方位元素矩陣P，進而求取外方位元素矩陣[R t]。

由于上述求解過程只是得到了最小代數(shù)距離，不具有物理意義，因此還需要最大似然估計對其進行優(yōu)化，給定t幅圖像，每幅圖有s個控制點，假設像點被獨立同分布的噪聲污染，則最大似然估計可由下式表示

為迭代搜索提供初值，其中：Nu,Nv為水平和豎直方向的尺寸；f0為焦距；為第K幅圖的外方位元素。

1.2 迭代搜索

上節(jié)得到線性模型下的求解參數(shù)后，通過最大似然估計完成優(yōu)化。本章考慮噪聲干擾，在前向相機模型中進一步對所得參數(shù)實現(xiàn)非線性優(yōu)化。迭代搜索基于馬氏距離的判別，通過最小化觀測值與模型之間平方差的加權和實現(xiàn)計算值逼近觀測值。假設有t幅圖像，且每幅圖形有s個控制點，用eo(s,t)表示第t幅圖中觀測圖像坐標系下角點s，ed(s,t)為前向相機模型中相應的解算向量，故目標函數(shù)表示如下[10]

其中

測量噪聲的協(xié)方差矩陣

其中：Ce(s,t)=E{[eo(s,t)-E{ed(s,t)}][eo(s,t)-E{ed(s,t)}]T}，該值可從相同位置和方向拍攝的不同照片中得到。最終前向相機模型中的參數(shù)通過下式得到

1.3 后向相機模型

在許多應用中，都需要將觀測圖像坐標再投影到三維坐標空間中，在這一步驟中，通過前后向模型的一致性，得到畸變系數(shù)δ=[k1,k2,...,p1,p2,...]T，其中k1,k2,...,為徑向畸變系數(shù)，p1,p2,...為切向畸變系數(shù)[11]，畸變系數(shù)因切向畸變較小，為增加解算穩(wěn)定性，故將其設置為0，畸變系數(shù)通過下式計算得出

其中：

理想坐標ac=[u,v]T，

實際坐標ad=[ud,vd]T

1.4 不確定度分析

不確定度分析表征計算結果的分散性和計算值的可信賴程度。不確定度越小，表示計算結果越接近真實結果，越可靠，反之亦然。利用檢測誤差及所建模型求得最終結果的偏差程度，并以此為標準，衡量本文算法的精確程度。

參考文獻[12]，假設共有t幅圖，每幅圖有s個控制點，因每次使用同樣步驟提取角點，根據(jù)其觀測獨立性可假設圖像對應角點坐標q（u，v）是協(xié)方差陣為σ2I的隨機量，根據(jù)共線模型（1）可得

P=[PAPB]是待求參數(shù)，

因為空間點一般為高精度的確定量，故式（11）式可簡化為

根據(jù)誤差擴散理論（見文獻[12]），標定參數(shù)P的協(xié)方差矩陣為

(i=1～t)

則

當空間模板特征點數(shù)目增加時，

即ΛP每個參數(shù)方差減少。

2 標定過程

選取棋盤格角點作為世界坐標系下的觀測點，用火星多光譜相機固定光譜通道及調焦檔位對不同位姿，覆蓋一定物距范圍內的標定板進行拍攝，并獲取觀測點影像在圖像坐標系的坐標，通過標定模型，解算出相機內參，最后用求解的內部參數(shù)和觀測點世界坐標來估計觀測點影像，并與實際影像點比較，將兩者之間的誤差作為評判算法精度的重要依據(jù)。

2.1 實驗條件及注意事項

本次標定任務需要的實驗器材包括多光譜相機，升降臺，以及固定支架等儀器。根據(jù)Heikkil?所述，為減少光照差異而導致的標定偏差，故選擇室外條件下進行照片采集[14]。本次實驗數(shù)據(jù)的處理在matlab 2017a的軟件平臺下完成。

數(shù)據(jù)采集的過程中需使定標版出現(xiàn)的所有位置占據(jù)整個視野范圍，且單幅圖像中標定板占比達到70%左右。為降低相機內參間的相干性，應對標定板進行多角度，多物距的拍攝。張正友提出當標定板與像平面夾角約為45°時，得到誤差較低的標定結果[7]，故采集數(shù)據(jù)過程中使位姿變換的定標版與相平面的夾角成45°左右。此外，陳曉燕通過實驗得到張氏算法中使用圖片的數(shù)量在20～30為宜[15]，且因視野邊緣畸變較大，故邊角處需要拍攝多幅照片，所以本次實驗選擇定標版在視野范圍的4個邊角及中心處，不同物距，不同姿態(tài)的圖片中各選5幅圖，最終使用25幅。

2.2 采集數(shù)據(jù)

如前所述原理，需要在像平面內檢測棋盤格角點作為像點坐標來列寫公式（2），其圖像的質量將直接影響檢測精度。拍攝過程中，噪聲污染并不明顯，未能形成視覺障礙，但像質模糊卻成為降低圖像質量的主要因素。因此本文主要探討怎樣采集畫面清晰的圖像。

