臧月進(jìn),李仁俊,安國(guó)琛

(上海機(jī)電工程研究所，上海，201109)

0 引 言

大氣層外飛行的動(dòng)能攔截器(KKV)采用直接碰撞方式，利用巨大的動(dòng)能來攔截彈道導(dǎo)彈彈頭[1]。在中段發(fā)動(dòng)機(jī)燃料耗盡關(guān)機(jī)自由滑行后，當(dāng)中、末制導(dǎo)交班結(jié)束時(shí)，目標(biāo)進(jìn)入了KKV導(dǎo)引頭的作用范圍，并被導(dǎo)引頭捕獲進(jìn)入末制導(dǎo)階段，被攔截的目標(biāo)為處于自由段飛行的彈道導(dǎo)彈彈頭[2]。在末制導(dǎo)段，KKV采用捷聯(lián)紅外成像導(dǎo)引頭測(cè)量與目標(biāo)的相對(duì)位置，實(shí)現(xiàn)該段的制導(dǎo)控制。末制導(dǎo)段是整個(gè)攔截任務(wù)成功與否最后關(guān)鍵一步。

由于攔截問題與交會(huì)問題不同(交會(huì)問題要求在交會(huì)時(shí)刻，追蹤航天器和目標(biāo)的相對(duì)位置和相對(duì)速度同時(shí)達(dá)到0)，在攔截問題中，不需要進(jìn)行縱向制導(dǎo)，只需要在攔截階段給攔截彈提供一個(gè)沖量，讓攔截彈獲得一個(gè)較大的速度，依靠動(dòng)能去殺傷目標(biāo)。而法向制導(dǎo)和橫向制導(dǎo)的目的是捕捉逼近走廊，并抑制視線轉(zhuǎn)動(dòng)[3]。

為了抑制視線轉(zhuǎn)動(dòng)，最好采用比例導(dǎo)引法，而采用常推力多次啟動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)控制，發(fā)動(dòng)機(jī)開啟時(shí)產(chǎn)生的加速度是常值，且當(dāng)攔截器與目標(biāo)接近時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)頻繁開關(guān)機(jī)[3]，特別當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)，其法向過載接近甚至強(qiáng)于攔截器法向過載能力時(shí)，其性能會(huì)大大下降，終端脫靶量很大[4]。但比例法導(dǎo)引過程中所需要的加速度是隨視線轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的，因此只能利用由比例導(dǎo)引法所確定的導(dǎo)引曲線作為發(fā)動(dòng)機(jī)開關(guān)線。

經(jīng)典的比例導(dǎo)引法是介于追蹤法和平行接近法之間的制導(dǎo)方法，對(duì)于攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，彈道性能好、脫靶量小、易于工程實(shí)現(xiàn)。然而如果彈道式導(dǎo)彈TBM彈頭存在機(jī)動(dòng)，比例導(dǎo)引法的性能會(huì)大大下降，攔截彈的法向過載過早飽和，造成終端脫靶量大。基于現(xiàn)代控制理論設(shè)計(jì)的具有滑動(dòng)模態(tài)的變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)的不確定因素有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和抗干擾性[5-7]，對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)和制導(dǎo)參數(shù)變化具有自適應(yīng)性，可以通過滑動(dòng)模態(tài)的設(shè)計(jì)獲得令人滿意的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，并且有幾乎同比例導(dǎo)引律一樣應(yīng)用簡(jiǎn)單的特點(diǎn)[8]，滿足攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)對(duì)導(dǎo)引律的要求。

文獻(xiàn)[5]采用滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律設(shè)計(jì)了KKV分別采用追擊和迎擊方式對(duì)TBM的攔截，同時(shí)為了減少高頻顫振，采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)；文獻(xiàn)[9]采用模糊邏輯的滑模制導(dǎo)律，其視線角速率和脫靶量較小。但是，他們均不具備對(duì)彈頭機(jī)動(dòng)時(shí)的有效攔截。

