田雪虹，劉煥牢，劉海濤

（廣東海洋大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，廣東 湛江524088）

0 引言

隨著用戶對(duì)機(jī)器人的要求越來(lái)越高，傳統(tǒng)的PID控制已無(wú)法滿足要求，許多非線性控制方法得到越來(lái)越多的重視，如自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、迭代學(xué)習(xí)控制、反步控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等等。這些控制方法各有優(yōu)勢(shì)，也存在不足，在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性。本文是針對(duì)高性能的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)，其控制要求是高速、強(qiáng)魯棒性和高抗干擾力，而以上方法難于滿足性能要求。

有些研究表明系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定比漸近穩(wěn)定具有更好的控制精度和抗擾動(dòng)性能[1]，因而得到研究者的密切關(guān)注，常見(jiàn)的有限時(shí)間控制方法有時(shí)間最優(yōu)控制[2-3]、終端滑?？刂芠4-5]、齊次性方法[6]等。終端滑模控制是通過(guò)設(shè)計(jì)一種動(dòng)態(tài)非線性滑模面方程實(shí)現(xiàn)的，并使得滑模面誤差能夠在有限時(shí)間能收斂到零[7-8]。因此，該控制方法在很多系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)中被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[9-10]考慮集群航天器電磁編隊(duì)系統(tǒng)的強(qiáng)非線性特性，結(jié)合非奇異終端滑模理論，提出了一種有限時(shí)間穩(wěn)定性控制方法。文獻(xiàn)[11]提出了一類自適應(yīng)終端滑模有限時(shí)間控制方法顯式地引入輸出的飽和幅值，確保閉環(huán)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂到滑模面的鄰域內(nèi)。但是傳統(tǒng)的終端滑?？刂拼嬖谇袚Q特性，容易使系統(tǒng)產(chǎn)生“抖振”現(xiàn)象。為解決“抖振”問(wèn)題，張碧陶等[12]將分?jǐn)?shù)階理論引入到滑模面中，從而有效的削減了抖振。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[13]將分?jǐn)?shù)階理論與模糊邏輯相結(jié)合，提出了基于模糊分?jǐn)?shù)階的滑模控制策略，同樣能有效地削減抖振，并且能保持滑模控制器對(duì)系統(tǒng)外部擾動(dòng)的全局魯棒性。文獻(xiàn)[14]針對(duì)機(jī)器人實(shí)際存在的不確定性問(wèn)題，提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階滑?？刂品椒ǎ捎肂P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近機(jī)器人的逆動(dòng)力學(xué)方程并進(jìn)行補(bǔ)償，因而具有良好的魯棒性。但是以上方法無(wú)法獲得閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性?；诖?，本文為進(jìn)一步提高機(jī)器人的控制性能，將分?jǐn)?shù)階理論推廣至終端滑?？刂评碚?，從而保證系統(tǒng)在有限時(shí)間收斂的同時(shí)能夠消減抖振。

1 問(wèn)題的描述

考慮具有n自由度的多輸入多輸出的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)：

其中 q，q˙，q¨∈Rn分別是關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度向量，M（q）∈Rn×n為對(duì)稱正定的慣性矩陣，C（q，q˙）∈Rn×n是哥氏力和向心力矩陣，G（q）∈Rn是重力項(xiàng)，τ∈Rn為各關(guān)節(jié)的控制力矩。

實(shí)際上很難甚至不可能精確獲得模型（1）的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，因此基于動(dòng)力學(xué)的控制方法需要考慮這些參數(shù)不確定性對(duì)機(jī)器人性能的影響。為此，本文將機(jī)器人的實(shí)際參數(shù)表達(dá)為如下形式

其中 M0，C0，G0為估計(jì)參數(shù)，△M，△C，△G 為參數(shù)的未知部分。則機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程（1）可表達(dá)為

其中，

ρ（q¨）∈Rn稱為機(jī)器人參數(shù)的不確定性函數(shù)。

假設(shè)1.不確定性函數(shù)滿足：

其中ε＞0，由于機(jī)器人的關(guān)節(jié)加速度是有上限的，因而假設(shè)1是符合實(shí)際的。

2 分?jǐn)?shù)階終端滑模控制

考慮一類帶不確定性的二階非線性系統(tǒng)：

其中x=[x1，x2]T，非線性函數(shù)f（x）和g（x）≠0是平滑的，d（x）為未知不確定函數(shù)，滿足‖d（x）‖≤dˉ，dˉ＞0.

