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(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077)

0 引言

彈道導(dǎo)彈在飛行中段為了突破防守，經(jīng)常會釋放伴飛誘餌，形成密集目標(biāo)群，導(dǎo)致防御系統(tǒng)估計精度低，甚至系統(tǒng)產(chǎn)生崩潰。如何解決此類群目標(biāo)跟蹤問題一直是多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域研究的熱點[1]。

基于隨機(jī)有限集(Random Finite Set，RFS)的多目標(biāo)跟蹤方法，避免了傳統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，是近年來解決群目標(biāo)跟蹤方法的常用方法。Mahler早在20世紀(jì)90年代就提出了將隨機(jī)有限集運用于多目標(biāo)跟蹤的方法[2-3]，并于2003年通過貝葉斯濾波器的一階距近似方法，推導(dǎo)出了一種計算可行的概率假設(shè)密度濾波(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波器[4]；接著，B.N.Vo等人對PHD濾波器進(jìn)行了工程實現(xiàn)研究，分別通過粒子濾波[5]和高斯混合[6]的形式，使得基于RFS的多目標(biāo)跟蹤方法得以進(jìn)一步應(yīng)用。其中，高斯混合概率假設(shè)密度濾波器(Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density，GMPHD)具有計算復(fù)雜度低，容易工程實現(xiàn)等優(yōu)點，但同時存在方法對模型依賴嚴(yán)重，需要先驗信息，而且采用近似方法易導(dǎo)致估計性能較差等問題。本文針對上述問題，提出了基于多普勒量測的UKF多目標(biāo)跟蹤方法。

1 GMPHD算法

1.1 系統(tǒng)模型

假設(shè)目標(biāo)的狀態(tài)模型服從式(1)：

xk+1=Fxk+vk

(1)

(2)

假定二維直角坐標(biāo)系下傳感器位置在原點s0=0,0T，觀測目標(biāo)與其的斜矩為rk，方位角為θk，多普勒速度為dk。目標(biāo)的觀測模型為：

zk=hk(xk)+wk

(3)

其中，

(4)

1.2 GMPHD算法流程

高斯混合PHD濾波的基本思想是：在線性高斯系統(tǒng)模型下，將上一時刻的存活目標(biāo)、新生目標(biāo)、衍生目標(biāo)及目標(biāo)的狀態(tài)噪聲、量測噪聲分布分別表示成多個高斯分量的加權(quán)和形式，以此來近似目標(biāo)的PHD；并利用卡爾曼等濾波對高斯分量的均值、方差及其權(quán)值迭代更新；在高斯混合分量遞推的過程中可以直接提取目標(biāo)的狀態(tài)及數(shù)目，從而實現(xiàn)對多目標(biāo)的實時跟蹤。

GMPHD算法的流程包括了PHD預(yù)測、PHD更新、剪枝與合并、數(shù)目與狀態(tài)估計四個步驟。

1.2.1PHD預(yù)測

假設(shè)k-1時刻的PHD為高斯混合分布，目標(biāo)的運動模型為線性或近似線性的，狀態(tài)噪聲和觀測噪聲均為高斯分布，則k時刻多目標(biāo)隨機(jī)集的PHD也服從高斯混合分布。已知在k-1時刻，目標(biāo)狀態(tài)的后驗PHD為一個高斯混合形式：

(5)

由于衍生部分占總PHD的比例很小，故在此對于衍生部分忽略不計。那么在k時刻，預(yù)測目標(biāo)狀態(tài)集PHD的高斯混合表示為：

Dk|k-1(x)=Ds,k|k-1(x)+Dγ,k(x)

(6)

其中，Ds,k|k-1(x)、Dγ,k(x)分別表示存活目標(biāo)和新生目標(biāo)的PHD。即：

(7)

則，預(yù)測PHD為：

(8)

1.2.2PHD更新

已知k時刻目標(biāo)的預(yù)測PHD和量測集Zk，且預(yù)測PHD為高斯混合分布，則k時刻目標(biāo)的后驗PHD也是高斯混合分布，可記為：

(9)

1.2.3剪枝與合并

(10)

我們根據(jù)上式，進(jìn)行剪枝與合并，從而降低高斯分量的數(shù)目。

1.2.4數(shù)目與狀態(tài)估計

2 基于多普勒量測的UKF多目標(biāo)跟蹤方法

上一章主要構(gòu)建了GMPHD的算法框架，本章主要給出將多普勒信息融合進(jìn)框架的算法流程。

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，實際采用的雷達(dá)，除了目標(biāo)的斜矩和角度，往往還可以提供更多信息，例如多普勒量測等。理論計算與實踐已經(jīng)證明，充分利用多普勒量測等目標(biāo)信息不僅可以加強(qiáng)算法的魯棒性，而且有效地提高對目標(biāo)的跟蹤精度。

在以往的方法中，為了解決帶多普勒量測的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤問題，最常用方法是擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter，EKF)[7]。但存在很明顯的問題：此時雷達(dá)所提供的量測和目標(biāo)運動狀態(tài)之間的關(guān)系是完全非線性的，不能滿足要求。而且在已有的帶多普勒量測的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤方法中，為了簡便方法，文章通常假設(shè)斜矩、角度和多普勒的量測誤差統(tǒng)計獨立，然而最新研究表明[8]，對于某些波形而言，斜矩和多普勒量測誤差是統(tǒng)計相關(guān)的。

