周子驥,高芳清,米聰聰

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

隨著現(xiàn)代交通事業(yè)的快速發(fā)展，公路車(chē)輛的運(yùn)行荷載及速度均有大幅度提高，車(chē)輛對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用顯著增加[1-2]。多年來(lái)眾多學(xué)者運(yùn)用車(chē)輛和橋梁動(dòng)力學(xué)的知識(shí)對(duì)車(chē)-橋耦合振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了深入探討。陳水生運(yùn)用量綱分析法和相似原理推導(dǎo)出車(chē)-橋耦合振動(dòng)縮尺模型相似比關(guān)系，通過(guò)模型試驗(yàn)研究了跳車(chē)沖擊下的車(chē)-橋耦合振動(dòng)[3]。XW Liu運(yùn)用半解析法研究車(chē)輪瞬時(shí)跳躍時(shí)的車(chē)橋動(dòng)力相互作用問(wèn)題[4]。劉鈺采用Euler-Bernoulli橋梁模型、兩個(gè)自由度的四分之一車(chē)輛模型，建立了車(chē)輛過(guò)橋時(shí)由于橋面不平度引起的跳車(chē)情況下的車(chē)橋耦合振動(dòng)計(jì)算模型，通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)研究跳車(chē)情況下橋梁的動(dòng)力響應(yīng)[5]。但二者均忽略了車(chē)輛下落時(shí)的沖擊作用。樊建平等基于簡(jiǎn)單的車(chē)橋耦合模型，結(jié)合車(chē)橋耦合與非耦合動(dòng)力學(xué)方程，考慮車(chē)輛在不平順軌道曲線上運(yùn)行時(shí)，當(dāng)離心力大于車(chē)輛自重時(shí)發(fā)生的跳車(chē)情況[6]。但此情況是基于不平順軌道導(dǎo)致的隨機(jī)跳車(chē)，有較大偶然性。因此，有必要深入研究跳車(chē)沖擊下的車(chē)-橋耦合振動(dòng)。

跳車(chē)沖擊過(guò)程是指車(chē)輛通過(guò)橋面時(shí)，由于障礙物導(dǎo)致橋面存在高度差而使車(chē)輛發(fā)生起跳和沖擊過(guò)程。作者結(jié)合簡(jiǎn)支梁橋特點(diǎn)，考慮車(chē)輛經(jīng)過(guò)橋面時(shí)發(fā)生起跳和沖擊過(guò)程，建立跳車(chē)沖擊過(guò)程時(shí)的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程?？紤]不同起跳高度、沖擊位置和車(chē)輛速度，將橋梁和車(chē)輛分別考慮為2個(gè)接觸力和位移相互協(xié)調(diào)的隨時(shí)間變化的子系統(tǒng)。采用Newmark-β隱式積分法計(jì)算[7]。最后運(yùn)用MATLAB編程獲得微分方程數(shù)值解。討論跳車(chē)發(fā)生時(shí)不同的跳車(chē)高度、橋面沖擊位置以及車(chē)輛速度等工況下車(chē)輛對(duì)橋梁豎向位移的影響。

1 跳車(chē)沖擊過(guò)程的車(chē)橋耦合系統(tǒng)模型

結(jié)構(gòu)振動(dòng)反應(yīng)中阻尼主要來(lái)源包括結(jié)構(gòu)材料內(nèi)摩擦、干摩擦、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的塑性耗能等。材料內(nèi)阻尼是指由結(jié)構(gòu)材料的分子之間或晶粒界面之間的錯(cuò)動(dòng)、滑移等引起的耗散能量，是彈性結(jié)構(gòu)中阻尼的主要來(lái)源之一，在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中不可忽略[8]。因此采用1/4車(chē)輛模型動(dòng)荷載與含阻尼簡(jiǎn)支梁，簡(jiǎn)化系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 車(chē)橋耦合系統(tǒng)模型