為了對(duì)付具備一定機(jī)動(dòng)能力的TBM彈頭，需設(shè)計(jì)出一種新型的具有工程實(shí)用價(jià)值的導(dǎo)引規(guī)律。

1 攔截過程相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

選擇某一時(shí)間區(qū)間Δt起始時(shí)刻的視線坐標(biāo)系Dξηζ作為末制導(dǎo)過程的相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考系。末制導(dǎo)過程中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以解耦成縱向平面Dξ η和側(cè)向平面Dξ ζ內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。

以縱向平面Dξ η內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為例，設(shè)在Δt內(nèi)，視線高低角的增量為ε，則

(1)

式中：ρ(t)表示攔截彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離，η(t)表示Δt時(shí)間內(nèi)Dη方向上的相對(duì)位移。若時(shí)間區(qū)間Δt足夠小，則ε(t)是一個(gè)很小的量。因此

(2)

式(2)對(duì)時(shí)間t微分一次，得到

(3)

把η(t)=ρ(t)ε(t)代入到式(3)得

(4)

式(4)對(duì)時(shí)間t再微分一次，得到

(5)

把式(4)代入到式(5)，得到

(6)

式中:

amη(t)、atη(t)分別表示攔截彈和目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度在Dη方向上的分量。

(7)

(8)

2 自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了使動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)對(duì)干擾和目標(biāo)機(jī)動(dòng)具有魯棒性，本文變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律滑動(dòng)模態(tài)取為

s=ρ(t)x(t)

(9)

為了保證系統(tǒng)狀態(tài)能夠到達(dá)滑模，而且到達(dá)滑模的過程中有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)特性，可以運(yùn)用趨近律來推導(dǎo)控制器。這里令動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模趨近律為

(10)

因?yàn)棣?t)>0，得到

(11)

(12)

在實(shí)際應(yīng)用中，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度可能無法得到，因此容易實(shí)現(xiàn)的適應(yīng)滑模制導(dǎo)律為

(13)

(14)

將控制量代入到式(14)，得到

(15)

V(t)→0,t→∞

(16)

(17)

式(17)含有開關(guān)函數(shù)項(xiàng)，要求控制量進(jìn)行切換。在實(shí)際系統(tǒng)中，控制量的切換不可能瞬時(shí)完成，總存在一定的時(shí)間滯后，這會(huì)造成抖動(dòng)。為了消除控制量的切換造成的抖動(dòng)，可以對(duì)非連續(xù)開關(guān)函數(shù)進(jìn)行光滑處理，經(jīng)過平滑處理后的制導(dǎo)律為

(18)

其中，δ為小正數(shù)。

同樣，也可以推導(dǎo)出側(cè)向平面內(nèi)的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。

如果攔截彈上的姿態(tài)控制系統(tǒng)令其俯仰角?跟蹤視線高低角ε(t)，偏航角ψ跟蹤視線方位角β(t)，那樣，彈體坐標(biāo)系O1x1y1z1與視線坐標(biāo)系Dξηζ重合，綜合以上過程，得到三維空間中的制導(dǎo)律為

(19)

從上式可見，該制導(dǎo)律的第一項(xiàng)為常規(guī)的比例導(dǎo)引律，第二項(xiàng)為針對(duì)目標(biāo)彈頭機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)的滑模項(xiàng)，且具備一定的光滑特性。

按式(19)實(shí)現(xiàn)的制導(dǎo)律，要求攔截彈的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)提供的加速度是時(shí)變的，但攔截彈軌控采用的是推力大小固定、能多次啟動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)來控制[10]，開啟時(shí)產(chǎn)生的加速度是常值，可以按沖量等價(jià)的原則進(jìn)行脈寬調(diào)制。

3 末段導(dǎo)引彈道仿真分析

3.1 TBM彈頭機(jī)動(dòng)模型

為提高彈道導(dǎo)彈突防概率，往往在中末段有一段彈道機(jī)動(dòng)過程，如美國(guó)的“潘興”導(dǎo)彈再入段就有俯沖后拉起的機(jī)動(dòng)過程[11]。

