概率是研究隨機現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科,概率知識進入高中教材增強了高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。本章主要研究隨機事件、互斥事件及概率的意義。同學(xué)們要掌握互斥事件的概率的計算,掌握古典概型、幾何概型的概率計算。下面就這部分的常見典型考題進行分析,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

題型1：事件的關(guān)系與運算

對于互斥事件要把握住不能同時發(fā)生,而對于對立事件除不能同時發(fā)生外,其并事件應(yīng)為必然事件,這可類比集合進行理解。具體應(yīng)用時,可把所有試驗的結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪些試驗結(jié)果,從而判斷所給事件的關(guān)系。

例1口袋里裝有1個紅球,2個白球,3個黃球,共6個形狀相同的小球,從中取出2個球,事件A為“取出的2個球同色”,B為“取出的2個球中至少有1個黃球”,C為“取出的2個球中至少有1個白球”,D為“取出的2個球不同色”,E為“取出的2個球中至多有1個白球”。下列判斷中正確的序號為____。

①A與D為對立事件;②B與C是互斥事件;③C與E是對立事件;④P(C∪E)= 1;⑤P(B)=P(C)。

解：顯然A與D是對立事件,①正確。當(dāng)取出的2個球中“1黃1白”時,事件B與C都發(fā)生,②不正確。當(dāng)取出的2個球中恰有1個白球時,事件C與E都發(fā)生,③不正確。C∪E不一定為必然事件,即P(C∪E)≤1,④不正確。由于所以⑤不正確。答案為①。

跟蹤訓(xùn)練1：從1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)中任取2個數(shù)。

①恰有1個是偶數(shù)與恰有1個是奇數(shù);②至少有1個是奇數(shù)與2個都是奇數(shù);③至少有1個是奇數(shù)與2個都是偶數(shù);④至少有1個是奇數(shù)與至少有1個是偶數(shù)。上述事件中,屬于對立事件的是( )。

A.① B.②④ C.③ D.①③

提示：③中“至少有1個是奇數(shù)”即“2個都是奇數(shù)或1奇1偶”。

從1～7中任取2個數(shù),根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有3個事件：“2個都是奇數(shù)”,“1奇1偶”,“2個都是偶數(shù)”。故“至少有1個是奇數(shù)”與“2個都是偶數(shù)”是對立事件。易知其余都不是對立事件,應(yīng)選C。

題型2：隨機事件的頻率與概率

頻率是一個不確定的數(shù),在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小,但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小。從大量重復(fù)試驗中發(fā)現(xiàn),隨著試驗次數(shù)的增多,事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某一固定的值,該值就是概率。

例2如圖1所示,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2。

圖1

現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表1所示。

表1

(1)試估計40min內(nèi)不能趕到火車站的概率。

(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在表1中各時間段內(nèi)的頻率。

(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40 min和50min時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑。

解：(1)共調(diào)查了100人,其中40min內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),用頻率估計概率,可得所求概率為0.44。

(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,由調(diào)查結(jié)果得到所求的頻率如表2所示。

表2

(3)記事件A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40min內(nèi)趕到火車站;

記事件B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50min內(nèi)趕到火車站。

由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,即P(A1)＞P(A2),故甲應(yīng)選擇L1。

由P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,可知P(B2)＞P(B1),故乙應(yīng)選擇L2。

跟蹤訓(xùn)練2：隨機抽取一個年份,對鄭州市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計,結(jié)果如表3所示。

表3

(1)在4月份任選一天,估計鄭州市在該天不下雨的概率。

(2)鄭州市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會,估計運動會期間不下雨的概率。

提示：(1)由4月份天氣統(tǒng)計表知,在容量為30的樣本中,不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計概率,在4月份任選一天,鄭州市不下雨的概率為

(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如1日與2日,2日與3日等)。這樣在4月份中,前一天為晴天的“互鄰日期對”有16個,其中后一天不下雨的有14個,所以晴天的次日不下雨的頻率為

題型3：互斥事件與對立事件的概率

(1)判斷兩個事件是否為互斥事件,就是判斷它們能否同時發(fā)生,若不能同時發(fā)生,則是互斥事件,不然就不是互斥事件。若兩個事件互斥,且必有一個發(fā)生,則其為對立事件。兩個事件互斥未必對立,但對立一定互斥。(2)互斥事件的概率加法公式必須在各個事件彼此互斥的前提下使用,即A,B互斥,P(A+B)=P(A)+P(B)。若A,B對立,則P(A)=1-P(B)。

例3某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得。1000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個。設(shè)1張獎券中特等獎,一等獎,二等獎的事件分別為A,B,C。

(1)求P(A),P(B),P(C)。

(2)求1張獎券的中獎概率。

(3)求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率。

解：(1)由題意可得

由上可知,所求事件A,B,C的概率分別為

(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎。設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M,則M=A∪B∪C。

因為A,B,C兩兩互斥,所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=故1張獎券的中獎概率為

(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,所以P(N)=

跟蹤訓(xùn)練3：某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100名顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表4所示。

表4

已知這100名顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%。

(1)試確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值。

(2)求一名顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2min的概率。(將頻率視為概率)

該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,100名顧客一次購物的結(jié)算時間視為總體的一個容量為100的簡單隨機抽樣,顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本的平均數(shù)來估計。=1.9。所以估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值為1.9min。