分析表明，正確對焦的情況下，圖像邊緣清晰可辨，包含信息最豐富，但隨著離焦量的增加，圖像變得模糊，邊緣平滑，其信息含量減少。故可通過提取圖像的邊緣信息反映圖像的清晰度，并生成判別函數(shù)。在確定好相機與標定板的位置關系后，再由判別函數(shù)找到合適的調焦位置。參考文獻[16]中方法，將該過程分為以下5步。

第1步：找出像素點的最大灰度差方向，I為原圖，h為點擴散函數(shù)。

最大灰度梯度方向圖像為

第2步：引入閾值，去除圖像平坦區(qū)域的梯度影響因素，利用Ostu分割算法得出理論最佳閾值T，得到新的灰度梯度圖像G′

第3步：通過對灰度梯度圖像G′所在邊緣8鄰域內搜索來剔除孤立噪聲產(chǎn)生的偽邊緣

其中：Edge(x,y)為像素點（x，y）的8鄰域中的邊緣點個數(shù)。

第4步：生成歸一化的清晰度評價函數(shù)

根據(jù)該評價函數(shù)的單峰性和無偏性，找出極值所對應的像面位置，此時成像最清晰，得到圖2，符合人眼評判標準。

圖2 像面為清晰評價函數(shù)峰值處的成像Fig.2 The image which is at the peak of the function for sharp evaluation

第5步 使用本文算法，得到準確的標定結果。

3 實驗結果與分析

為滿足工程需要，需對8個光譜通道，6個調焦位置，共48組相機內部參數(shù)進行標定，并提出重投影誤差小于0.3 pix，焦距誤差小于1%的指標要求。

因本文在現(xiàn)有算法基礎上，不但完成了三維空間中特征點投影到像平面的前向模型計算，還引入了像點到三維特征點的后向模型優(yōu)化，故待求參數(shù)的精度較高，不確定度較小，其焦距不確定度達到0.7‰，視場內主點不確定度可達3.1%；因使用魯棒性較高的張正友算法初值，故后續(xù)非線性優(yōu)化算法的參數(shù)準確度更高，計算速率也有所提高。表1是本文算法與張正友EasyCalib軟件計算結果的對比（第8通道，調焦位置1的數(shù)據(jù)）。

表1 本文算法和張正友算法對比Table 1 The contrast between our method and Zhang's

從表中可知，即使在過曝情況下，本文計算結果與張氏算法相差不大，且誤差平方和仍較張氏算法有小幅下降；當剔除因過曝導致誤差偏大的角點后，本文算法的誤差平方和顯著下降，證明本文算法的有效性。

為證明達到指標要求，本文另外計算重投影誤差及各參數(shù)的不確定度，如表2所示，在過曝情況下，角點提取不準確導致參數(shù)的不確定度較大[17-19]，且重投影誤差超過應用指標0.3 pix；當在正常情況下，本文所得內參不確定度均有所下降，重投影誤差為0.25 pix，滿足實際應用。

表2 參數(shù)精度指標Table 2 The accuracy of parameters

為探究焦距誤差，現(xiàn)以第5、6個光譜（800，900 nm）通道為例進行說明，分別計算在第5、6光譜通道中6個調焦位置的焦距，如表3～4所示，焦距誤差如圖3。

圖3 本文所得5、6通道焦距值與光學仿真焦距值的誤差曲線Fig.3 The deviation curve of focal length value on the fifth，sixth channel obtained by comparing our algorithm and optical simulation

表3 第5通道6個調焦位置的焦距Table 3 The focal length of 6 focusing positions on the 5th channel

表4 第6通道6個調焦位置的焦距Table 4 The focal length of 6 focusing positions on the 6th channel

由于本文針對的應用都是小物距（成像光線并非平行光）情況[20-21]，故嚴格意義下所求相機參數(shù)應為像距，但根據(jù)視覺領域通用說法，將其稱為焦距。由焦距誤差曲線可知，其值都控制在5‰，遠小于1%，滿足應用要求。由圖3分析得知，物距較小時，光學仿真值大于算法值，而隨物距的增大，光學仿真值和算法值都有所下降，且算法值下降速率越來越緩，直至最后大于仿真值[22]。這是因為在光學模型中，由高斯公式可知焦距與物距存在倒數(shù)關系，而算法模型中，由張正友算法模型知焦距與物距的關系大約是倒數(shù)的開根。故當物距增加時，誤差出現(xiàn)從負到正的過程，且變化規(guī)律基本滿足倒數(shù)及其開根的混合運算。

4 結 論

本算法在獲得清晰圖像的基礎上，使用張正友算法與Heikkil?算法結合的方法完成幾何標定后，分別對比本文結果，張正友算法，及光學仿真值，驗證重投影誤差及焦距誤差滿足實際應用需求。實驗表明，即使在過曝情況下，本文算法精度仍稍高于張正友算法，魯棒性更強，未來的工作將通過數(shù)據(jù)擬合的方法進一步探究物距和焦距之間的關系，優(yōu)化相關參數(shù)，使得模型更完善，標定結果更準確；同時需探究處理圖像畸變的相關內容，實現(xiàn)圖像幾何畸變校正，提高其位置精度。