羅招賢，　邵　雷，　虞文鵬

(1.江西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院,南昌　330088;　2.西安衛(wèi)星測(cè)控中心,西安　710043)

0　引言

利用天基預(yù)警衛(wèi)星跟蹤空間目標(biāo)[1-6]的研究有很多，大致可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是基于彈道模板的跟蹤，在跟蹤前就已經(jīng)獲取彈道導(dǎo)彈的先驗(yàn)信息，憑借單顆衛(wèi)星就能實(shí)現(xiàn)對(duì)彈道目標(biāo)的跟蹤；另一類(lèi)是基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的跟蹤，在無(wú)先驗(yàn)信息的條件下，根據(jù)彈道目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性建立符合該特性的運(yùn)動(dòng)方程，并通過(guò)觀測(cè)值實(shí)

時(shí)更新目標(biāo)狀態(tài)?；趶椀滥０宓姆椒ㄐ枰嫶蟮膹椀缹?dǎo)彈數(shù)據(jù)庫(kù)以及較為精準(zhǔn)的匹配算法作為支撐，而彈道導(dǎo)彈作為戰(zhàn)略層次的武器，向來(lái)是各國(guó)重點(diǎn)保護(hù)對(duì)象，想要獲取一個(gè)較為完備的彈道導(dǎo)彈數(shù)據(jù)庫(kù)極其困難，在現(xiàn)實(shí)中不具備可操作性，因此本文采用基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的跟蹤方法。

由于衛(wèi)星采取無(wú)源探測(cè)方式，只能得到目標(biāo)的角度信息，而無(wú)法獲得距離信息，可觀測(cè)性較弱，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的跟蹤方法需要雙星協(xié)同探測(cè)才能確定目標(biāo)的三維空間位置。在雙星協(xié)同探測(cè)對(duì)多目標(biāo)跟蹤[7-10]的過(guò)程中，目標(biāo)航跡交叉會(huì)對(duì)跟蹤產(chǎn)生較大的影響，使得跟蹤發(fā)生異?，F(xiàn)象。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出基于二元多項(xiàng)式思想的量測(cè)方程構(gòu)造方法設(shè)計(jì)了BPGM-SME算法。在濾波算法方面，傳統(tǒng)的非線(xiàn)性濾波算法[11-12]包括無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)算法[13-16]和粒子濾波(PF)算法[17]，PF算法的缺點(diǎn)在于運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，無(wú)法滿(mǎn)足預(yù)警衛(wèi)星的實(shí)時(shí)性要求，UKF算法的運(yùn)算實(shí)時(shí)性較好，但是由于預(yù)警衛(wèi)星的觀測(cè)性較弱，存在跟蹤精度低和收斂性差的問(wèn)題，針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了基于迭代思想的UKF算法。

1　雙星可觀測(cè)性分析

天基紅外預(yù)警系統(tǒng)采用無(wú)源探測(cè)，至少同時(shí)需要兩顆衛(wèi)星才能求解目標(biāo)的三維空間位置。雙星觀測(cè)幾何如圖1所示。

圖1　雙星觀測(cè)幾何Fig.1　Double satellite observation geometry

假設(shè)地心直角坐標(biāo)系中衛(wèi)星s1，s2的位置分別為rs1=(xs1,ys1,zs1)T和rs2=(xs2,ys2,zs2)T，設(shè)目標(biāo)T在地心直角坐標(biāo)系中的位置為rc=(xc,yc,zc)T。列寫(xiě)直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)式方程為

(1)

其中，es1=(ex1,ey1,ez1)T和es2=(ex2,ey2,ez2)T分別為衛(wèi)星對(duì)目標(biāo)的單位視線(xiàn)向量。

將式(1)整理成矩陣形式，有

(2)

可簡(jiǎn)寫(xiě)為

F4×3rc,3×1=b3×1。

(3)

由式(3)可知，用4個(gè)方程求解3個(gè)參數(shù)，利用雙星可對(duì)目標(biāo)三維空間定位。

2　狀態(tài)方程及觀測(cè)方程

2.1　狀態(tài)方程

本文在彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段模型中采用重力轉(zhuǎn)彎模型近似導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在地心直角坐標(biāo)系中，導(dǎo)彈的位置矢量為rc，速度矢量為vc，建立運(yùn)動(dòng)方程，有

(4)

式中:‖·‖為矢量長(zhǎng)度;αt為推力與空氣阻力合力產(chǎn)生的加速度;μ為地球引力常數(shù)。

建立重力轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型，有

(5)

式中，βt為相對(duì)質(zhì)量損耗率。

對(duì)于主動(dòng)段的彈道導(dǎo)彈，有狀態(tài)方程

(6)

式中：x=[x,y,z,vx,vy,vz,αt,βt]T為狀態(tài)向量，x,y,z分別表示地心直角坐標(biāo)系中目標(biāo)的坐標(biāo)位置,vx,vy,vz為目標(biāo)速度在地心直角坐標(biāo)系各軸上的坐標(biāo)分量,αt為軸向加速度；函數(shù)f[·]表示目標(biāo)所采用的運(yùn)動(dòng)模型；w(t)表示建模的補(bǔ)償誤差。

