牛培峰， 史春見， 劉 楠， 馬云鵬， 吳志良， 李進柏

(燕山大學 工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室，河北秦皇島 066004)

氮氧化物(NOx)主要在燃燒過程中產(chǎn)生，是一種危害人體健康和破壞大氣環(huán)境的有毒污染物[1]。我國50%以上排放的NOx源于火電廠燃煤鍋爐[2]。因此，建立有效的火電廠燃煤鍋爐NOx排放特性預測模型變得至關(guān)重要。

由于鍋爐的NOx排放量與其影響因素之間存在復雜的非線性關(guān)系，根據(jù)傳統(tǒng)機理建模方法建立的數(shù)學模型會導致NOx排放量發(fā)生偏差[3-6]。因此，筆者采用近些年工程領(lǐng)域內(nèi)建模與控制問題中常用的神經(jīng)網(wǎng)絡建模。牛培峰等[3,7]研究了基于支持向量機和果蠅優(yōu)化算法的循環(huán)流化床鍋爐NOx排放特性模型和基于GSA-SVM的循環(huán)流化床鍋爐NOx排放特性模型；牛培峰等[6]提出基于風驅(qū)動算法的鍋爐NOx排放優(yōu)化模型，建立了風驅(qū)動算法的預測模型，該模型具有較高的準確性和穩(wěn)定性。但常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡的不足之處是計算量大、迭代訓練時間偏長、訓練速度慢、泛化能力較差和易陷入局部極小點等[8-11]。為了解決這些問題，筆者提出了通過自適應量子灰狼算法(AQGWO)來優(yōu)化快速學習網(wǎng)(FLN)的綜合建模方法[12-13]。

灰狼算法(GWO)是Mirjalili等[14]提出的新型啟發(fā)式仿生群體智能優(yōu)化算法。GWO具有原理簡單、易于實現(xiàn)、參數(shù)調(diào)整少且不需要問題的梯度信息等優(yōu)點，在函數(shù)優(yōu)化方面，GWO在求解精度和穩(wěn)定性上要明顯優(yōu)于粒子群算法(PSO)[9]、差分進化算法(DE)[10]和萬有引力算法(GSA)，更適合用于優(yōu)化FLN模型。但是在處理復雜的優(yōu)化問題上，GWO與其他基于種群迭代的智能搜索算法相似，也存在易陷入局部最優(yōu)且收斂精度低的情況。為此，筆者提出了AQGWO，并利用其與PSO、 DE、基本GWO和鯨魚算法(WOA)[15]對單峰、多峰等8個基準測試函數(shù)進行對比測試。結(jié)果表明，AQGWO的收斂速度最快，收斂精度最高。由于FLN模型過于依賴隨機初始的閾值和輸入權(quán)值，所以采用AQGWO對FLN模型進行參數(shù)優(yōu)化。為了驗證該模型的準確性和有效性，將該模型與基本GWO、PSO、WOA、DE的FLN模型和基本FLN模型進行比較，發(fā)現(xiàn)AQGWO-FLN模型的性能最好，具有更高的預測精度和更強的泛化能力，因而能準確有效地預測鍋爐NOx排放。

1 快速學習網(wǎng)

快速學習網(wǎng)(FLN)是李國強[13]提出的一種新型前饋雙并聯(lián)神經(jīng)網(wǎng)絡，與極端學習機[11]不同的是，其輸出層不只接收來自隱藏層神經(jīng)元的信息，還直接從輸入層接收相關(guān)信息。該模型是一種隱藏層到輸出層(非線性)和輸入層到輸出層(線性)的組合模型，F(xiàn)LN的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 快速學習網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖

在N個實驗樣本中，假設(shè)隱藏層神經(jīng)元的個數(shù)設(shè)為m，g(x)為隱藏層激勵函數(shù)，則FLN的數(shù)學模型為：

(1)

xj=[xj1,xj2,…,xjn]T,xj∈Rn

(2)

yj=[yj1,yj2,…,yjl],yj∈Rl

(3)

式中：yj為第j個樣本的第l維輸出向量，j=1,2,…,N；xj為第j個樣本的第n維輸入向量；Woi為輸入層和輸出層之間的連接權(quán)值矩陣；Wk,oh為第k個隱藏層神經(jīng)元和輸出層之間的連接權(quán)值矩陣，k=1,2,…,m；Wk,in為輸入層和第k個隱藏層神經(jīng)元之間的連接權(quán)值矩陣；bk為第k個隱藏層神經(jīng)元的閾值；l為輸出層的節(jié)點個數(shù)。