圖1中yw、yv與y分別表示車(chē)輪、車(chē)體和橋的位移；mw、mv分別為車(chē)輪及底盤(pán)和車(chē)體的質(zhì)量；cw、cv分別是車(chē)輪和車(chē)體的阻尼；kw、kv分別是車(chē)輪和車(chē)體的剛度。橋梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為η，抗彎剛度為EI。H為障礙物高度。

1.1 車(chē)輛與橋面接觸

車(chē)輛輪胎與橋面保持接觸時(shí)，系統(tǒng)中車(chē)-橋耦合方程為

車(chē)輛作用下的橋梁豎向振動(dòng)按照假設(shè)模態(tài)展開(kāi)為

由φi(x)正交性，可以得到

其中：M、C和K分別為(i+2)階質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，Q為(i+2)階荷載向量，q為(i+2)階向量。表達(dá)式如下

1.2 車(chē)輛離開(kāi)橋面過(guò)程

跳車(chē)即車(chē)輛輪胎受到障礙物影響而騰起，與橋面發(fā)生脫離，即ts≤t＜ts+tL。tL表示車(chē)輛離開(kāi)橋面騰空時(shí)間。系統(tǒng)中車(chē)-橋的非耦合方程為

寫(xiě)成矩陣形式

其中：M2、C2、K2矩陣和Q2、q向量分別為

跳車(chē)持續(xù)時(shí)間為tL

2 路面不平順模型

路面不平度是服從高斯概率分布且具有零均值的均勻隨機(jī)場(chǎng)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者通常采用路面功率譜密度函數(shù)（PSD）來(lái)表示路面不平度[9]。即

其中：n為空間頻率，單位為m-1，n0是參考空間頻率，一般n0=0.1m-1；Gr(n0)為路面不平順系數(shù)，單位是，w為頻率指數(shù)，一般w=2.0。

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，橋上路面不平順可以描述為一個(gè)高斯隨機(jī)過(guò)程。采用Fourier逆變換法將路面功率譜生成隨機(jī)激勵(lì)時(shí)域模型為

式中：θi為[0、2π]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)；ni是空間頻率，Gr(ni)為路面功率譜函數(shù)。

ISO/TC108/SC2N67中提出按路面功率譜密度函數(shù)可以把路面不平順?lè)譃?級(jí)。其中A級(jí)路面的不平順系數(shù)Gr(ni)=16×10-6m2/m-1。

3 方程求解

本文采用Newmark-β積分法計(jì)算。該積分法是一種將線性加速度法普遍化的方法，在位移計(jì)算中不需要求解速度、加速度等中間值，因此計(jì)算更為簡(jiǎn)單、快捷。Newmark-β法假定

式中：Δt為時(shí)間積分步長(zhǎng)，β、γ為控制方程的獨(dú)立參數(shù)，下標(biāo)n代表t=nΔt瞬時(shí)，n+1表示t=(n+1)Δt瞬時(shí)。當(dāng)時(shí)，Newmark-β積分法是無(wú)條件穩(wěn)定的。因此，本文取β=0.5，γ=0.25。

在t=(n+1)Δt瞬時(shí)，如果車(chē)輛未遇障礙物時(shí)，即當(dāng)t＜ts，將M、C、K、Q代入微分方程式（7），可得

在t=(n+1)Δt瞬時(shí)，如果車(chē)輛遇上障礙物而騰起，即當(dāng)ts≤t＜ts+Δt，則將M、C、K、Q代入微分方程式（11），可得

在t=(n+1)Δt瞬時(shí)，如果車(chē)輛下落沖擊橋面，即當(dāng)t=ts+tL，則將M、C、K、Q代入微分方程式（7），并需考慮車(chē)輛自由落下的速度gtL?？傻?/p>

在t=(n+1)Δt瞬時(shí)，如果車(chē)輛下落與橋面接觸后，即當(dāng)t＞ts+Δt，將M、C、K、Q代入微分方程式（7），可得

4 算例與分析

橋 的 參 數(shù) 為 ：EI=2.05×1010N?m2，m=9.36×103kg/m，L=24 m。車(chē)輛的參數(shù)為：mv=15 670 kg，mw=2 530 kg，Cv=10 000 Ns/m，Cw=5 000 Ns/m，kv=1.8×106N/m，kw=3.5×106N/m。結(jié)構(gòu)阻尼參數(shù)η=0.001。