多普勒信息的處理有兩個關(guān)鍵步驟：第一，對新生目標(biāo)PHD的初始化：將多普勒速度和斜矩、方位角量測相結(jié)合，計算新生目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)[9]；第二，考慮到量測信息在加入了多普勒速度后高度非線性，同時為了去除目標(biāo)的多普勒速度和斜矩的相關(guān)性，使用UKF對高斯分量進(jìn)行迭代更新[10]。

2.1 新生目標(biāo)初始化

由卡爾曼濾波器公式可得，新生目標(biāo)初始化速度均值為：

(11)

協(xié)方差矩陣為：

(12)

那么在k時刻，式(6)中新生目標(biāo)狀態(tài)集強(qiáng)度函數(shù)的高斯混合可表示為：

(13)

2.2 高斯分量更新

運用UKF對各高斯混合分量的均值和協(xié)方差進(jìn)行更新，迭代求解。即首先計算采樣點及其權(quán)值，然后根據(jù)狀態(tài)方程得到點的一步預(yù)測，再根據(jù)量測方程計算預(yù)測的量測，最后結(jié)合傳感器所提供的量測進(jìn)行狀態(tài)更新和狀態(tài)協(xié)方差更新。

(14)

(15)

2)運用量測進(jìn)行更新分為兩步，首先進(jìn)行一步預(yù)測，計算GMPHD預(yù)測步驟中的均值與協(xié)方差：

(16)

(17)

(18)

進(jìn)行PHD的預(yù)測步驟時，式(8)中的均值和協(xié)方差即為式(17)、式(18)的結(jié)果。

然后再將預(yù)測量測和傳感器提供的量測代入，計算GMPHD更新步驟中的均值與協(xié)方差：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

進(jìn)行PHD的更新步驟時，式(9)中的均值和協(xié)方差即為式(23)、式(24)的結(jié)果。

3 仿真實驗

本章為驗證方法有效性，將本文方法與文獻(xiàn)[12]、文獻(xiàn)[13]中濾波方法進(jìn)行比較。性能評價標(biāo)準(zhǔn)采用運行時間、目標(biāo)個數(shù)估計和最優(yōu)子模式指派(Optimal Subpattern Assignment, OSPA)距離[14]。OSPA距離計算公式為：

式中，p=1，c=300，π∈Πn。

表1 目標(biāo)初始狀態(tài)Tab.1 Initial state and tracking of targets

圖2是本文方法的單次仿真結(jié)果，可以從圖上直觀地看出，在沒有目標(biāo)初始信息的情況下，由于采用了多普勒信息進(jìn)行初始化，各個時刻的估計值并未受到雜波的過多干擾，基本上都與真實位置相重合，說明本文方法能夠?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行有效地跟蹤。

為了對本文所提方法有效性進(jìn)一步驗證，將本文方法(UKF-GMPHD)與文獻(xiàn)[12](C-PHD)文獻(xiàn)[13](GMPHD)中方法進(jìn)行對比。 真實航跡如圖1所示，進(jìn)行100次獨立蒙特卡洛仿真實驗平均后，目標(biāo)的個數(shù)估計如圖3所示，從圖3可以明顯看出，在目標(biāo)出現(xiàn)和消失時，個數(shù)估計會產(chǎn)生一定偏差，但本文方法在個數(shù)估計基本是無偏的，而GMPHD算法在對于目標(biāo)個數(shù)估計上誤差較明顯，C-PHD算法由于在濾波過程中同時了進(jìn)行勢分布的運算，所以對于個數(shù)估計性能較優(yōu)，但部分階段的偏差也大于本文方法，說明本文方法在個數(shù)估計上誤差較小。

圖4為三種方法對于目標(biāo)估計的OSPA距離，OSPA距離越大，說明方法跟蹤性能越差。從圖中的曲線可以看出，在目標(biāo)個數(shù)發(fā)生變化時，OSPA距離會迅速變大，但是整體看來，本文方法的OSPA距離曲線一直在其他兩種方法曲線的下方，說明本文方法在跟蹤性能上優(yōu)于其他兩種方法。

圖5為三種方法的運行時間比較圖，可以清楚地看到，由于其他兩種方法采用的是EKF加串行更新的濾波方法，方法復(fù)雜度大大提升，所用時間較長，尤其是C-PHD算法，如上文所提，為了保證個數(shù)估計的準(zhǔn)確性，加入了勢估計，使得方法的空間復(fù)雜度較大；而本文方法采用UKF濾波方法，不僅減小了目標(biāo)個數(shù)估計的誤差，還進(jìn)一步降低了方法的復(fù)雜度，使得方法效率較高，運行時間遠(yuǎn)小于其他兩種方法。

4 結(jié)論

基于多目標(biāo)跟蹤的復(fù)雜背景，本文在GMPHD的框架下，提出了基于多普勒量測的UKF多目標(biāo)跟蹤方法。該方法通過對多普勒量測的運用，首先實現(xiàn)了新生目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)的去先驗自動更新，然后采取UKF對高斯分量進(jìn)行更新，降低了非線性量測方程的估計偏差。通過仿真實驗對比，本文所提方法在目標(biāo)個數(shù)和位置估計精度方面以及方法運算速度方面，均較現(xiàn)有方法有所提高，達(dá)到了預(yù)期成果。

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