熊俊偉

（江西省宜春市經(jīng)都學(xué)校 江西宜春 336000）

引言

在平時(shí)的教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些使我們感到困惑的問(wèn)題。此時(shí)，我們需要發(fā)揮人腦思維的作用。如果我們不能從正面求出，為什么不試著從反面求出呢?反例教學(xué)可以引發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生愿意去思索。[1]

一、在概念教學(xué)中反例的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該通過(guò)運(yùn)用反例來(lái)解釋基本知識(shí)，使學(xué)生能夠區(qū)分容易產(chǎn)生的混沌和錯(cuò)誤，從而更加牢固。[2]

案例一：（1）在人教版七年級(jí)上冊(cè)第一章第二節(jié)“數(shù)軸、相反數(shù)與絕對(duì)值” 的教學(xué)中，數(shù)軸的概念為規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸?？梢粤信e以下反例來(lái)加深學(xué)生對(duì)數(shù)軸概念的理解。

如下所示，下列所表示的都不是數(shù)軸。

由以上反例知，數(shù)軸的三要素為：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度。數(shù)軸是直線，而不是射線或線段。

（2）在人教版七年級(jí)下冊(cè)無(wú)理數(shù)的教學(xué)中，無(wú)理數(shù)的概念為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。例如，等都是無(wú)理數(shù)，π=3.14159265···學(xué)生常會(huì)錯(cuò)誤理解為：無(wú)限小數(shù)或帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。

下面舉出反例：

3.14不是無(wú)理數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；

（3）在人教版八年級(jí)上冊(cè)第十五章第三節(jié)“分式方程”的教學(xué)中，分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

下列方程不是分式方程：

（4）在人教版七年級(jí)下冊(cè)“平行線”的教學(xué)中，平行線概念的錯(cuò)誤理解：在同一平面內(nèi)不相交的線是平行線。

下列不是平行線：

（正確的理解是在同一平面內(nèi)不相交的直線是平行線。）

二、在平面幾何證明中反例的運(yùn)用

在教學(xué)過(guò)程中，可以使用一些證明問(wèn)題來(lái)檢驗(yàn)邏輯是不是嚴(yán)格，并通過(guò)反例來(lái)否定不正確的證據(jù)，以便人們可以不斷摸索和發(fā)掘正確的方法和結(jié)論。

案例二：人教版八年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)中，平行四邊形的條件：證若四邊形一組對(duì)邊及一組對(duì)角相等，則是平行四邊形。

圖1

證明：如圖1，設(shè)四邊形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠DCB。

作DE⊥AB，BF⊥DC，則Rt△ADE ≌ Rt△CBF（斜邊一銳角相等）

∴DE=EF（對(duì)應(yīng)邊），Rt△DEB ≌ Rt△BFD（斜邊一股相等）

∴EF=DF，∴AB=DC（∵AE=FC）

∴ABCD是平行四邊形

圖2

分析：若四邊形一組對(duì)邊及一組對(duì)角相等，這四邊形不一定是平行四邊形。其實(shí)自四邊形一頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足可能是在對(duì)邊的延長(zhǎng)線上。如圖 2，AD=BC，∠BAD=∠DCB，但自 B 作DC 的垂線，雖然仍可證得 AE=FC，EB=FD，但AB=AE + EB，DC=FC－FD，并不相等。原證沒(méi)有考慮這種情形，所以結(jié)論是錯(cuò)誤的。

由上可以看出，反例對(duì)于證明的作用是相當(dāng)重要的。

三、用反例否定錯(cuò)誤推理

案例三：例1 判斷下列推理的正誤：

（錯(cuò)誤，在b≠0時(shí)才成立，b=0時(shí)，0沒(méi)有倒數(shù)。）

（錯(cuò)誤，當(dāng) a 是負(fù)數(shù)時(shí)，不等式兩邊同除以一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向會(huì)改變。）

例2要證明“兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積仍是無(wú)理數(shù)”這一命題是否為真命題時(shí)，為無(wú)理數(shù)，則此命題為真。

面對(duì)這樣的問(wèn)題，我們應(yīng)嘗試著舉出反例，若為有理數(shù)，此命題為假命題。像這樣，我們可以通過(guò)給出一個(gè)反例驗(yàn)證真假。

四、反例的運(yùn)用應(yīng)注意的問(wèn)題

1.反例的舉例要有意義

毫無(wú)目的的反例就沒(méi)有意義可言。針對(duì)課本的教學(xué)內(nèi)容，針對(duì)性地提出反例，合理地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。針對(duì)問(wèn)題的難易程度，有計(jì)劃地運(yùn)用重點(diǎn)和難點(diǎn)。

2.運(yùn)用反例的時(shí)間

什么時(shí)候使用反例，使用的基礎(chǔ)是什么，這就是老師在使用反例前需要考慮的事情。在教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用反例是為了達(dá)到畫(huà)龍點(diǎn)睛的效果。因此，教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到反例的使用只是一種輔助的手段，而不是一種唯一的手段。

3.運(yùn)用反例時(shí)要師生互動(dòng)

教師的輔助功能主要反映在指導(dǎo)方面上，有效的指導(dǎo)有助于學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)知識(shí)。對(duì)于反例的應(yīng)用，有很多優(yōu)點(diǎn)，可以從另一個(gè)角度來(lái)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)是否正確。然而，只有學(xué)生聽(tīng)的反例教學(xué)，并不符合培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的初志。因此，教師應(yīng)該在輔助學(xué)生之后給他們上課，以便他們可以提出自己的反例。

4.運(yùn)用反例時(shí)避免分散注意力

在反例和正例同時(shí)出現(xiàn)的情況下，應(yīng)避免反例分散學(xué)生的注意力。如果稍不注意，學(xué)生重點(diǎn)記憶反知識(shí)，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為正確的知識(shí)是錯(cuò)誤的，進(jìn)而使大腦記下反例，很難糾正。因此，在反例教學(xué)中，教師應(yīng)避免分散學(xué)生的注意力。

結(jié)語(yǔ)

反例教學(xué)在課堂上起著一定的引導(dǎo)和調(diào)節(jié)作用，它還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和綜合性。此外，教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到反例的使用只是一種輔助的手段，而不是一種唯一的手段。