式(1)可表示為矩陣形式：

(4)

(5)

(6)

式中：X為輸入矩陣；Y為期望輸出矩陣；W為輸出層權(quán)值矩陣；G為隱藏層輸出矩陣；Woh為隱藏層和輸出層之間的連接權(quán)值矩陣。

式(4)可根據(jù)最小二乘范數(shù)解求得：

(7)

(8)

2 灰狼算法

2.1 灰狼算法

灰狼算法是為模擬自然界中灰狼群體的社會等級機制和捕食行為而提出的一種新型群體搜索方法，灰狼群體的社會等級機制如圖2所示。

圖2 灰狼種群等級制度示意圖

由圖2可以看出，α、β、δ和ω層是灰狼群體的社會等級，其中頭狼為α，領(lǐng)導灰狼群體；下屬狼為β，協(xié)助頭狼α作出決策;普通狼為δ，由α和β指揮；底層狼為ω，由α、β和δ指揮?；依侨后w在頭狼α的帶領(lǐng)下捕獲獵物，狼群通過氣味等信息逐漸靠近并追蹤獵物；在獵物位置確定后，包圍獵物；包圍圈逐漸縮小，攻擊獵物。

在D維空間中，假設(shè)種群X=(X1,X2,…,XN)由N只灰狼組成，定義群體歷史最優(yōu)解、次最優(yōu)解、第三最優(yōu)解和其他個體分別為頭狼α、下屬狼β、普通狼δ和底層狼ω。描述灰狼逐漸接近并包圍獵物時，第i只灰狼的位置定義為：

Xid(t+1)=Xpd(t)-Aid|CidXpd(t)-Xid(t)|

(9)

Aid=2a×r1-a

(10)

Cid=2×r2

(11)

a=2-t/tmax

(12)

式中：t為迭代次數(shù)；Xid為第i只灰狼在第d維上的位置，其中i=1,2,…,N，d=1,2,…,D；Xp為獵物的位置，Xp=(Xp1，Xp2，…，XpD)；r1、r2均為[0,1]內(nèi)的隨機變量；Aid、Cid和a均為收斂因子；tmax為最大迭代次數(shù)。

灰狼群體α、β和δ的位置(Xα、Xβ和Xδ)分別為：

(13)

(14)

式中:Xid(t+1)表示第i只灰狼在第d維的最終更新狀態(tài)。

2.2 自適應量子灰狼算法

2.2.1 量子初始化種群

Syafaruddin等[16]指出，對基于種群迭代的群體智能優(yōu)化算法來說，初始種群的好壞影響算法的全局搜索速度和解的質(zhì)量，多樣性較好的初始種群對于提高算法的尋優(yōu)性能很有幫助。由于GWO采用的是隨機初始化種群個體，因而初始群體的多樣性難以得到保證，在一定程度上降低了算法的搜索效率。

針對GWO存在的缺陷，筆者提出了量子位Bloch球面坐標編碼初始化種群。采用該算法改進后的GWO在收斂精度和收斂速度上得到了較大幅度的提升。

在量子計算中，量子位表示最小的信息單位，也稱為量子比特，一個量子比特的狀態(tài)可表示為：

|φ〉=cos(θ/2)|0>+ei1φsin(θ/2)|1〉

(15)

式中：|φ〉為量子態(tài)；φ為量子態(tài)在Bloch球面xy平面投影與x軸的夾角；θ為量子態(tài)與z軸的夾角；ei1φ為復數(shù)的指數(shù)表現(xiàn)形式。

φ和θ可確定Bloch球面上一點P，如圖3所示[17]。

圖3 量子比特的Bloch球面

由圖3可知，任何量子比特都與Bloch球面上的一點對應，因此量子比特可轉(zhuǎn)換為Bloch坐標：

|φ〉=[cosφsinθsinφsinθcosθ]T

(16)

直接采用量子比特的Bloch坐標作為編碼，設(shè)pi為群體中第i個候選解，編碼方案如下：

(17)

φij=2π×r3

(18)

θij=π×r3

(19)