2.2　觀測(cè)方程

設(shè)u1,v1為目標(biāo)在某顆衛(wèi)星像平面坐標(biāo)上的坐標(biāo)，則有觀測(cè)向量z1=[u1,v1]T為

(7)

式中：h為常系數(shù)；ψ1為觀測(cè)角；ε1為方向夾角；g為重力加速度；a1為加速度；rc，rs1為觀測(cè)位置矢量。

u2，v2為目標(biāo)在另一顆衛(wèi)星像平面坐標(biāo)上的坐標(biāo)，則有觀測(cè)向量z2=[u2,v2]T為

(8)

z=[u1,v1,u2,v2]T為觀測(cè)向量，有

z(t)=h1[x(t)]+v(t)

(9)

式中：h1[·]為映射函數(shù)；v(t)是觀測(cè)誤差。

3　算法設(shè)計(jì)

3.1　基于二元多項(xiàng)式思想的SME

3.1.1新量測(cè)方程

SME是基于多項(xiàng)式的思想得到的，以一維空間Kamen乘積和形式SME為例，新量測(cè)方程為

(10)

式中，xi為第i(i=1，2，…，N)個(gè)目標(biāo)的位置在x軸上的坐標(biāo)值，i=1,…,N。

構(gòu)造因式pi=s+xi得量測(cè)方程，有

(11)

式中，ai集合為Kamen乘積和形式SME即多項(xiàng)式系數(shù)。

進(jìn)一步將SME方法推廣到二維空間，以二維Kamen乘積和形式SME為例，有

(12)

式中，xi，yi(i=1，2，…，N)分別是第i個(gè)目標(biāo)的位置在x軸、y軸上的坐標(biāo)值。

在二維空間中，同時(shí)跟蹤兩個(gè)目標(biāo)，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)的量測(cè)量為z1=[x1,y1]T，z2=[x2,y2]T，有Kamen乘積和形式SME，為

(13)

為進(jìn)一步消除量測(cè)過(guò)程中的“鬼點(diǎn)”，提出基于多項(xiàng)式分解的改進(jìn)方法。構(gòu)造因式

qi=s+txi+yi

(14)

式中，xi，yi分別表示第i個(gè)目標(biāo)的位置在x軸、y軸上的坐標(biāo)值。有多項(xiàng)式

(15)

新量測(cè)集即為多項(xiàng)式系數(shù)bij所組成的集合，當(dāng)N=2時(shí)，新量測(cè)可以表示為

(16)

當(dāng)新量測(cè)集已知時(shí)，得到x軸和y軸的觀測(cè)集分別為{x1,x2}和{y1,y2}。假定此時(shí)，依然存在“鬼點(diǎn)”，則有

(17)

式(17)表明，當(dāng)x1=x2或y1=y2時(shí)，會(huì)發(fā)生坐標(biāo)間不明確關(guān)系。一旦x1=x2或y1=y2，集合{(x1,y1),(x2,y2)}與{(x1,y2),(x2,y1)}并沒(méi)有區(qū)別。由此可見(jiàn)，算法在改進(jìn)后，“鬼點(diǎn)”現(xiàn)象得到有效抑制。

3.1.2觀測(cè)誤差協(xié)方差陣

假設(shè)在一維空間含誤差的原始量測(cè)值為

zi=xi+ui

(18)

式中：xi為真實(shí)值；ui為觀測(cè)誤差。

經(jīng)過(guò)hi對(duì)稱(chēng)變換后的新量測(cè)誤差vi展開(kāi)如下

vi=hi[(z1(k),z2(k),…，zN(k))-hi(x1(k),x2(k),…，xN(k))]=

(19)

設(shè)在新量測(cè)方程中，觀測(cè)誤差向量為V=[v1,…,vn]T，n為新量測(cè)方程個(gè)數(shù)，新觀測(cè)誤差協(xié)方差陣可以通過(guò)R=E[VVT]求得。

定理1假設(shè)u=[u1,…,um]T～N(μ,Σ)，Σ為m×m的半正定矩陣，對(duì)于非負(fù)整數(shù)s1,…,sm，有

(20)

針對(duì)新觀測(cè)方程，將零均值高斯白噪聲設(shè)為在初始時(shí)刻的觀測(cè)向量誤差u=[ux1,ux2,uy1,uy2]T，并且該誤差滿(mǎn)足獨(dú)立同分布，則

(21)

R=E[VVT]=σ2H(x1,x2,y1,y2)H(x1,x2,y1,y2)T+
diag(0,0,σ4,σ4,2σ4)

(22)

式中，H(x1,x2,y1,y2)是h(x1,x2,y1,y2)的Jacob陣。

由式(21)、式(22)可以看出，利用泰勒展開(kāi)公式求解觀測(cè)誤差協(xié)方差陣的過(guò)程較為復(fù)雜，一旦量測(cè)方程的表達(dá)式發(fā)生變化，相應(yīng)的誤差協(xié)方差陣也需要作出調(diào)整。