(2)設(shè)B,C分別表示事件“一名顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5min和3min”。設(shè)A表示事件“一名顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2min”。

因為事件B,C互斥,且所以可得

故一名顧客一次購物結(jié)算時間不超過2min的概率為0.7。

題型4：簡單古典概型的求法

求古典概型的概率時,應(yīng)注意試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。求古典概型的概率的一般步驟：①反復(fù)閱讀題目,收集題目中的各種信息,理解題意;②判斷試驗是否符合古典概型的特點,并用字母表示所求事件;③利用列舉法求出總的基本事件個數(shù)及事件A所包含的基本事件個數(shù)。

例4某工廠對一批共50件的機器零件進行分類檢測,其重量(單位：g)統(tǒng)計如表5所示。

表5

規(guī)定重量在82g及以下的為甲型,重量在85g及以上的為乙型,已知該批零件有甲型2件。

(1)從該批零件中任選1件,若選出的零件重量在[95,100]內(nèi)的概率為0.26,求m的值。

(2)從重量在[80,85)內(nèi)的5件零件中,任選2件,求其中恰有1件為甲型的概率。

解：(1)由題意可得n=0.26×50=13,則m=50-5-12-13=20。

(2)設(shè)“從重量在[80,85)內(nèi)的5件零件中,任選2件,其中恰有1件為甲型”為事件A,記這5件零件分別為a,b,c,d,e,其中甲型為a,b。

從這5件零件中任選2件,所有可能的情況為a b,a c,a d,a e,b c,b d,b e,c d,c e,d e,共10種。其中恰有1件為甲型的情況有a c,a d,a e,b c,b d,b e,共6種。

跟蹤訓(xùn)練4：某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況,數(shù)據(jù)如表6(單位：人)。

表6

(1)從該班隨機選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率。

(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3。現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率。

提示：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人,故至少參加上述一個社團的共有45-30=15(人)。所以從該班隨機選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率為

(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人,其一切可能結(jié)果組成的基本事件為{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3}, {A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個。由題意可知這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的。

其中事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件為{A1,B2},{A1,B3},共2個。

故所求A1被選中且B1未被選中的概率

題型5：古典概型的交匯命題

古典概型在高考中常與集合、函數(shù)、解析幾何、平面向量、統(tǒng)計等知識交匯命題,命題的角度新穎,考查知識全面,能力要求較高。

例5先后擲一枚質(zhì)地均勻的骸子,分別記向上的點數(shù)為a,b。事件A為“點(a,b)落在圓x2+y2=12內(nèi)”,事件B為“f(a)＜0,其中函數(shù)

(1)求事件A發(fā)生的概率。

(2)求事件A,B同時發(fā)生的概率。

解：(1)先后擲一枚質(zhì)地均勻的骸子,容易得到總的基本事件有6×6=36(種)等可能的結(jié)果。

滿足點(a,b)落在圓x2+y2=12內(nèi)的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6種等可能的結(jié)果。

故事件A發(fā)生的概率

事件A,B同時發(fā)生的可能結(jié)果有(1, 1),(1,2),(1,3),共3種。

故所求事件A,B同時發(fā)生的概率為：

跟蹤訓(xùn)練5：山東泰山風(fēng)景區(qū)為了做好宣傳工作,準(zhǔn)備在A和B兩所大學(xué)分別招募8名和12名志愿者,將這20名志愿者的身高(單位：cm)編成如圖2所示的莖葉圖。若身高在175 cm以上(包括175 cm)定義為“高精靈”,身高在175cm以下定義為“帥精靈”。已知A大學(xué)志愿者的身高的平均數(shù)為176,B大學(xué)志愿者的身高的中位數(shù)為168。

圖2

(1)求x,y的值。

(2)如果用分層抽樣的方法從“高精靈”和“帥精靈”中隨機抽取5人,再從這5人中選2人,求至少有1人為“高精靈”的概率。

提示：(1)由題意及所給的莖葉圖可得,由上解得x=5,y=7。

(2)由莖葉圖可知,“高精靈”有8人,“帥精靈”有12人。如果用分層抽樣從“高精靈”和“帥精靈”中抽取5人,則抽取的“高精靈”和“帥精靈”的人數(shù)分別為

記抽取的“高精靈”分別為b1,b2,抽取的“帥精靈”分別為c1,c2,c3。

從這5人中任選2人的所有可能情況為(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1), (b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10種。

記“從這5人中選2人,至少有1人為‘高精靈’”為事件A,則事件A包含的可能情況為(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3), (b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共7種。

題型6：與面積有關(guān)的幾何概型

求解與面積有關(guān)的幾何概型問題時,關(guān)鍵是弄清所求事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形的面積,以便求解。

例6從區(qū)間[0,1]上隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( )。

解：如圖3,數(shù)對(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的點落在邊長為1的正方形O A B C內(nèi)(包括邊界),兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)。

圖3

跟蹤訓(xùn)練6：某校早上8：00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5min到校的概率為____。

提示：設(shè)小張與小王的到校時間分別為7：00后第xmin,第ymin。(x,y)可看成平面中的點,根據(jù)題意畫出圖形,如圖4所示。

圖4

總的基本事件所包含的面積為(50-30)2=400。

設(shè)小張比小王至少早5min到校表示的事件為A,則事件A={(x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如圖4中陰影部分所示,易得陰影部分所包含的面積為