單跑道混合起降飛機排序問題的優(yōu)化算法研究

馬衛(wèi)民,楊文娟,徐 博

(1.同濟大學經(jīng)濟與管理學院,上海200092;2.上海理工大學管理學院,上海200093)

1 引 言

隨著民航產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展,空中交通流量顯著增加.機場跑道作為進離港交通流量的瓶頸,其擁堵現(xiàn)象也越來越嚴重.研究終端區(qū)到達和起飛飛機的合理排序,能夠有效提高跑道容量及其利用率,從而改善跑道擁堵現(xiàn)象,并極大提高航空運輸系統(tǒng)的運行效率.

傳統(tǒng)的研究多將起飛和著陸飛機排序看作獨立的過程.對于起飛飛機排序問題,Trivizas[1]較早的用動態(tài)規(guī)劃的方法對其進行求解.隨后,Anagnostakis等[2]對起飛飛機排序問題進行分析并提出兩階段起飛計劃.在國內(nèi),王來軍等[3]用遺傳算法對離港航班進行了調(diào)度優(yōu)化.相對于起飛飛機排序問題,更多的學者致力于著陸飛機排序問題的研究,并提出了很多優(yōu)化方法.其中,Dear等[4]較早的用受限位移約束策略(CPS)研究了靜態(tài)飛機著陸排序問題.隨后,許多學者在CPS策略下設計不同的算法,并取得不錯的研究成果[5,6].此外,為提高求解效率,各類啟發(fā)式算法也相繼被用來求解飛機著陸調(diào)度問題[7,8].其中,用蟻群算法求解飛機著陸調(diào)度問題已取得了較為成熟的結(jié)果.蟻群算法由意大利學者Dorigo[9]提出,是一種高效的啟發(fā)式算法,且被廣泛應用于求解各類優(yōu)化問題[10,11].Randall[12]第一次將蟻群算法應用于飛機著陸調(diào)度問題的求解.隨后,Bencheikh等[13]利用蟻群算法去生成最初的解來處理單跑道和多跑道的飛機調(diào)度問題.較近的研究成果是Zhan等[14]結(jié)合滾動時域控制原理用蟻群算法研究了機場實時跑道調(diào)度問題.

以上的研究均是單獨考慮起飛或著陸飛機排序問題.然而,近年來,為了進一步提高跑道利用率,越來越多的機場采用混合起降跑道.但關(guān)于混合起降飛機排序的研究成果則相對較少.在國外,主要有Ghoniem等[15]建立關(guān)于起降飛機排序問題的加強型模型,并用分支定界算法求解.Hancerliogullari等[16]將多跑道混合起降飛機排序問題看成具有不同準備時間、目標時間和截止時間的平行機調(diào)度問題,并提出求解該問題的貪婪算法和啟發(fā)式算法.在國內(nèi),胡俊等[17]以最大航班流量為決策目標,建立了進離港航班容量模型,采用離散時間混合排隊算法求解.但上述研究均未考慮到在混合起降隊列中,著陸飛機延誤所帶來的損失遠遠大于起飛飛機,即并未給與著陸飛機一定的優(yōu)先性.

鑒于上述分析,本文提出兩種基于著陸優(yōu)先的兩階段算法(TPLP算法和M-TPLP算法)來解決單跑道混合起降飛機排序問題.首先,研究混合起降飛機排序問題,能夠進一步節(jié)約跑道資源并提高其利用率;其次,考慮到著陸隊列延誤所帶來的損失遠遠大于起飛隊列,TPLP算法和M-TPLP算法均給與了著陸隊列一定的優(yōu)先性,這在一定程度上能夠為實際的空中交通流量管理提供理論依據(jù).再次,本文考慮了起飛—起飛、起飛—著陸、著陸—起飛、著陸—著陸四種時間間隔,更為全面的設置了起降飛機排序問題的約束條件,使調(diào)度更加符合實際.文章最后通過仿真實驗驗證了本文所提出的兩種算法能夠在確保著陸優(yōu)先性的前提下,有效減少起降隊列的隊列完成時間,從而能夠在一定程度上提高跑道的運行效率,減少跑道擁堵現(xiàn)象.

