龐　策,　趙　巖

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安　710051)

0　引言

非線性濾波[1-3]是針對非線性系統(tǒng)，解決非線性問題的一種濾波方法，不需要將非線性問題進行線性化。常用的非線性濾波方法有：擴展卡爾曼濾波(EKF)[4]、中心差分卡爾曼濾波(CDKF)[5]、Unscented卡爾曼濾波(UKF)[6]、高斯-厄米特濾波(GHF)[7]和粒子濾波(PF)[8]等。Unscented粒子濾波(UPF)算法[9]吸收了UKF[4]和PF[1]算法的優(yōu)點，被廣泛用于非線性、非高斯動力學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)估計和狀態(tài)濾波問題。UPF算法

不僅克服了UKF算法不適用于非高斯噪聲系統(tǒng)的局限性，而且克服了PF算法重要性密度函數(shù)難以選取的缺陷。但是，UPF算法仍易受到異常擾動的影響，且在計算迭代中可能出現(xiàn)協(xié)方差陣失去半正定性的問題。

針對UPF算法存在的問題，本文在UPF算法的基礎(chǔ)上，提出基于奇異值分解的Unscented粒子濾波(SVD-UPF)算法。SVDUPF算法采用自適應(yīng)因子調(diào)節(jié)動力學(xué)模型誤差，通過奇異值分解抑制系統(tǒng)狀態(tài)協(xié)方差矩陣的負定性，并以改進的UKF算法產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，彌補粒子濾波重要性密度函數(shù)難以選取的缺陷。

1　奇異值分解原理

奇異值分解(SVD)是一種重要的矩陣分解方法，是矩陣分析中正規(guī)矩陣酉對角化的推廣[10-11]。奇異值分解在某些方面與對稱矩陣或Hermite矩陣基于特征向量的對角化類似，然而這兩種矩陣分解盡管有其相關(guān)性，但還是存在明顯的不同。對稱陣特征向量分解的基礎(chǔ)是譜分析，而奇異值分解則是譜分析理論在任意矩陣上的推廣。

(1)

2　基于奇異值分解的Unscented粒子濾波算法

假設(shè)非線性系統(tǒng)

xk=f(xk-1)+wk-1

(2)

zk-1=h(xk-1)+vk-1

(3)

式中：xk為k時刻系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；zk為m維量測向量；f(·)和h(·)分別為非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和量測函數(shù)；wk為n維零均值過程噪聲向量；vk為m維零均值量測噪聲。

按照式(2)和式(3)所描述的非線性系統(tǒng)模型，設(shè)計基于奇異值分解的Unscented粒子濾波算法步驟如下所述。

1) 初始化。

從先驗密度分布函數(shù)中抽取2n+1個樣本點x0～p(x0)，使

(4)

經(jīng)擴維得

(5)

式中：Q0為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方差；R0為觀測噪聲方差。權(quán)值為

(6)

2) 構(gòu)造自適應(yīng)因子。

自適應(yīng)因子函數(shù)選用兩段函數(shù)自適應(yīng)因子模型

(7)

式中，αk表示自適應(yīng)因子，c為經(jīng)驗常數(shù)，通常1

3) 奇異值分解，計算Sigma點集[12-13]。

分別計算特征點協(xié)方差矩陣和2n+1個Sigma點向量，即

(8)

(9)

4) 時間更新。

χi,k|k-1=f(χi,k-1)+wki=0,1,…,2n

(10)

(11)

(12)

式中，svd{·}為SVD分解算子。

(13)

式中，自適應(yīng)因子αk由式(7)確定，并用αk修正σi,k|k-1。

χi,k|k-1=

(14)

(15)

zi,k|k-1=h(χi,k|k-1)+vki=0,1,…,2n

(16)

(17)

式中，Q為系統(tǒng)噪聲方差。

5) 量測更新。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

式中,R為量測噪聲方差。選擇重要性函數(shù)為

(23)

6) 從建議分布函數(shù)中抽取粒子，并進行權(quán)值更新與歸一化

(24)

(25)