式中：φij、θij分別為第i個候選解的第j維Bloch坐標對應角度；r3為[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)；n為優(yōu)化空間的維數(shù)；i=1,2,…,N，j=1,2,…,n；N為群體規(guī)模。

每個候選解對應空間的3個位置，分別為x解、y解和z解：

(20)

將候選解pi上第j個量子位的Bloch坐標記為 [xij,yij,zij]T，每個解空間第j維的取值范圍為 [aj,bj]，由單位空間In=[-1,1]n映射到解空間的變換公式為：

(21)

式中：(Xij,x，Xij,y，Xij,z)為第i個候選解的第j維對應解空間坐標。

優(yōu)化問題的每個候選解對應3個解，在所有3N個候選解中選擇N個適應度值較小的個體作為初始群體。

這種編碼方式能增加群體的多樣性，擴展搜索空間的遍歷能力，進而改善初始群體的質(zhì)量，加快算法的收斂速度。

2.2.2 變異算子

GWO基于最優(yōu)保存策略，在進化后期，由于所有群體中灰狼個體均逼近最優(yōu)個體區(qū)域，使其損失了群體多樣性，因而如果當前最優(yōu)灰狼個體是局部最優(yōu)解，算法就陷入局部最優(yōu)，這也是群體智能優(yōu)化算法的共同缺點。為了克服這種缺點，筆者對當前群體中最優(yōu)灰狼個體進行多樣性變異操作：

(22)

2.2.3 自適應慣性權(quán)值

為了增強GWO的局部開發(fā)能力，提高收斂精度和速度，筆者通過引入自適應慣性權(quán)值w對算法進行改進：

(23)

式中：w′和w″分別為慣性權(quán)值的最大值和最小值。

w隨迭代次數(shù)t的增加而減小，在前期有利于全局探索，在迭代后期有利于局部尋優(yōu)，提高了算法的收斂精度和速度。

改進后位置更新由式(13)改為式(24)：

(24)

AQGWO流程如下：

(1)初始化算法參數(shù)。群體規(guī)模大小為N，最大迭代次數(shù)為tmax，慣性權(quán)值的最大值為w′，慣性權(quán)值的最小值為w″。

(2)初始化群體位置。采用量子位Bloch球面對每個候選解進行編碼，映射到優(yōu)化問題的解空間，然后計算群體中每個個體的適應度值，根據(jù)適應度值的大小排序，最后選取N個個體作為初始群體，并選取適應度值最小的前3個個體位置，分別作為Xα、Xβ和Xδ，進行步驟4。

(3)計算N個個體的適應度值，選擇適應度值最小的前3個個體位置，分別作為Xα、Xβ和Xδ。

(4)判斷算法是否滿足終止條件。若滿足，輸出最優(yōu)灰狼個體，則算法結(jié)束；否則，執(zhí)行下一個步驟。

(5)根據(jù)式(23)計算出慣性權(quán)值w，再根據(jù)式(24) 更新群體中每個灰狼個體的位置。

(6)判斷當前位置未更新的迭代次數(shù)是否大于10。如果“是”，則按照式(22)進行變異，產(chǎn)生新的灰狼個體，否則不變。

(7)令t=t+1，返回步驟(3)。

3 AQGWO性能測試

為了比較的公平性，所有算法均在同一臺電腦上運行，其配置為2.4GHz的Intel(R) Core(TM) i7-5500U CPU、8G內(nèi)存和Windows 10操作系統(tǒng)，運行軟件環(huán)境為Matlab R2012a。為了驗證AQGWO的性能，將算法應用到8個經(jīng)典的基準優(yōu)化問題上(見表1)，其中f1～f5是高維的單峰基準測試函數(shù)，f6～f8是高維的多峰基準測試函數(shù)。

將AQGWO與DE、PSO、WOA、基本GWO進行了比較。將DE的比例系數(shù)F0設(shè)為0.6，交叉率Cr為0.85；PSO的學習因子c1、c2均為1.5；經(jīng)過大量的仿真實驗后，確定AQGWO慣性權(quán)重的最大值ω′和最小值ω″分別為1和0。DE、WOA、PSO、基本GWO和AQGWO這5種優(yōu)化算法的其他相關(guān)參數(shù)設(shè)置相同，即初始化群體規(guī)模為40，迭代次數(shù)為1 000，實驗獨立運行次數(shù)為20。