2 單跑道起降飛機排序問題模型

2.1 起降飛機排序模型

飛機排序問題是指對于給定的著陸/起飛飛機,怎樣排序使隊列完成時間(makespan)最小,也就是最后一架飛機的著陸/起飛時間最小.本文提出著陸優(yōu)先的兩階段起降飛機排序模型.即在第一階段對著陸飛機進行排序,并給出排序后每架飛機的著陸時間.在第二階段，通過插入算法,將起飛隊列插入到著陸隊列中,使得插入后的隊列仍滿足最小時間間隔,并計算每架飛機的起飛時間.

值得注意的是,在混合起降隊列中,任意一架著陸與起飛飛機之間的最小時間間隔S(最大值為40,其中,著陸飛機在前)小于任意兩架起飛飛機之間的S(最小值為60)(見表1).故對于任意的著陸飛機i后緊隨兩架起飛飛機(j和k)的情形,必有Si,k＜Sj,k,且Ti＜Tj,其中Si,k為飛機i和k的最小時間間隔(i在前,k在后),T為調(diào)度后的著陸/起飛時間.因此不等式Ti+Si,k＜Tj+Sj,k恒成立,即若起飛飛機的緊前飛機為著陸飛機,則不僅需要考慮與該架著陸飛機的最小時間間隔,亦需要考慮與其不相鄰的前一架起飛飛機的最小時間間隔;若起飛飛機的緊前飛機為起飛飛機,則只需考慮與其緊前飛機的最小時間間隔.

混合起降飛機排序的具體模型描述如下.

假設有n架飛機等待著陸或起飛,其中包括n1架著陸飛機和n2架起飛飛機.首先將其分離為著陸隊列和起飛隊列,且均按照最早著陸/起飛時間的先后進行排序(FCFS).

對于著陸隊列,用蟻群算法進行排序.假設調(diào)度后的著陸飛機排序隊列為ψ,令ψi為隊列中的第i架著陸飛機,ATψi為飛機ψi的調(diào)度后著陸時間,它可以由下式得出,即

其中Eψi為飛機ψi的最早著陸時間,Sψi-1,ψi為飛機ψi-1與ψi的最小時間間隔,其主要由飛機ψi-1與ψi的類型決定.

對于起飛隊列,按最早開始時間的先后排序,記為序列ξ.令ξj為隊列ξ中的第j架起飛飛機,DTξj為飛機ξj的調(diào)度后起飛時間.存在以下幾種情況.

1)若起飛飛機ξ1,ξ2,...,ξm1在飛機ψ1之前起飛,則有

2)若飛機ξk,ξk+1,...,ξk+m2在飛機ψi和飛機ψi+1之間起飛,則有

3)若飛機ξγ,ξγ+1,...,ξn2在飛機ψn1之后起飛,其中ψn1為著陸隊列ψ中的最后一架飛機,ξn2為起飛隊列ξ中的最后一架飛機,則有

若最后一架起飛飛機ξn2在飛機ψn1之前起飛,則整個起降飛機的隊列完成時間為ATψn1;若飛機ξn2在飛機ψn1之后起飛,則起降飛機的隊列完成時間為DTξn2.因此混合起降飛機的隊列完成時間為

故混合起降飛機排序問題的優(yōu)化目標即為尋找一個最優(yōu)隊列,使隊列完成時間最小,即

2.2 起降飛機排序問題滿足的約束條件

1)時間窗約束

時間窗約束即為對于任一架飛機i,其調(diào)度后的著陸/起飛時間必須在[Ei,Li]之間,這使得起降飛機排序問題更加符合實際.具體來說,對于著陸飛機ψi和起飛飛機ξj分別有