3.2　基于迭代思想的UKF算法

濾波算法是跟蹤過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，經(jīng)典算法有UKF和PF。其中，UKF算法運(yùn)算時(shí)間適中，跟蹤精度較高且應(yīng)用較廣,但是在應(yīng)用過(guò)程中也存在一些問(wèn)題，比如，跟蹤時(shí)有時(shí)存在收斂性不佳的缺點(diǎn)，表現(xiàn)為跟蹤誤差忽高忽低。為改善UKF算法收斂性，同時(shí)提高跟蹤精度，本文提出基于迭代思想的UKF算法，其迭代步驟如下所述。

2) 令j=1，重新生成Sigma點(diǎn)

(23)

式中，λ為采樣間隔系數(shù)。

3) 預(yù)測(cè)新?tīng)顟B(tài)與協(xié)方差陣

(24)

(25)

4) 預(yù)測(cè)觀測(cè)值

(26)

(27)

5) 計(jì)算協(xié)方差矩陣和增益矩陣

(28)

(29)

(30)

6) 更新?tīng)顟B(tài)和協(xié)方差陣

(31)

(32)

(33)

Pk+1|k+1=Pk+1|k+1,j。

(34)

4　仿真分析

在星下點(diǎn)為-30°E，30°E分別布置一顆GEO衛(wèi)星，命名為GEO1和GEO2，兩顆預(yù)警衛(wèi)星對(duì)共同覆蓋區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的目標(biāo)進(jìn)行監(jiān)視與跟蹤，兩個(gè)目標(biāo)信息如表1所示。

表1　目標(biāo)的發(fā)射參數(shù)

在兩顆預(yù)警衛(wèi)星的像平面上分別采用BPGM-SME算法進(jìn)行跟蹤，估計(jì)效果如圖2所示。

圖2　衛(wèi)星像平面上估計(jì)效果圖Fig.2　Satellite estimation on the plane of the rendering

由圖2可以看出，在兩顆預(yù)警衛(wèi)星的像平面上兩個(gè)目標(biāo)的臨近程度雖然有所差別，但采用BPGM-SME算法都能得到較好的跟蹤效果。統(tǒng)計(jì)跟蹤誤差如圖3所示。

圖3　跟蹤誤差圖Fig.3　The tracking errors

從圖3可看出，兩顆衛(wèi)星對(duì)同一個(gè)目標(biāo)的跟蹤誤差有所不同，這是由目標(biāo)與衛(wèi)星的幾何關(guān)系決定的，在GEO1像平面上，目標(biāo)1的跟蹤誤差比目標(biāo)2要小，但在GEO2像平面上，對(duì)目標(biāo)2的跟蹤效果比目標(biāo)1要更好一些。根據(jù)前文設(shè)計(jì)的跟蹤流程，將數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)前置于像平面，因此，在像平面跟蹤完畢后，各個(gè)目標(biāo)在像平面上的位置就已經(jīng)確定，而且可以用估計(jì)值代替觀測(cè)值，從而轉(zhuǎn)化為雙星協(xié)同探測(cè)下的單目標(biāo)跟蹤。根據(jù)雙星協(xié)同探測(cè)的跟蹤流程，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)的三維空間狀態(tài)進(jìn)行跟蹤，目標(biāo)真實(shí)位置以及跟蹤結(jié)果如圖4所示。

圖4　目標(biāo)真實(shí)值與估計(jì)值Fig.4　The real value and estimated value of targets

分別采用UKF和迭代UKF(IUKF)進(jìn)行跟蹤，跟蹤誤差如圖5所示。

圖5　各算法跟蹤誤差Fig.5　Tracking errors of different algorithms

從圖4和圖5可看出，基于雙星探測(cè)的跟蹤方法能夠較為穩(wěn)定地跟蹤兩個(gè)目標(biāo)，并且兩種濾波算法的跟蹤精度都比較高，相比而言IUKF算法的收斂性更突出一些，因此，整體的跟蹤精度也更高。

5　結(jié)論

本文為了解決雙星協(xié)同探測(cè)對(duì)多目標(biāo)跟蹤的過(guò)程中目標(biāo)航跡交叉和濾波算法的跟蹤收斂性差問(wèn)題，提出了基于二元多項(xiàng)式SME算法和迭代UKF濾波算法，仿真結(jié)果表明：

1) 當(dāng)像平面觀測(cè)過(guò)程中存在多目標(biāo)航跡交叉時(shí)，采用BPGM-SME算法可以取得較好的跟蹤效果；

2) 采用BPGM-SME算法對(duì)目標(biāo)的跟蹤過(guò)程中，跟蹤效果好壞與目標(biāo)和衛(wèi)星間的幾何關(guān)系有關(guān)；

3) 相比于傳統(tǒng)的UKF算法，采用迭代UKF算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)，在保證實(shí)時(shí)性的前提下，能夠取得更好的收斂性效果和跟蹤精度，能夠滿(mǎn)足預(yù)警衛(wèi)星跟蹤目標(biāo)的實(shí)時(shí)性和精確性要求。

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