解讀特殊四邊形的特殊考點(diǎn)

考點(diǎn)一：平行四邊形的性質(zhì)與判定

例1 如圖1，將?ABCD的AD邊延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使DE=[12]AD，連接CE，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連接FD.

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的長(zhǎng).

【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵DE=[12]AD，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，

∴DE=FC，DE∥FC，

∴四邊形CEDF是平行四邊形.

（2）解：過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=60°，

∴∠BCD=∠A=60°，

∵AB=3，AD=4，

∴FC=2，NC=[12]DC=[32]，DN=[332]，

∴FN=[12]，則DF=EC=[DN2+FN2]=[7].

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵.在證明時(shí)我們要根據(jù)已知條件選擇合適的判定方法，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，要從邊、角、對(duì)角線等方面去考慮問題.

考點(diǎn)二：特殊的平行四邊形的性質(zhì)與判定

例2 如圖3，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接CE，DF.

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AE= cm時(shí)，四邊形CEDF是矩形；

②當(dāng)AE= cm時(shí)，四邊形CEDF是菱形.（直接寫出答案，不需要說明理由）

【解析】（1）證△CFG≌△DEG，推出FG=EG，根據(jù)平行四邊形的判定“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”推出即可.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CF∥ED，

∴∠FCG=∠EDG，

∵G是CD的中點(diǎn)，

∴CG=DG.

在△FCG和△EDG中，

[∠FCG=∠EDG，CG=DG，∠CGF=∠DGE，]

∴△FCG≌△EDG（ASA），

∴FG=EG，又∵CG=DG，

∴四邊形CEDF是平行四邊形.

（2）①如圖3，過A作AM⊥BC于M，求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根據(jù)矩形的判定“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”推出即可.故答案為：3.5.

②求出△CDE是等邊三角形，推出CE=DE=CD，根據(jù)菱形的判定“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”推出即可.故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定、矩形的判定.注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

考點(diǎn)三：特殊四邊形與圖形變換

例3 如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（ ）.

A.[95] B.[125] C.[165] D.[185]

【解析】如圖6，連接BF，已知BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，可得BE=3，根據(jù)勾股定理求得AE=5，根據(jù)三角形的面積公式求出BH=[125]，即可得BF=[245]，因?yàn)镕E=BE=EC，可得∠BFC=90°，再由勾股定理可得CF=[185].故答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】折紙已成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支，本題考查了圖形的翻折變換的性質(zhì)以及矩形的四個(gè)角都是直角的性質(zhì)，還用到了勾股定理.特殊平行四邊形中的折疊問題，既要用到折疊的性質(zhì)，又要用到特殊平行四邊形本身的性質(zhì)，有時(shí)還需要用到勾股定理或圖形的相似等知識(shí)建立線段、角之間的聯(lián)系.

考點(diǎn)四：特殊四邊形與平面直角坐標(biāo)系

例4 如圖7，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（ ）.

A.（[32]，3）、（[-23]，4）

B.（[32]，3）、（[-12]，4）

C.（[74]，[72]）、（[-23]，4）

D.（[74]，[72]）、（[-12]，4）

【解析】如圖8，首先過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案.即[1OE]=[23]，所以O(shè)E=[32]，即點(diǎn)B（[32]，3），所以AF=OE=[32]，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：-（2-[32]）=[-12]，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（[-12]，4）.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).數(shù)和形是相互聯(lián)系的，將四邊形置于平面直角坐標(biāo)系中，實(shí)則是引導(dǎo)我們將幾何問題代數(shù)化，同學(xué)們要掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，做到由數(shù)構(gòu)形，由形思數(shù).

考點(diǎn)五：特殊四邊形與規(guī)律探尋

例5 一組正方形按如圖9所示的方式放置，其中頂點(diǎn)B1在y軸上，頂點(diǎn)C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……，則正方形A2016B2016C2016D2016的邊長(zhǎng)是（ ）.

A.（[12]）2015 B.（[12]）2016

C.（[33]）2016 D.（[33]）2015

【解析】易知△B2C2E2∽△C1D1E1，

∴[B2C2C1D1]=[B2E2C1E1]=[D1E1C1E1]=tan30°.

∴B2C2=C1D1·tan30°=[33]，∴C2D2=[33].

同理，B3C3=C2D2·tan30°=（[33]）2，

由此猜想BnCn=（[33]）n-1.

當(dāng)n=2016時(shí)，B2016C2016=（[33]）2015.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】解答此類問題的關(guān)鍵是要能找到圖形之間的關(guān)系，正方形是非常特殊的四邊形，決定了本題中不同的正方形邊長(zhǎng)之間具備了某種關(guān)系.每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都不同，但都可以用C1D1來表示，而C1D1的長(zhǎng)是不變的，這樣就化“變”為“不變”.而最終的答案又需要我們?cè)诓蛔冎姓业阶兓囊?guī)律，如本題中[33]冪的變化.

考點(diǎn)六：特殊四邊形與三角形綜合

例6 如圖10，在?ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過A、C兩點(diǎn)作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長(zhǎng)AE、CF分別交CD、AB于M、N.

（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形.

（2）已知DE=4，F(xiàn)N=3，求BN的長(zhǎng).

圖10

【解析】（1）通過AE⊥BD，CF⊥BD證明AE∥CF，再由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB∥CD，由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形CMAN是平行四邊形.

（2）根據(jù)四邊形CMAN是平行四邊形，由性質(zhì)推出對(duì)邊相等，即CM=AN，再得到DM=BN，故條件充足，可證得△MDE≌△NBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=DE=4，再用勾股定理求得BN=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題的主要考點(diǎn)是平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形以及勾股定理的綜合運(yùn)用.四邊形知識(shí)是三角形知識(shí)的延伸，因此，同學(xué)們?cè)诮鉀Q平行四邊形相關(guān)問題時(shí)，既要善于在平行四邊形的背景下思考問題，又要學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用三角形知識(shí)和全等三角形知識(shí).上述幾例也都能在問題中尋到三角形的影子，本題第二問通過對(duì)角線將四邊形問題變?yōu)槿热切巍⒅苯侨切螁栴}，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，同學(xué)們要用心體會(huì).

（作者單位：揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校）