2)最小時間間隔約束

為飛機制定最小時間間隔是為了避免飛機產(chǎn)生的尾渦流對后機的影響,由于不同類型的飛機產(chǎn)生和抵抗尾渦流的能力不同,因此需要根據(jù)飛機類型制定最小時間間隔約束(如表1所示).需要注意的是,對于分離的著陸飛機隊列或者起飛飛機隊列,任意三架飛機的最小時間間隔滿足三角不等式約束,即Si,k+Sk,j＞Si,j.但對于混合起降飛機隊列,則不一定滿足三角不等式.如一架H型起飛飛機(HD)前一架和后一架相鄰飛機均為H型著陸飛機(HA).該H型起飛飛機與在其之前的H型著陸飛機所應該滿足的時間間隔為40s,與之后的H型著陸飛機應該滿足的時間間隔為50s,而兩架H型著陸飛機應該滿足的時間間隔為99s.易知,40+50＜99,故不滿足三角不等式約束.因此,對于每架飛機,不僅要考慮其與相鄰的前一架飛機的最小時間間隔,也考慮與其不相鄰的前一架運行方式相同(著陸/起飛)的飛機的最小時間間隔.

表1 起降飛機尾渦流間隔標準(s)[16]Table 1 Minimize separation times(seconds)

3)最大移動位置約束(MPS)

對于著陸飛機的調(diào)度,本文考慮MPS約束,即每架飛機在調(diào)度時相對于其在FCFS中的位置最多向前或向后偏移MPS個位置.MPS約束在一定程度上確保了調(diào)度的公平性.

3 著陸優(yōu)先的兩階段算法設計

為解決混合起降飛機的調(diào)度問題,本文提出兩種著陸優(yōu)先的兩階段算法,即TPLP算法和M-TPLP算法.具體設計思路如下.

在第一階段,該兩種算法均是將著陸飛機與起飛飛機分離,并首先對著陸隊列進行排序,這主要是考慮到著陸隊列整體的優(yōu)先性.對于著陸隊列,考慮最小時間間隔、時間窗、MPS等約束,用蟻群算法進行排序,得出最優(yōu)或近似最優(yōu)的著陸隊列以及每架著陸飛機的實際著陸時間.在第二階段,TPLP算法以不改變已安排的著陸飛機次序以及著陸時間為原則,將起飛飛機按照FCFS順序依次插入到已排的著陸隊列中.M-TPLP算法引入比較參數(shù)M,若將一架起飛飛機插入兩架相鄰的著陸飛機時,引起后一架著陸飛機后移的時間小于等于M,則將該起飛飛機插入這兩架著陸飛機中,并調(diào)整其后的所有著陸飛機的著陸時間.TPLP和M-TPLP算法在不同程度上確保了著陸飛機的優(yōu)先性,可以較好的應用于現(xiàn)實的空中交通管理系統(tǒng)中.

3.1 著陸飛機的排序算法—蟻群算法

對于著陸飛機的排序問題,本文用蟻群算法進行求解.首先按最早著陸時間的先后對著陸飛機進行排序,依次標記為1,2,...,n1.考慮到MPS約束,算法開始時首先列出在調(diào)度過程中每個位置所能安排的飛機集.其中,位置P上可能安排的飛機集為Λ(P)={x|max(1,P-MPS)≤x≤min(P+MPS,n1),x為正整數(shù)}.如本文考慮MPS=2,n1=6,則位置2可能安排的飛機集為{1,2,3,4}.參考文獻[14],蟻群算法的具體描述如下.

步驟1初始化.令迭代次數(shù)gen=0,設定最大的迭代次數(shù)NG-max,螞蟻總數(shù)m,取定參數(shù)α,β,ρ.令各待著陸飛機(i,j)之間的初始信息素為τij=1,且初始時刻Δτij=0;初始隊列完成時間充分大.禁忌表Tabum表示螞蟻m所對應的飛機排序組合,且初始時Tabum=?.

步驟2讓m只螞蟻分別在Λ(1)中隨機選擇一架飛機作為待著陸飛機,并將其移入每只螞蟻對應的禁忌表中.按照每個位置可能的飛機分配和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率公式(9)選擇下一個位置的待著陸飛機.

