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(1.山東科技大學 機械電子工程學院，山東青島 266590；2.青島大學 數(shù)據(jù)科學與軟件工程學院，山東 青島 266071)

并聯(lián)機構具有剛度質(zhì)量比大、精度高、承載能力強、易于實現(xiàn)高速等特點[1-3]。平面三自由度并聯(lián)機構在芯片封裝及電路板精密切割等領域具有較廣的應用，已逐漸成為國內(nèi)外研究熱點。

目前國內(nèi)外在平面三自由度并聯(lián)機構的運動學、優(yōu)化設計和剛度分析等方面做了一些研究工作[4-6]。張憲民等[7-9]研究了3-RRR和4-RRR機構的運動學性能。Mousavi等[10]研究了3-RPR機構的最大奇異橢圓平面及優(yōu)化分析。Staicu[11]研究了3-PRR機構的運動學分析及運動控制。董倩文等[12]對3-PRP機構做了運動學靈巧度和剛度分析。李樹軍等[13]分析了3-PRR機構的剛度特性。韓霄等[14]對3-RRP機構做了運動學、動力學及精度分析。王鑫輝等[15]對3-PRR機構做了多目標拓撲優(yōu)化設計及靈敏度分析。以上學者分別對不同構型的平面并聯(lián)機構做了研究，但是目前尚沒有對3-PRR機構進行系統(tǒng)的運動學數(shù)學建模和運動特性分析，這是對此構型機構進行運動控制與優(yōu)化設計的基礎。因此，本研究針對3-PRR平面并聯(lián)機器人機構，建立運動學正反解數(shù)學模型，分析不同姿態(tài)角對工作空間的影響。利用機構的雅克比矩陣條件數(shù)、最小奇異值、可操作性三個指標對3-PRR并聯(lián)機構進行靈巧度分析。

1 3-PRR并聯(lián)機構運動學建模

1.1 運動學反解

運動學反解建模分析是已知動平臺中心Oa的位姿(x,y,φ)，求解出驅(qū)動副的輸入li,li為驅(qū)動桿AiBi的桿長。

圖1 3-PRR并聯(lián)機構模型簡圖(P:移動副，R:轉動副)Fig.1 Model diagram of 3-PRR parallel mechanism(P:Moving pair,R:Rotating pair)

3-PRR并聯(lián)機構模型，見圖1。由圖1可知，3-PRR并聯(lián)機構由定平臺、 動平臺和三條對稱的支鏈組成，每個支鏈包括主動桿和從動桿，主動桿通過移動副與定平臺連接，隨著主動桿的伸縮，該機構可實現(xiàn)平面內(nèi)三自由度運動。并聯(lián)機構的定坐標系(定系)和動坐標系(動系)的原點分別位于三角形A1A2A3和三角形a1a2a3的中心。

1.1.1 位置分析

每條支鏈驅(qū)動桿長度為li(i=1～3)，從動桿長度為Si，動平臺外接圓半徑為r，定平臺外接圓半徑為R，其中l(wèi)i和Si與定系的水平軸的夾角分別為αi和θi，ai與動系的水平軸的夾角為βi。動平臺中心坐標Oa在定系下可表示為

Oa=x,y,φT。

其中：x和y為定系下動平臺中心坐標，姿態(tài)角φ為動系相對于定系的轉角。

對于支鏈i，建立運動學方程如下所示：

(1)

其中：

運動學方程(1)整理可得：

(2)

基于三角函數(shù)定理，消去從動桿的轉角θi可得

(3)

求出驅(qū)動桿長度為：

(4)

1.1.2 速度分析

將運動學方程(2)對時間求一次導數(shù)，得到速度方程：

(5)

方程(5)寫成矩陣形式為：

(6)

簡記為

(7)

1.1.3 加速度分析

公式(5)對時間求導，可得加速度反解方程為

(8)

其中：

1.1.4 算例分析

機構動平臺中心分別按照0°和30°姿態(tài)角沿一個半徑為30 mm的圓形軌跡運行，以軌跡的圓心為坐標系原點?；跈C構的反解方程，通過Matlab數(shù)值計算得到0°和30°姿態(tài)角下的桿長、速度和加速度曲線，如圖2和圖4所示；Adams仿真曲線圖如圖3和圖5所示。

通過對比圖2和圖4可知，在改變動平臺姿態(tài)角時，對驅(qū)動桿的桿長變化影響較大，但對驅(qū)動桿的速度和加速度影響較小。通過對比圖2和圖3、圖4和圖5可知，各驅(qū)動桿的長度、速度、加速度曲線變化平滑，Matlab計算結果與Adams仿真分析結果基本一致，驗證了運動學建模的正確性。

1.2 運動學正解

運動學正解的坐標系建立及符號參數(shù)表示與運動學反解的相同，在此不再贅述，運動學正解方程如下：

(9)

圖3 姿態(tài)角0° Adams仿真曲線圖Fig.3 The simulation curve of 0 degrees of attitude angle by Adams

圖4 姿態(tài)角30° Matlab計算曲線圖Fig.4 The calculation curve of 30 degrees of attitude angle by Matlab