4.1 不同起跳高度時(shí)的跳車(chē)沖擊過(guò)程計(jì)算結(jié)果及分析

橋面不平順取A級(jí)路面不平度，速度取v=10 m/s。考慮車(chē)輛起跳高度H=0.03、0.05、0.1 m時(shí)，沖擊點(diǎn)選擇為跨中。比較在不同起跳高度的情況下，跳車(chē)沖擊對(duì)橋面的豎向動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的影響。

跳車(chē)沖擊過(guò)程對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)有著顯著影響，其位移峰值均超過(guò)8 mm。隨著起跳高度的增加，橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移隨之增加，但是增加幅度較小。起跳高度H=0.05 m與H=0.1 m和H=0.03 m與H=0.05 m時(shí)，橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移增加幅度均不超過(guò)0.5 mm；

因此，雖然跳車(chē)沖擊對(duì)橋梁的影響非常顯著，但是不同起跳高度對(duì)橋梁豎向位移響應(yīng)的影響很小。

4.2 不同起跳位置的車(chē)輛沖擊過(guò)程計(jì)算結(jié)果及分析

當(dāng)v=10 m/s時(shí)，考慮在橋面不同位置處發(fā)生跳車(chē)沖擊過(guò)程。比較在不同等級(jí)路面、橋面沖擊位置不同的情況下，跳車(chē)沖擊對(duì)橋面的豎向動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的影響，見(jiàn)圖2。

圖2 不同跳車(chē)高度工況下橋梁豎向位移響應(yīng)

車(chē)輛過(guò)橋計(jì)算結(jié)果表明：發(fā)生跳車(chē)沖擊的位置對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移影響有差異。在橋梁跨中處發(fā)生跳車(chē)沖擊，其對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移影響明顯，達(dá)到峰值；但是其峰值并不在橋面跨中處。橋梁前半跨跨中附近發(fā)生跳車(chē)沖擊對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移值的影響明顯大于后半跨；遠(yuǎn)離跨中處，橋梁前半跨豎向位移值與后半跨相近。此外，在橋梁上16 m以后發(fā)生跳車(chē)沖擊，其沖擊作用對(duì)橋梁最大豎向動(dòng)態(tài)位移值影響無(wú)明顯差異。最后，跳車(chē)沖擊作用對(duì)橋梁最大豎向動(dòng)態(tài)位移值有滯后作用，其峰值沒(méi)有立刻表現(xiàn)出來(lái)，而是向后推移了一段距離。

4.3 不同車(chē)輛速度工況下的跳車(chē)沖擊過(guò)程計(jì)算結(jié)果及分析

橋面不平順取A、C級(jí)路面不平度，障礙物高度H=0.03 m，車(chē)輛速度v=10、20、30 m/s時(shí)，考慮在橋梁跨中處發(fā)生跳車(chē)沖擊現(xiàn)象。比較不同車(chē)速的工況下，跳車(chē)沖擊對(duì)橋面的豎向動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的影響。

表1 A級(jí)橋面不同位置發(fā)生跳車(chē)時(shí)橋梁最大豎向位移值/mm

表2 橋梁最大豎向位移值對(duì)應(yīng)的A級(jí)橋面位置/m

表3 C級(jí)橋面不同位置發(fā)生跳車(chē)時(shí)橋梁最大豎向位移值/mm

表4 橋梁最大豎向位移值對(duì)應(yīng)的C級(jí)橋面位置/m

在不同速度工況下的跳車(chē)沖擊過(guò)程計(jì)算結(jié)果表明：未發(fā)生跳車(chē)時(shí)，車(chē)輛速度越大，造成橋梁豎向位移值越大。當(dāng)發(fā)生跳車(chē)時(shí)，車(chē)速v=10 m/s造成的橋梁豎向位移值最大，v=20 m/s造成的豎向位移值最小，兩者差值超過(guò)4 mm。跳車(chē)沖擊后，各車(chē)速對(duì)橋梁豎向位移值影響差異不顯著。路面不平順度越大，車(chē)輛引起的橋梁豎向位移值越大，見(jiàn)圖3。