其中ηij為啟發(fā)信息,是指在安排飛機i著陸后直接安排飛機j著陸的期望度,本文取ηij=1/Si,j.allowedm為螞蟻m下一步允許選擇的飛機集合;α為信息素重要程度參數(shù);β為啟發(fā)信息重要程度參數(shù);p為0到1之間的隨機數(shù).隨機數(shù)p的引入可以避免過早陷入局部最優(yōu)解.

由上文知,當螞蟻進入位置P,P＞MPS時,allowedm={x|x∈Λ(P),且Tabum}.檢查飛機(P-MPS)是否已被訪問.若(P-MPS)∈allowedm,即飛機(P-MPS)未被訪問,則在位置P直接訪問該飛機;否則,依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率公式(9)選擇該位置的待著陸飛機,并將該飛機移入禁忌表Tabum中,然后進入下一位置的飛機選擇.

步驟3檢查每只螞蟻的Tabu,即為一個飛機排序組合,并按公式(1)計算該組合中每架飛機的著陸時間,從而得出每只螞蟻所選擇序列的隊列完成時間(makespan).找出本次循環(huán)中最小的makespan,記為ATmin,對應的飛機排序組合為Tabumin.若ATmin＜ATmax,則ATmin=ATmax,否則ATmax不變.

步驟4更新信息素.

選擇信息素蟻群同步更新方式,即在m只螞蟻完成各自的飛機排序后,對信息素統(tǒng)一進行更新.令τij(n)為第n次循環(huán)后的信息素量,則

其中ρ∈(0,1)為信息素揮發(fā)系數(shù);為第k只螞蟻在本次循環(huán)中留在路徑i→j上的信息素增量.根據(jù)Dorigo的Ant-Cycle模型,可得

其中Q為信息素強度,為常數(shù),在算法初始化時設定;ATmin表示m只螞蟻在本次循環(huán)中所得到的最小的隊列完成時間(makespan),這種更新方法可以保證信息素不至于無限積累.

步驟5gen←gen+1,如果gen＜NGmax,清空禁忌表,轉(zhuǎn)步驟2;否則循環(huán)結(jié)束,輸出計算結(jié)果.

3.2 起飛飛機的排序算法—插入算法

假設3.1中第一階段優(yōu)化后的著陸隊列為ψ,令ψi為隊列ψ中的第i架著陸飛機(i=1,2,...,n1),ATψi為飛機ψi的已排著陸時間.對于余下的起飛飛機,按照最早起飛時間的先后順序進行排序,記為序列ξ.令ξj為隊列ξ中的第j架起飛飛機(j=1,2,...,n2),Eξj和Lξj分別為飛機ξj的最早起飛時間和最遲起飛時間.

初始時,令待安排起飛飛機集合為U={ξ1,ξ2,...,ξn2},已排好的起飛飛機集合為I= ?.下面分別介紹TPLP算法和M-TPLP算法的第二階段的求解算法.

1)TPLP算法—不改變已排著陸飛機的著陸時間

步驟1選出可以在第一架著陸飛機ψ1之前起飛的飛機.

(a)依次比較各起飛飛機的最早起飛時間Eξj與ATψ1的大小,記Eξj小于ATψ1的飛機集合為Θψ1.

(b)若Θψ1為空集,即各起飛飛機的最早起飛時間均大于ATψ1,則無法在飛機ψ1之前安排起飛飛機,直接轉(zhuǎn)入步驟2.否則,按式(2)計算相應的起飛時間DTξj(ξj∈Θψ1).

(c)依次判斷DTξj與ATψ1是否滿足最小時間間隔約束.若滿足,則放入已排起飛飛機集合I中,否則,轉(zhuǎn)步驟2.

步驟2在未安排的起飛隊列U中依次選擇能放入著陸飛機ψi與ψi+1之間的起飛飛機(i=1,2,...,n1-1).

(a)首先,令i=1.

(b)對于著陸飛機ψi與ψi+1之間.在未安排的起飛隊列U中,依次選擇最早起飛時間小于ATψi+1的起飛飛機,記最早起飛時間小于ATψi+1的飛機集合為Θψi+1.