得到歸一化權(quán)值

除了采用了一些常用的統(tǒng)計方法外,還進行了動力學(xué)診斷。這里計算了大氣視熱源 和視水汽匯

(26)

7) 計算估計值和方差。

(27)

(28)

3　算法收斂性分析

引理1假設(shè)動力學(xué)模型為

(29)

存在非線性函數(shù)f(·)，使得先驗分布和狀態(tài)值的后驗分布滿足

(30)

證明設(shè)先驗分布和狀態(tài)值的后驗分布分別為

ppr=p(X)

(31)

ppo=p(X|Z)。

(32)

根據(jù)貝葉斯遞推預(yù)測理論

(33)

那么由函數(shù)內(nèi)積可知，對于任意函數(shù)f(·)，有

(34)

(35)

那么必有

(36)

證明根據(jù)引理1

(37)

對式(37)進行如下運算

(38)

由于ppr(k|k-1)和f(·)均為概率密度函數(shù)，則

‖ppr(k|k-1)f‖≤‖f‖

(39)

那么

(40)

引理3存在函數(shù)f(·)和h(·)，使得先驗分布和狀態(tài)量的后驗分布滿足

(41)

證明根據(jù)貝葉斯遞推更新理論

(42)

將非線性函數(shù)f(·)和ppo(k|k)做內(nèi)積運算，由式(42)得到

(43)

定理1在k>0的情況下，必然存在獨立于已知數(shù)N的常數(shù)c1，使得對于非線性函數(shù)f滿足

(44)

證明根據(jù)引理1，2和3可知

(45)

(46)

采用Minkowski不等式，得到

(47)

(48)

由此說明該算法收斂。

4　仿真分析

將設(shè)計的算法應(yīng)用到單變量非靜態(tài)狀態(tài)增長模型進行仿真。仿真的過程模型和觀測模型為[14]

x(t)=0.5x(t-1)+2.5x(t-1)/1+[x(t-1)]2+
8cos[1.2(t-1)]+w(t)

(49)

Z(t)=x(t)2/20+v(t)

(50)

其中，w(t)和v(t)均為零均值高斯噪聲，且方差分別為Q和R。

由于該系統(tǒng)具有高度非線性特征，似然函數(shù)呈現(xiàn)雙峰分布，這種雙峰性使得傳統(tǒng)濾波方法難以處理。因此，采用提出的基于奇異值分解的Unscented粒子濾波(SVDUPF)與現(xiàn)有的EKF，UPF算法進行比較。仿真粒子數(shù)選為100，初始值取x(0)=0.1，P(0)=2，過程噪聲Q和量測噪聲R的方差選取兩組數(shù)值，分別為Q=10,R=1和Q=20,R=1。仿真結(jié)果及數(shù)據(jù)比較如圖1、表1所示。

圖1　SVDUPF與現(xiàn)有算法對比Fig.1　Contrast between SVDUPF and current algorithms

從圖1可知，SVDUPF算法的狀態(tài)估值精度優(yōu)于其他兩種濾波算法得到的狀態(tài)估值精度。說明SVDUPF算法在這些濾波算法中具有較高的濾波精度，UPF算法次之，EKF濾波精度最低。另外，當Q=10,R=1時(圖1a)與Q=20,R=1時(圖1b)相比較，設(shè)計濾波的狀態(tài)估值隨著過程噪聲的增加而降低，說明濾波精度下降，但SVDUPF濾波精度下降較小，說明該算法能夠抑制過程噪聲。從仿真時間可以看出，SVDUPF算法其復(fù)雜度高于EKF和UPF算法，算法精度的提高是以復(fù)雜度的提高為代價的。

表1　仿真結(jié)果數(shù)據(jù)比較

5　結(jié)論

本文提出一種改進UPF算法，即基于奇異值分解的Unscented粒子濾波算法。首先介紹了奇異值分解原理，并在此基礎(chǔ)上，設(shè)計并提出了SVDUPF算法。將提出的算法應(yīng)用于單變量非靜態(tài)狀態(tài)增長模型進行仿真驗證，結(jié)果表明，提出算法的濾波性能明顯優(yōu)于EKF和UPF算法，能抑制模型誤差，提高濾波解算的精度。

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