通過將TBM彈頭設(shè)計(jì)成氣動(dòng)布局為不對(duì)稱，彈頭再入高速經(jīng)過大氣層時(shí)，氣動(dòng)升力很大，會(huì)產(chǎn)生配平攻角和滾動(dòng)干擾力矩而形成慢速自旋時(shí)的質(zhì)心螺旋機(jī)動(dòng)[9]，而螺旋機(jī)動(dòng)將會(huì)使彈頭偏離原預(yù)測(cè)的彈道式標(biāo)準(zhǔn)彈道軌跡，該螺旋機(jī)動(dòng)可近似為如式(20)的解析形式[8]：

(20)

式中：vT為目標(biāo)速度；B為彈道系數(shù)；gT為重力加速度；ny2為彈道法向過載；ωx1T為彈體繞縱軸的自旋角速度；b為滾動(dòng)阻尼系數(shù)；c為滾動(dòng)干擾力矩系數(shù)；γT為彈體自旋角；θT、φT分別為目標(biāo)的速度傾角和偏航角；ρa(bǔ)為空氣密度；xT、yT、zT為目標(biāo)坐標(biāo)。

3.2 仿真范例

某樣例攔截器的質(zhì)量為20 kg，軌控發(fā)動(dòng)機(jī)推力為F=490 N。

在末制導(dǎo)導(dǎo)引啟動(dòng)時(shí)刻，TBM運(yùn)動(dòng)如3.1節(jié)所述，其與KKV在發(fā)射慣性系下初始位置/速度如表1所示。

表1 啟導(dǎo)時(shí)刻彈目相對(duì)位置和速度

攔截過程仿真如圖1～圖3所示。

圖1 發(fā)射慣性系下的彈目相對(duì)位置Fig. 1 Interceptor and target trajectories

圖2 攔截平面XOY側(cè)視圖Fig. 2 XOY intercept plane

圖3 攔截平面XOZ俯視圖Fig. 3 XOZ intercept plane

從上述仿真攔截過程的空間位置變化可以看出，本文自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律能快速響應(yīng)目標(biāo)跟蹤過程；從終端脫靶量對(duì)比看，采用本文自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的脫靶量為0.057 1 m，比比例導(dǎo)引律脫靶量0.753 m小一個(gè)數(shù)量級(jí)?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)制導(dǎo)律對(duì)應(yīng)的四軌控推力如圖4所示。

圖4 滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)開機(jī)曲線Fig. 4 On-off curve of divert control thrust

從圖4可見，整個(gè)攔截過程中4個(gè)閥門一致處于高速的切換過程中，這是由于目標(biāo)螺旋機(jī)動(dòng)，引起攔截彈相應(yīng)的機(jī)動(dòng)調(diào)整。

圖5 縱向視線角速率對(duì)比曲線Fig. 5 Rates of line-of-sight elevation angle

圖6 橫向視線角速率對(duì)比曲線Fig. 6 Rates of line-of-sight azimuth angle

從圖5和圖6視線角速率可見，相較于比例導(dǎo)引律，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律在啟導(dǎo)階段視線角速率幅值變化較大，而后逐步變小。

通過以上仿真對(duì)比分析，采用本文自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的制導(dǎo)精度高于比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的制導(dǎo)精度，動(dòng)態(tài)響應(yīng)品質(zhì)更優(yōu)。

4 結(jié)束語

本文基于變結(jié)構(gòu)理論采用指數(shù)趨近率設(shè)計(jì)的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，經(jīng)仿真驗(yàn)證，對(duì)KKV攔截TBM作突防機(jī)動(dòng)時(shí)有很好的魯棒性和較低的脫靶量，驗(yàn)證了自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律導(dǎo)引KKV打擊TBM機(jī)動(dòng)彈頭的能力。

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