(c)若Θψi+1為空集,令i←i+1,轉(zhuǎn)入步驟(b);否則,按照公式(3)計算DTξj(ξj∈Θψi+1).

(d)依次判斷DTξj與ATψi+1是否滿足最小時間間隔約束.若滿足,則放入已排起飛飛機集合I中;若不滿足,亦令i←i+1,轉(zhuǎn)入步驟(b).依次類推,直至完成能在飛機ψn1之前起飛的飛機隊列的排序.

步驟3選擇在飛機ψn1之后起飛的飛機,并計算起降隊列完成時間.

(a)若在步驟2之后,U=?,則完成調(diào)度,且起降飛機的隊列完成時間T=ATψn1.

(b)若?,對于余下的未安排飛機,按照公式(4)計算相應的DTξ(j).至此,完成所有起降飛機的排序,且起降飛機的隊列完成時間T=DTξn2.

2)M-TPLP算法—允許改變已排著陸飛機的著陸時間

M-TPLP算法是對TPLP算法的改進,引入比較參數(shù)M來控制著陸飛機的已安排著陸時間所允許變化的范圍.其主要的設計思路如下.

在已安排著陸飛機ψi與ψi+1之間,令集合R表示最早起飛時間早于ATψi+1但與飛機ψi+1并不滿足最小時間間隔約束的集合.假設起飛飛機ξk為R中的第一架飛機,上述的TPLP算法是直接進入ψi+1與ψi+2之間的起飛飛機的選擇.而M-TPLP算法是設置比較參數(shù)M,若DTξk+Sξk,ψi+1-ATψi+1≤M.也就是說,插入飛機ξk所引起后一架著陸飛機的后移時間小于等于M,則可以將飛機ξk放入ψi與ψi+1之間,并將飛機ψi+1至最后一架著陸飛機的已排著陸時間均后移Δt,其中Δt=DTξk+Sξk,ψi+1-ATψi+1.M-TPLP算法從一定程度上改善了將大量的起飛飛機后移的情形,使調(diào)度更具有靈活性.具體的步驟如下.

步驟1選出可以在第一架著陸飛機ψ1之前起飛的飛機.其中,步驟(a)和(b)同TPLP算法步驟1中的(a)和(b).

(c)依次判斷DTξj與ATψ1是否滿足最小時間間隔約束.若滿足,則放入已排起飛飛機集合I中,并轉(zhuǎn)入步驟2;否則,記不滿足約束的飛機集合為Rψ1,易知,Rψ1={ξj|Eψj＜ATψ1且DTξj+Sξj,ψ1＞ATψ1}.

(d)判斷若將Rψ1中的第一架飛機安排在飛機ψ1之前,所引起飛機ψ1后移的時間與參數(shù)M的大小關(guān)系.若小于等于M,則將其安排在飛機ψ1之前,即移入集合I中,并轉(zhuǎn)入步驟2;否則,直接轉(zhuǎn)入步驟2.

步驟2在未安排的起飛隊列U中依次選擇能放入著陸飛機ψi與ψi+1之間的起飛飛機(i=1,2,...,n1-1).其中,步驟(a)到(c)同TPLP算法步驟2中的(a)到(c).

(d)依次判斷DTξj與ATψi+1是否滿足最小時間間隔約束.若滿足,則放入已排起飛飛機集合I中;否則,記不滿足約束的飛機集合為Rψi+1,其中,Rψi+1={ξj|Eψj＜ATψi+1且DTξj+Sξj,ψi+1＞ATψi+1}.

(e)判斷若將Rψi+1中的第一架飛機安排在飛機ψi+1之前,所引起飛機ψi+1后移的時間與參數(shù)M的大小關(guān)系.若小于等于M,則將其安排在飛機ψi+1之前,即移入集合I中,并令i←i+1,轉(zhuǎn)入步驟(b);否則,直接令i←i+1,轉(zhuǎn)入步驟(b).依次類推,直至完成能在飛機ψn1之前起飛的飛機隊列的排序.

步驟3同TPLP算法的步驟3.