圖5 姿態(tài)角30° Adams仿真曲線圖Fig.5 The simulation curve of 30 degrees of attitude angle by Adams

同理可得，速度正解矩陣方程為：

(10)

簡記為

(11)

速度正解方程(10)對時間求一次導數(shù)，得到加速度正解矩陣方程如下：

(12)

其中：

2 3-PRR并聯(lián)機構工作空間分析

2.1 工作空間及面積求解

2.1.1 約束條件

在約束條件下，根據(jù)運動學方程是否存在實數(shù)解，可以求解出3-PRR機構的可達工作空間，有實數(shù)解的點即為機構的可達工作點。已知3-PRR并聯(lián)機構參數(shù)：S1=S2=S3=200 mm,r=50 mm，R=400 mm。求解本3-PRR并聯(lián)機構工作空間：即在滿足以下約束條件下，計算求解動平臺中心點Oa可達工作點的集合。工作空間的約束條件：

1) 各驅(qū)動桿的長度限制：并聯(lián)機器人由移動副驅(qū)動,驅(qū)動桿長度變化須滿足

lmin

當某一驅(qū)動桿長達到其極限值時，并聯(lián)機器人動平臺上的中心點也就達到了工作空間的邊界。各驅(qū)動副行程li=lmax-lmin，其大小直接影響操作空間的大小。

2) 從動桿的干涉：設各從動桿截面都是邊長為m的正方形，兩相鄰桿中心線間的最短距離為M，則兩桿之間不發(fā)生干涉的條件為

M>m。

3) 各轉動關節(jié)的轉角限制。由于各轉動關節(jié)的轉動范圍有限，所以關節(jié)轉角也限制了各支鏈從動桿的轉動幅度：

θmin<θi<θmax

2.1.2 計算分析結果

基于MATLAB R2014a數(shù)值計算分析的工作空間，見圖6。由圖6可求出在動平臺姿態(tài)角為0度時的最大工作空間面積為39 885 mm2，工作空間最大內(nèi)切圓半徑為100 mm。

2.2 不同姿態(tài)角對工作空間的影響

不同姿態(tài)角下的工作空間對比如圖7所示。由圖7可知，當動平臺的姿態(tài)角為0度時，機構的工作空間最大；在改變動平臺姿態(tài)角時，工作空間也會隨著旋轉一定的角度，并且工作空間的面積也會隨著減小。

圖6 動平臺姿態(tài)角0°時的工作空間Fig.6 The working space of the moving platform at the attitude angle of 0 degrees

圖7 不同姿態(tài)角下的工作空間對比圖(0°，15°，30°，45°，60°)Fig.7 A work space contrast diagram with different attitude angles(0 degrees, 15 degrees, 30 degrees, 45 degrees, 60 degrees)

3 3-PRR并聯(lián)機構靈巧度分析

3.1 不同姿態(tài)下的條件數(shù)的倒數(shù)值

3-PRR機構的雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值越大，機構的運動學性能越好。3-PRR機構雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值如圖8所示。可以看出，工作空間中心處機構的運動學性能比邊緣處機構的運動學性能要好。

3.2 不同姿態(tài)下的最小奇異值

最小奇異值越大，越有利于動平臺的快速響應，也越有利于控制操作的最大速度。動平臺在不同姿態(tài)下的最小奇異值變化，如圖9所示。

圖8 不同姿態(tài)角時的條件數(shù)倒數(shù)Fig.8 The reciprocal of the condition number of different attitude angles

由圖9可以看出，當動平臺姿態(tài)角為0°時，機構的最小奇異值較小，不利于動平臺的快速響應；當動平臺姿態(tài)角為15°時，機構的最小奇異值有明顯的增大，動平臺易于快速響應控制；當動平臺姿態(tài)角增大到30°、45°時，最小奇異值變化較小，機構的快速響應特性和姿態(tài)角為15°時無較大差異。

圖9 不同姿態(tài)角下的最小奇異值Fig.9 The minimum singular value of different attitude angles

3.3 不同姿態(tài)下的可操作性

可操作性的值越大，動平臺的工作靈活程度越高。動平臺在不同姿態(tài)下的可操作性變化圖，見圖10。

圖10 不同姿態(tài)角下的可操作性Fig.10 The maneuver ability of different attitude angles

從圖10可以看出，當動平臺姿態(tài)角為0°時，機構的可操作性較小，動平臺的靈活程度較低；當動平臺姿態(tài)角為15°時，機構的可操作性有明顯的增大，動平臺靈活程度較高；當動平臺姿態(tài)角增大到30°、45°時，可操作性也隨之增大，動平臺靈活程度較好。

4 總結

本研究建立了機構的運動學反解和正解數(shù)學模型，并對運動學反解進行了實例計算驗證，得出特定軌跡下桿長、速度、加速度的變化曲線；根據(jù)約束條件，計算出不同姿態(tài)下動平臺的工作空間，分析了動平臺姿態(tài)角對工作空間的影響；并推導出速度雅克比矩陣，計算出在不同姿態(tài)下雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值、最小奇異值、可操作性在工作空間分布，分析了機構的靈巧度特性。