將各個基準測試函數(shù)進行10、20和50維的測試，并給出在設(shè)定參數(shù)條件下各種優(yōu)化算法最優(yōu)值的平均值(Mean)和均方差(S.D.)，如表2所示。

表1 8個基準測試函數(shù)

表2 基準測試函數(shù)測試4種不同算法的運行結(jié)果

由表2可知，在尋優(yōu)精度方面，AQGWO均能尋到理論最優(yōu)值(或非常接近理論最優(yōu)值)，特別在f1～f4、f6和f8測試函數(shù)中能精確地尋到理論最優(yōu)值，且方差為0；AQGWO在f6測試函數(shù)中找到最優(yōu)值的精度比其他4個優(yōu)化算法至少高1個數(shù)量級，方差至少高2個數(shù)量級；AQGWO在f7測試函數(shù)中找到最優(yōu)值的精度比其他4個優(yōu)化算法至少高1個數(shù)量級，且其方差為0。這說明對于絕大多數(shù)測試函數(shù)來說，與其他4個算法相比，AQGWO找到的最優(yōu)解精度更高，方差更小。

4 AQGWO-FLN模型設(shè)計及仿真

4.1 數(shù)據(jù)樣本

在循環(huán)流化床鍋爐運行過程中，影響NOx排放的因素很多，因而在建模前需對循環(huán)流化床鍋爐運行的各影響因素進行詳盡分析。根據(jù)影響NOx排放質(zhì)量濃度和各參數(shù)的關(guān)聯(lián)程度來確定輸入?yún)?shù)，應盡量選擇與NOx排放質(zhì)量濃度關(guān)聯(lián)性強的參數(shù)，在可能的情況下應少選或不選間接影響的參數(shù)，這樣可以提高NOx預測模型的計算精度和建模速度。根據(jù)此原則，并結(jié)合文獻[18]，最終選擇給煤機煤量、爐膛密相區(qū)上部平均床溫、一次風體積流量、一次風溫度、二次風總體積流量、二次風出口風溫、石灰石粉輸送電機電流、煙氣氧氣質(zhì)量濃度、煙氣溫度、爐膛爐渣溫度、SO2排放質(zhì)量濃度和飛灰質(zhì)量濃度等23個參數(shù)作為輸入?yún)?shù)，NOx排放質(zhì)量濃度作為輸出參數(shù)，NOx排放質(zhì)量濃度的計算詳見文獻[5]。

以某火電廠300 MW循環(huán)流化床鍋爐[19-20]為研究對象，所用數(shù)據(jù)來自集散控制系統(tǒng)(DCS)現(xiàn)場，在其負荷分別為50%、70%和100%時通過集散控制系統(tǒng)以30 s的間隔時間采樣一次，各采集50組工況運行數(shù)據(jù)，基本包括機組所有典型運行工況。從中隨機選取120組樣本(50%、70%和100%負荷下各40組)作為訓練樣本，剩下的30組樣本作為該模型的測試樣本。

4.2 模型建立及參數(shù)設(shè)置

由于FLN的輸入權(quán)值和隱藏層閾值在初始化時是隨機給定的，因而FLN模型的預測精度和泛化能力難以保證。為了克服這種缺點，應用AQGWO對FLN的隱藏層閾值和輸入權(quán)值進行尋優(yōu)，以目標函數(shù)適應度值最小為原則，達到最大迭代循環(huán)次數(shù)時結(jié)束循環(huán)，把AQGWO尋得的最優(yōu)隱藏層閾值和輸入權(quán)值代入FLN模型，AQGWO-FLN建立完成。

AQGWO設(shè)置的參數(shù)與前面保持一致。FLN的參數(shù)分別設(shè)成：隱藏層激勵函數(shù)為“sigmoid”；隱藏層節(jié)點數(shù)為42；隱藏層閾值和輸入權(quán)值尋優(yōu)區(qū)間均為[-1,1]。該模型的優(yōu)化目標函數(shù)為最小均方差，函數(shù)定義為：

(25)

