陳諾

摘 要：近年來(lái)，創(chuàng)新試題總是經(jīng)常出現(xiàn)在各地高考試題中，這類(lèi)試題構(gòu)思巧妙、材料新穎、導(dǎo)向明確，學(xué)生只有靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，才能有效的進(jìn)行探究與分析，對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題制定解決的方案，從而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高考；創(chuàng)新試題；分析；解決方案

近幾年高考數(shù)學(xué)試題突出了創(chuàng)新意識(shí)的考查，出現(xiàn)了大量的創(chuàng)新試題。何為數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題呢？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是指相對(duì)于考生而言，在試題背景、試題形式、試題內(nèi)容或解題方法，等方面具有一定的新穎性與獨(dú)特性的數(shù)學(xué)試題，其基本目的在于培養(yǎng)或診斷考生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。本文基于解題的思想方法，總結(jié)出高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的常見(jiàn)的三大類(lèi)：數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。在以2012-2014年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題為例評(píng)析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行解后反新（即通過(guò)解題評(píng)析，達(dá)到反思創(chuàng)新）。

一、分布分析

二、典例評(píng)析

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)得好：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思?！币虼斯P者對(duì)以下典例解答后，反思其解題思想方法的創(chuàng)新之處，即解后反新。以求達(dá)到對(duì)往后高考創(chuàng)新題在解題思想方法的創(chuàng)新上起到拋磚引玉的作用。

2.1 數(shù)形結(jié)合思想

例1（12北京8）某棵果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示。從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為（ ）

A.5 B.7

C.9 D.11

解題思路 由已知圖象表示某棵果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系，可分析出平均產(chǎn)量的幾何意義為原點(diǎn)與該點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖象可知n=9時(shí)，直線的斜率最大，即前9年的的年平均產(chǎn)量最高。

解后反新 本題以函數(shù)的圖像與圖像變化為載體考查了斜率的幾何意義，其創(chuàng)新之處在于斜率考查方式的新穎性，考生需由斜率的幾何意義入手，根據(jù)圖像的變化情況，尋找斜率的最大值。對(duì)于函數(shù)及其斜率的幾種不同表達(dá)方式，考生應(yīng)當(dāng)做到熟練轉(zhuǎn)換，因此，本題在一定程度上考查考生數(shù)形結(jié)合的能力。

例2（12浙江理17）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有

，則a= .

解題思路 易知 .因x>0時(shí)，

恒成立，令 ，

，即

恒成立，由于兩個(gè)函數(shù)圖像都過(guò)點(diǎn) ，用數(shù)形結(jié)合思想知， 表示的直線斜率為正，且與x軸的交點(diǎn)

在拋物線 上（如圖所示）.所以

，注意到a >1，解得 .

解后反新 本題考查含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，其解法大多是“最值法”、“分離參數(shù)法”以及大學(xué)數(shù)學(xué)的二階導(dǎo)數(shù)、洛必達(dá)法則求極限等知識(shí)和方法。而本題的創(chuàng)新之處在于其解題方法有相當(dāng)?shù)拈_(kāi)放性與發(fā)散度，本題采用數(shù)形結(jié)合的思想，很好地考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)形結(jié)合的能力。

2.2特殊與一般思想

例3（12浙江理17）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有

，則a= .

解題思路 由x在 的任意性，取x=2時(shí)，題目中的不等式任然成立，即 ，所以 ，

得到 .

解后反新 本題解題方法的創(chuàng)新之處在于用特殊值法去解含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，解法新穎、巧妙，很好地考查了特殊與一般思想.

例4（13福建15）當(dāng)x∈R， 時(shí)，有如下表達(dá)

式：

兩邊同時(shí)積分得：

從而得到如下等式：

請(qǐng)根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：

解題思路 設(shè)

，于是

，所以

解后反新 本題考查定積分、二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識(shí)，利用特殊與一般思想解題.以往應(yīng)用該思想方法大多是把一般問(wèn)題特殊化，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，最終解決問(wèn)題.而本題的創(chuàng)新之處在于解題方法的獨(dú)特性——一般化，在解答過(guò)程中先采用類(lèi)比推理思想，將特殊問(wèn)題一般化，再通過(guò)解答一般問(wèn)題，反過(guò)來(lái)解答特殊問(wèn)題，達(dá)到將特殊與一般的靈活轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到化難為易的效果.

2.3化歸與轉(zhuǎn)化思想

例5（13全國(guó)Ⅰ12）設(shè) 的三邊分別為an，bn，cn，

的面積為Sn，n=1，2，….若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=

，cn+1= ，則（ ）

A. 為遞減數(shù)列 C. 為遞增數(shù)列， 為遞減數(shù)列

B. 為遞增數(shù)列 D. 為遞減數(shù)列， 為遞增數(shù)列

解題思路 由題意可知

an+1=an=…=a1，因?yàn)?/p>

，所以

，

即 . 所以 是以 為長(zhǎng)軸，以 為焦距，以Bn，Cn為焦點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)三角形.又由于b1>c1，所以 的形狀和位置如圖所示：

因?yàn)?/p>

，所以 ，

當(dāng) 時(shí)， ， .所以，點(diǎn)An的位置無(wú)限趨近于橢圓的短軸端點(diǎn)P，所以 的高h(yuǎn)n單調(diào)遞增，又因?yàn)?單調(diào)遞增， 所以是遞增數(shù)列。

解后反新 本題考查由遞推公式求通項(xiàng)公式、新定義幾何數(shù)列的單調(diào)性以及面積公式等數(shù)學(xué)知識(shí)。以往判斷一般數(shù)列單調(diào)性的方法是作差法、作商法或求導(dǎo)法（數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題），本題的創(chuàng)新之處在于其解題方法的奇妙性，通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化將 轉(zhuǎn)化為橢圓的焦點(diǎn)三角形，將求Sn的單調(diào)性轉(zhuǎn)換成求以BnCn為底的 高的單調(diào)性，從而精簡(jiǎn)計(jì)算，體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想的巧妙與強(qiáng)大。

三、思考與展望

縱觀近三年的高考理科數(shù)學(xué)創(chuàng)新題，不難發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新試題重在考查對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性及知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用。它著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙組合的同時(shí)，加強(qiáng)對(duì)解題思想方法的考查。數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，有著廣泛的應(yīng)用，是歷年高考創(chuàng)新題結(jié)合考查的重點(diǎn)。

與此同時(shí)，近三年的高考理科數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的解題方法大都以數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想和化歸轉(zhuǎn)化思想為主，在未來(lái)的高考創(chuàng)新題中應(yīng)該給予適當(dāng)?shù)闹匾暋?/p>

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