圖3 不同速度工況下橋梁豎向位移響應(yīng)

5 結(jié)語(yǔ)

車(chē)輛過(guò)橋面發(fā)生跳車(chē)沖擊時(shí)，在不同的跳車(chē)高度、橋面發(fā)生跳車(chē)的位置和不同車(chē)速工況下，車(chē)輛對(duì)橋梁沖擊作用有顯著差異。

(1)跳車(chē)沖擊對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移值有明顯影響，其值是不考慮跳車(chē)沖擊的數(shù)倍，但是不同跳車(chē)高度對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移值影響很小。

(2)橋面發(fā)生跳車(chē)沖擊的不同位置對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移值有顯著差異。在橋梁前半跨跨中附近發(fā)生跳車(chē)沖擊對(duì)橋梁豎向動(dòng)態(tài)位移值的影響明顯大于后半跨；遠(yuǎn)離跨中處，橋梁前半跨動(dòng)態(tài)位移值與后半跨相近；造成橋梁最大豎向動(dòng)態(tài)位移值的沖擊點(diǎn)是橋梁跨中位置，但是其峰值卻不在橋面跨中；在跳車(chē)沖擊作用下，橋梁最大豎向動(dòng)態(tài)位移表現(xiàn)滯后特征。

(3)不同車(chē)輛速度對(duì)橋梁動(dòng)態(tài)豎向位移值影響不同，并且需要結(jié)合車(chē)輛運(yùn)行的不同狀態(tài)綜合考慮。

(4)路面不平順度同樣會(huì)影響車(chē)輛對(duì)橋梁的作用。

因此，防止跳車(chē)沖擊、對(duì)橋梁跨中附近障礙物重點(diǎn)清理以及加強(qiáng)橋面跨中后端附近的橋梁安全系數(shù)是保證橋梁結(jié)構(gòu)安全的重要措施。同時(shí)，在研究車(chē)-橋耦合動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該同時(shí)考慮車(chē)輛的不同運(yùn)行狀態(tài)與速度。

參考文獻(xiàn)：

[1]夏禾.車(chē)橋耦合振動(dòng)工程[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[2]王貴春，陳衛(wèi)麗.基于車(chē)橋耦合振動(dòng)的大跨度斜拉橋沖擊系數(shù)研究[J].公路工程，2015(6)：119-124.

[3]陳水生，魏方龍，桂水榮.車(chē)橋耦合模型試驗(yàn)中試驗(yàn)?zāi)Ｐ吞匦缘拇_定與實(shí)測(cè)分析[J].中外公路，2013，33(3)：89-94.

[4]LIU X W,XIE J,WU C,et al.Semi-analytical solution of vehicle-bridge interaction on transient jump of wheel[J].Engineering Structures,2008,30(9):2401-2412.

[5]劉鈺，范晨光，高芳清，等.考慮跳車(chē)情況下的車(chē)-橋耦合振動(dòng)研究[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(工程科學(xué)版)，2012，44(2)：141-145.

[6]樊建平，曹高威，胡雋，等.跳車(chē)沖擊力作用下車(chē)橋耦合動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37(6)：553-558.

[7]王海波，陳伯望，余志武.結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程N(yùn)ewmark-β方法遞推簡(jiǎn)化分析[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(工程科學(xué)版)，2008，40(3)：47-52.

[8]夏修身，陳興沖，李建中.隔震橋梁合理結(jié)構(gòu)阻尼模型[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，46(1)：140-145.

[9]中華人民共和國(guó)機(jī)械工業(yè)部.GB7031-1986車(chē)輛振動(dòng)輸入路面平度表示方法[S].1986.