式中：f為最小均方差函數(shù);ρi,r為實際NOx排放質(zhì)量濃度；ρi為模型預測所得NOx排放質(zhì)量濃度。

具體的模型優(yōu)化過程如圖4所示。通過大量的仿真實驗，確定該模型的循環(huán)迭代次數(shù)為200。先將120組訓練樣本代入FLN模型，根據(jù)適應度函數(shù)值選取最優(yōu)隱藏層閾值和輸入權(quán)值；再將30組測試樣本輸入FLN模型，得到測試樣本預測值，并與實際值進行對比，以驗證模型的預測能力。

圖4 采用AQGWO優(yōu)化FLN結(jié)構(gòu)參數(shù)的流程圖

4.3 模型仿真結(jié)果及分析

仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。圖5為120組NOx排放質(zhì)量濃度訓練樣本預測值與實際值的對比，發(fā)現(xiàn)除個別組的數(shù)據(jù)外，模型具有較高的擬合度。圖6為30組NOx排放質(zhì)量濃度測試樣本預測值、FLN模型預測值與實際值的對比，發(fā)現(xiàn)AQGWO-FLN模型NOx排放質(zhì)量濃度的預測值比FLN模型更加準確，且與實際值的擬合度非常高，能很好地預測NOx排放質(zhì)量濃度，具有較強的泛化能力。

圖5 訓練樣本預測值與實際值的對比

為了綜合評價各模型預測值與實際值的準確度及預測效果，對均方根誤差(RMSE)、平均絕對誤差(MAE)、平均相對百分比誤差(MAPE)和相關(guān)性系數(shù)(R-square) 這4個性能指標進行對比，同時采用FLN模型、DE-FLN模型、WOA-FLN模型、PSO-FLN模型和GWO-FLN模型對循環(huán)流化床鍋爐的NOx排放質(zhì)量濃度進行預測。各模型輸入?yún)?shù)、輸出參數(shù)和隱藏層節(jié)點個數(shù)的設(shè)置與前面一致，預測結(jié)果如表3和表4所示。

圖6 測試樣本預測值與實際值對比

由表3可知，對于訓練樣本，AQGWO-FLN的RMSE為1.518 2，MAE為1.155 8，MAPE為9.281 7×10-7，R-square為0.996 4，這4項指標均優(yōu)于其他5種模型。因此，對于訓練樣本而言，AQGWO-FLN模型的預測能力和擬合精度均優(yōu)于其他5種模型。

表3 訓練樣本的準確度對比

表4 測試樣本的準確度對比

由表4可以看出，對于測試樣本，AQGWO -FLN模型的RMSE為0.914 0，MAE為0.750 5，MAPE為7.593 6×10-7，R-square為0.999 2，這4項指標均優(yōu)于其他5種模型，尤其MAPE模型比其他5種模型小2個數(shù)量級。因此，對于測試樣本而言，AQGWO-FLN模型的泛化能力和模型預測精度均優(yōu)于其他5種模型。結(jié)合表3和表4可知，雖然其他5種模型也能對訓練樣本進行很好地預測，但對測試樣本的預測效果均沒有AQGWO-FLN模型好。

各模型對測試樣本的預測誤差如圖7所示。與其他5種模型相比，AQGWO-FLN模型預測NOx排放質(zhì)量濃度的誤差曲線較平穩(wěn)，波動較小，最大誤差也比其他模型小，這說明AQGWO -FLN模型的預測結(jié)果更準確。

圖7 測試樣本的預測誤差對比

5 結(jié) 論

(1)采用量子位Bloch坐標編碼初始化群體位置，迭代后期增加了變異算子和慣性權(quán)重，對原始灰狼算法進行改進。為了驗證AQGWO的性能，采用8個經(jīng)典的測試集函數(shù)對該算法進行了性能測試，并與基本GWO、WOA、DE、PSO進行了比較。結(jié)果表明，AQGWO模型收斂速度更快，收斂精度也更高。

(2)以某火電廠300 MW循環(huán)流化床鍋爐為研究對象，利用改進的AQGWO-FLN模型建立了循環(huán)流化床鍋爐NOx排放特性預測模型，利用得到的預測結(jié)果與FLN、PSO-FLN、DE-FLN、WOA-FLN模型和GWO-FLN模型的預測結(jié)果進行比較。結(jié)果表明，AQGWO-FLN模型可以更準確有效地預測NOx排放質(zhì)量濃度，其預測精度、泛化能力均強于其他5種算法，為電站鍋爐預測NOx排放提供了一種新的高效方法。

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