為了消除“抖振”，本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階理論的終端滑模方法，即選擇如下滑模面：

采用基于分?jǐn)?shù)階的滑模面，本文得到如下定理：

定理 1針對(duì)系統(tǒng)（6），若選擇滑模面（7），將控制器設(shè)計(jì)為：

式中k＞d＞0，則系統(tǒng)狀態(tài)能在有限的時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到TSM滑模面。

證明：

對(duì)滑模面（7）求導(dǎo)可得

選擇如下Lyapunov函數(shù)

對(duì)上式求導(dǎo)可得

將控制器（9）代入上式得

因此，由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)狀態(tài)能在有限的時(shí)間內(nèi)T到達(dá)滑模面。

為證明沿著滑模面的系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間也是有限的，文獻(xiàn)[14]得到如下引理：

引理1[14]假設(shè)連續(xù)正定函數(shù)V（t）滿足微分不等式

式中μ＞0，0＜η＜1均為常數(shù)。則V（t）滿足不等式

V（t）≤V1-η（0）-μ（1-η）t 0≤t≤tr1（15）

并且 V（t）=0，?t≤ tr1，有限時(shí)間

在終端滑模s（t）=0上。由引理1可證明到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間也是有限的。

即由 s（t）=0 可得

定義Lyapunov函數(shù)為

V沿滑模面對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有

其中 μ =2(1+λ)/2α，0 ＜ η =（1+ λ）/2 ＜ 1.由引理1 可知，當(dāng) t≥ tr1時(shí)，有 x1=0，且

說(shuō)明：式（9）中的符號(hào)函數(shù) sgn（s）也會(huì)造成“抖振”現(xiàn)象，故本文采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的濾波特性來(lái)抑制“抖振”，即將 sgn（s）修正為：

證明：當(dāng)采用分?jǐn)?shù)階控制律時(shí)，可選擇如下Lyanpunov函數(shù)

對(duì)上式求導(dǎo)可得：

因此設(shè)計(jì)控制器為

其中d^＞d＞0.則恒有V˙≤ 0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)能在有限的時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到切換面.故得到以下定理：

定理 2針對(duì)系統(tǒng)（6），若設(shè)計(jì)滑模面為式（7），有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)為式（24），則系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)TSM滑模面的時(shí)間是有限的。

3 基于分?jǐn)?shù)階的機(jī)器人終端滑?？刂?/h2>

工業(yè)機(jī)器人有限時(shí)間軌跡跟蹤控制的目的就是使機(jī)器人的關(guān)節(jié)q能有效地跟蹤期望的qd，且使跟蹤誤差 e 收斂至零的時(shí)間是有限的，其中 e（t），e˙（t）∈Rn分別定義為 x1=e=q-qd，x2=e˙=q˙-q˙d則機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型（3）可表達(dá)為：

若采用同式（7）的滑模面，則有以下定理。

定理2 針對(duì)系統(tǒng)（20），若選擇滑模面（7），且將控制器設(shè)計(jì)為：

證明類似于定理2，略。

4 仿真

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，本文對(duì)如圖1所示的高速二自由度機(jī)器人進(jìn)行仿真，其動(dòng)力學(xué)方程為

其中

m11=p1+p2+2p3cosq2-2p4sinq2

m12=p2+p3cosq2-p4sinq2

m22=p2

b=p3sinq2+p4cosq2

p1，p2，p3和 p4為機(jī)器人的最小慣性參數(shù)，d1=0.5sint，d2=0.5cost為機(jī)器人的外界干擾；機(jī)器人的實(shí)際參數(shù)值為：p1=0.049 8 kg·m2，p2=0.003 6 kg·m2，p3= －0.001 5 kg·m2，p4=0.008 1 kg·m2；而其估計(jì)參數(shù)值為：p1=0.038 6 kg·m2，p2=0.019 24 kg·m2，p3= －0.000 45 kg·m2，p4=0.004 923 kg·m2. 機(jī)器人的期望軌跡為qd1=sin2t，qd2=sin2t.系統(tǒng)的初始狀態(tài)為q1（0）=0.2 rad，q2（0）=0.2 rad，q˙1（0）＝0 rad/s，和q˙2（0）＝0 rad/s.控制器的控制參數(shù)為：α=diag（25，25，25），β =diag（20，20，20），w=diag（30，30，30），r=0.8，λ =0.8.

圖1 兩自由度平面機(jī)器人

仿真結(jié)果如圖2、圖3所示，由圖2可以看出這些關(guān)節(jié)的響應(yīng)時(shí)間在1 s左右，且各關(guān)節(jié)的位置跟蹤誤差為0.05 rad，容易得出，本文提出的算法具有較高的跟蹤精度、較快的瞬態(tài)特性和較強(qiáng)的魯棒性。由圖3可以看出，各軸的控制量相對(duì)平滑，也不存在抖振現(xiàn)象。

圖2 機(jī)器人的跟蹤誤差

圖3 各關(guān)節(jié)的控制輸入量

5 結(jié)論

本文針對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階終端滑?？刂葡到y(tǒng)的抖振問(wèn)題，提出了分?jǐn)?shù)階的終端滑?？刂扑惴?。通過(guò)采用分?jǐn)?shù)階的切換流形來(lái)抑制抖振，再結(jié)合終端滑?？刂频挠邢迺r(shí)間收斂特性，從而保證機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)具有較高的跟蹤精度、較快的瞬態(tài)特性和較強(qiáng)的魯棒性。仿真結(jié)果表明，本文提出的控制方法是有效的、可行的。

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