4 算例仿真

為更好的對上述算法進行解釋,本文首先給出一個具體的算例,如圖1所示.給定10架待排序飛機,其中包括5架起飛飛機和5架著陸飛機,并給出各架飛機的最早起飛和著陸時間,如圖1(a)所示.其中,每個箭線分別代表一架飛機,箭頭向下(上)代表起飛(著陸)飛機,其上方(下方)的標注分別代表在初始隊列中的順序、最早開始時間以及飛機種類.如第二條向下的箭線III,表示起降隊列中的第3架飛機,其最早起飛時間為254,飛機種類為HD.

若用FCFS算法進行排序,則只需令各架飛機之間滿足最小時間間隔約束.可以得出圖1(b)所示計算結(jié)果.

下面介紹TPLP算法和M-TPLP算法的求解過程.首先,將著陸隊列單獨列出,并先用蟻群算法進行排序.可得出圖1(c)所示結(jié)果.

對于TPLP算法,首先選擇可以在著陸飛機II之前起飛的飛機.易知,飛機II的著陸時間為95,而最早起飛時間小于95的僅有飛機I,則判斷能否將飛機I安排在飛機II之前起飛.飛機I的最早起飛時間EII=86,但飛機I與飛機II之間的最小時間間隔SI,I=53(表1中HD和LA的最小時間間隔為53,其中HD在前,LA在后).顯然,不滿足最小時間間隔約束,無法安排在飛機II之前起飛.

再次,選擇可以在飛機II和V之間起飛的飛機.易知,飛機I、III和IV的最早起飛時間小于飛機V的著陸時間(476),則依次判斷這3架能否安排在飛機V之前.對于飛機I,首先假設將其安排在II和V之間,則其起飛時間DTI=max{86,95+35}=130,其中35為飛機II和飛機I的最小時間間隔.再判斷飛機I和飛機V能否滿足最小時間間隔約束.易知,SI,V=65,且130+65＜476,故可以將I放在II和V之間起飛;對于飛機III,亦先假設將其放在I和V之間,則有DTII=max{254,130+60}=254,且SIII,V=65.因此有DTII+SIII,V=254+65=319＜476,故可以將飛機III安排在飛機I之后.以此類推,直至將所有的起飛飛機都安排完.可以得到如圖1(d)所示結(jié)果.

對于M-TPLP算法,設定參數(shù)M=20,對于起飛飛機I、III和IV的安排同TPLP算法.由于飛機IX的最早開始時間大于飛機VIII的著陸時間(576＞575),故直接進入飛機VIII和VI中起飛飛機的選擇.易知,飛機IX和X的最早起飛時間均小于飛機VI的著陸時間.對于飛機IX,假設將其安排在飛機VIII之后,則有DTIX=max{576,575+30}=605.又SIX,VI=50,有DTIX+SIX,VI=605+50=655＞649,但由于655-649=6＜20=M,故允許將其放入飛機VIII和VI之間,同時將飛機VI和VII后移6,即ATVI變?yōu)?55,ATVII變?yōu)?54.然后進入飛機VI和VII之間的選擇.直至安排完

圖1 算例分析Fig.1 Analysis of an example

進一步,為檢驗TPLP算法和M-TPLP算法的有效性,本文將該兩種算法與FCFS算法相比較.考慮到起降飛機需要滿足的最小時間間隔與分離的著陸或起飛調(diào)度相比更為復雜,本文參照文獻[16]對傳統(tǒng)的FCFS算法進行改進.假設有n架飛機等待起飛/著陸,按照最早開始時間的先后分別標注為1,2,...,n,則隊列完成時間計算如下：

其中Ei為飛機i的最早開始時間,Si,j為飛機(i,j)的最小時間間隔.Ti為飛機i排序后的實際著陸/起飛時間.

