趙侯宇

【摘 要】線性代數(shù)是理工科專業(yè)學(xué)生的必修課程之一，具有內(nèi)容抽象、推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯、推理能力具有不可替代的作用。文章分析了線性代數(shù)中出現(xiàn)的幾道題目，為該課程的進(jìn)一步教學(xué)改革和實(shí)踐提供了一點(diǎn)思考。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G624 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）04-0059-001

Teaching From Several Topics in Linear Algebra

ZHAO Hou-yu

（School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Shapingba 401331，China）

【Abstract】Linear algebra is one of the compulsory courses for science and engineering majors. It has the characteristics of abstraction and precise reasoning， which plays an irreplaceable role in cultivating students' logical and reasoning ability. The article analyzes several problems that appear in linear algebra， and provides some reflections on the further teaching reform and practice of this course.

【Key words】Linear algebra； Teaching reform

線性代數(shù)是大學(xué)理工科專業(yè)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分，占據(jù)著重要位置[1-2]。在實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生的解題能力得不到提高，對(duì)于線性代數(shù)概念定義較多，解題方式多樣，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，究其原因，是學(xué)生解題的思維能力沒有得到很好的鍛煉，或者說，學(xué)生沒有很好地掌握所學(xué)的解題知識(shí)。因此，教師在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)多一些點(diǎn)撥和提醒，讓學(xué)生在明白一道題目的解法時(shí)對(duì)解題關(guān)鍵的思想和方法也要掌握，明白具體思路，達(dá)到舉一反三的目的。下面，我們將就幾道具體例子[1]，說明解題思想在教師授課過程中的重要作用。

例1設(shè)P-1AP=∧，其中P=-1 -4 1 1，∧=-1 0 0 2，求A11.

分析：此題是學(xué)生學(xué)習(xí)了矩陣及其運(yùn)算之后的一道計(jì)算題。主要考查學(xué)生對(duì)矩陣相似和對(duì)角矩陣性質(zhì)的掌握程度，特別是注意到對(duì)角矩陣的有限次方只需要對(duì)處于對(duì)角線處的數(shù)字進(jìn)行有限次方運(yùn)算這個(gè)特點(diǎn)。如果學(xué)生掌握了這些，按照題目要求，學(xué)生應(yīng)該能夠順利做出。

解：由題目可知A=P∧P-1，又因?yàn)锳11=P∧11P-1，注意到∧11=-1 0 0 2048，因此

例2設(shè)

（2-λ）x+2x-2x=1，2x+（5-λ）x-4x=2，-2x-4x+（5-λ）x=-（λ+1），

問λ為何值時(shí)，此方程組有唯一解、無解或有無限多解？并在有無限多解時(shí)求其通解。

分析：此題是在學(xué)完矩陣的初等變換與線性方程組后的一道題目。教師在課堂上應(yīng)重點(diǎn)講解n元線性方程組Ax=b有解和無解的充分必要條件是什么，特別要針對(duì)該定理的應(yīng)用進(jìn)行重點(diǎn)講解，通過幾道例題加深該定理的理解。如果學(xué)生掌握了這些，那么本題便易于解決，主要應(yīng)用n元線性方程組有解與無解的充要性定理完成。

解：對(duì)增廣矩陣B=（A b）作初等行變換把其變成行階梯形矩陣，有

當(dāng)λ≠1且λ≠10時(shí)，R（A）=R（B）=3，方程組有唯一解；

當(dāng)λ≠10時(shí)，R（A）=2<3=R（B），方程組無解；

當(dāng)λ≠1時(shí)，R（A）=R（B）=1<3，方程組有無限多個(gè)解， 這時(shí)

B1 2 -2 10 0 0 00 0 0 0

由此得

x1=1-2x2+2x3，

其中x2，x3為自由變量，即xxx=c-2 1 0+c201+100，c，c為任意實(shí)數(shù)。

例3設(shè)n階矩陣A滿足A2=A，E為n階單位矩陣，證明：R（A）+R（A-E）=n.

分析：此題是在學(xué)完矩陣的秩和向量組的線性相關(guān)性后的一道題目。教師在課堂上講解矩陣的秩的時(shí)候，對(duì)于矩陣的秩的幾個(gè)性質(zhì)應(yīng)加以重點(diǎn)解釋和介紹。此題用到了矩陣和的秩小于等于矩陣秩的和，此外還用到若兩個(gè)矩陣的乘積是n階零矩陣，則這兩個(gè)矩陣的秩的和小于等于n這個(gè)性質(zhì)。學(xué)生在掌握了這些，便可從這兩個(gè)性質(zhì)入手證明此題。

證明：由已知A2=A有A（A-E）=0，利用若兩個(gè)矩陣的乘積是n階零矩陣，則這兩個(gè)矩陣的秩的和小于等于n，即R（A）+R（A-E）≤n.

又因?yàn)锳+（E-A）=E，利用矩陣和的秩小于等于矩陣秩的和有

n=R（E）≤R（A）+R（E-A）=R（A）+R（A-E）.

因此R（A）+R（A-E）=n.

通過上面幾道例題的分析，我們可以看到對(duì)于線性代數(shù)這門課程解題的一些重要技巧和方法都是在熟練掌握線性代數(shù)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念后才能夠?qū)崿F(xiàn)的，這需要教師在課堂講解時(shí)針對(duì)定理、概念進(jìn)行細(xì)致分析、重點(diǎn)把握、積極引導(dǎo)，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)具體定理、概念的理解和運(yùn)用，使學(xué)生在解決問題時(shí)能有的放矢。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2013.