表2 FCFS、TPLP算法和M-TPLP算法得到的排序結(jié)果Table 2 Computational results for FCFS,TPLP and M-TPLP

4.1 初始數(shù)據(jù)的生成與蟻群算法參數(shù)的選取

數(shù)據(jù)生成方面,本文參考文獻[16].用1,2,3,4,5,6分別代表H型著陸飛機、L型著陸飛機、S型著陸飛機、H型起飛飛機、L型起飛飛機和S型起飛飛機,6種類型的飛機隨機產(chǎn)生,起飛飛機和著陸飛機的數(shù)量各占50%,且H型、L型、S型的飛機分別占50%、30%、20%.最早開始時間Ei隨機產(chǎn)生,且服從[0,65n]區(qū)間上的離散均勻分布.最晚開始時間設定為最早開始時間之后的60 min.此外,第一階段蟻群算法選取的參數(shù)分別為α=1;β=5;ρ=0.1;Q=100;m=150;NCmax=100.

4.2 實驗結(jié)果分析

表2列出了40架起降飛機在FCFS算法、TPLP算法和M-TPLP算法計算下所得到的排序結(jié)果(其中,令M=20).易知,FCFS得到的隊列完成時間(makespan)為2 934s,TPLP算法得到的makespan為2 587s,M-TPLP算法得到的makespan為2 510s.即TPLP算法和M-TPLP算法求解的makespan與FCFS算法相比分別減少了11.83%和14.45%.說明這兩種算法對于減少起降飛機的隊列完成時間、提高跑道利用率具有較高的求解質(zhì)量.

為進一步驗證表2中求解結(jié)果的有效性,本文對表2中的初始數(shù)據(jù)進行了50次測算,并給出最差解、最優(yōu)解和平均值,如表3所示.可以看出,經(jīng)過多次測試,TPLP算法求得的平均解為2 648s,M-TPLP算法求得的平均解為2 542s.相比較FCFS算法,隊列完成時間分別減少了9.75%和13.36%,且該兩種算法均在12s內(nèi)完成了40架起降飛機的排序.從而進一步驗證了上述結(jié)論的正確性.

為了驗證該算法在求解規(guī)模較大(起降飛機數(shù)量較多)時仍具有較好的求解效果,本文以20為步距,選取10組起降飛機序列(20架～200架飛機),并與FCFS算法進行比較.如表4所示,TPLP算法求解的隊列完成時間相比較FCFS算法減少了5%～13%,M-TPLP算法求解的隊列完成時間減少了10%～17%,且均在60s完成了200架起降飛機的計算.可見,大量的數(shù)值模擬試驗仍表明該算法能夠較為有效的減少混合起降飛機的隊列完成時間,從而在一定程度上提高跑道的運行效率.

此外,作者對參數(shù)M的選取也進行了多次測試.圖2分別表示當飛機數(shù)目n=80和n=160,M取10～100時(間距為10)的三次實驗結(jié)果.可以看出,當取20～40時,M-TPLP算法取得的結(jié)果更優(yōu).故本文中M-TPLP算法的多次實驗均令參數(shù)M=20.

表3 算例中TPLP算法和M-TPLP算法的求解效果Table 3 Solution quality of TPLP and M-TPLP

表4 FCFS、TPLP算法和M-TPLP算法的隊列完成時間的比較Table 4 Comparisons between FCFS,TPLP and M-TPLP

圖2 M-TPLP算法中參數(shù)M的影響Fig.2 Inf l uence of the parameters M on M-TPLP

5 結(jié)束語

本文為提高機場跑道的利用率和運行效率,對單跑道混合起降飛機的排序問題進行了研究.首先,建立基于著陸優(yōu)先的起降飛機排序模型.該模型考慮了著陸隊列的優(yōu)先性以及混合起降隊列的最小時間間隔的復雜性,并設置更加全面的約束條件.其次,考慮到現(xiàn)實空管中著陸飛機延誤所帶來的損失遠遠大于起飛飛機,本文提出兩種著陸優(yōu)先的兩階段算法,即TPLP算法和M-TPLP算法.該兩種算法給與了著陸飛機不同的優(yōu)先性,使調(diào)度更加符合現(xiàn)實空管的要求.最后,通過大量的仿真實驗驗證本文所提出的算法能有效的減少混合起降飛機的隊列完成時間,從而能夠在一定程度上提高機場跑道的運行效率.

參考文獻:

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