王清波 寧靜 葉運(yùn)廣 陳春俊

摘要：為建立裂紋結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)與裂紋參數(shù)之間的解析關(guān)系從而對齒輪箱裂紋進(jìn)行有效識別，提出一種可替代原有高精度分析模型的計(jì)算量小且計(jì)算精度較高的基于代理模型的裂紋識別方法。利用初始樣本通過有限元與插值算法建立裂紋結(jié)構(gòu)參數(shù)與動力響應(yīng)之間的Kriging代理模型對應(yīng)關(guān)系，從而代替原有的物理參數(shù)模型與結(jié)構(gòu)響應(yīng)關(guān)系，有效減少有限元計(jì)算次數(shù)，并通過隨機(jī)粒子群優(yōu)化方法對建立的代理模型進(jìn)行全局裂紋參數(shù)尋優(yōu)。通過一個懸臂梁結(jié)構(gòu)的數(shù)值算例，對所提方法進(jìn)行有效驗(yàn)證，并將該方法應(yīng)用到某高速列車齒輪箱的裂紋識別中，結(jié)果表明該方法能夠有效地對結(jié)構(gòu)裂紋進(jìn)行識別。

關(guān)鍵詞：高速列車齒輪箱；裂紋識別；Kriging代理模型；隨機(jī)粒子群優(yōu)化算法

0引言

作為高速列車核心部件之一的齒輪箱，其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，箱體呈非對稱、非均勻結(jié)構(gòu)，安裝在列車轉(zhuǎn)向架上，受多方面的約束，其動力學(xué)振動特征主要受輪軌耦合激擾影響。在高速列車運(yùn)行過程中，由于輪軌問的非線性耦合，導(dǎo)致齒輪箱承受復(fù)雜的交變應(yīng)力，極有可能產(chǎn)生異常振動，從而出現(xiàn)局部損傷，危及高速列車運(yùn)行的安全性和可靠性。我國某高速動車組在實(shí)際運(yùn)行20～30萬公里后，在某齒輪箱箱體上出現(xiàn)了裂紋故障，嚴(yán)重威脅到高速動車組的運(yùn)營安全。裂紋作為一種重要的結(jié)構(gòu)損傷形式，如何對裂紋的產(chǎn)生進(jìn)行及時有效的判斷和識別，并對其進(jìn)行實(shí)時監(jiān)測，對保證齒輪箱的正常運(yùn)作具有重要意義。

高速列車齒輪箱產(chǎn)生裂紋后會改變其動力學(xué)特性，通過基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識別方法分析齒輪箱模態(tài)參數(shù)的變化，明確模態(tài)參數(shù)隨裂紋參數(shù)的變化規(guī)律，可以有效識別裂紋所在位置。Fan等對基于模態(tài)分析的裂紋識別方式進(jìn)行了詳細(xì)總結(jié)。

由于基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識別方法對齒輪箱單一裂紋位置、長度等參數(shù)識別時，需要基于較為精確的初始有限元模型并進(jìn)行大量的樣本訓(xùn)練和長時間的計(jì)算模擬，再加上有限元計(jì)算過程中隱含的大量計(jì)算和分析誤差及不確定性，導(dǎo)致識別效率很低。

代理模型作為一種對離散數(shù)據(jù)利用近似技術(shù)進(jìn)行回歸或插值的數(shù)學(xué)模型，其主要以擬合精度或預(yù)測能力為約束，且通過已知樣本點(diǎn)直接構(gòu)造齒輪箱裂紋參數(shù)和箱體動態(tài)響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系，從而代替復(fù)雜、費(fèi)時的有限元計(jì)算過程。

近年來，代理模型在工程實(shí)踐中被越來越廣泛地應(yīng)用，Wangt$、Forrester和Simpson等較為全面地介紹了代理模型技術(shù)及其在工程中的應(yīng)用；Gorissen詳細(xì)研究了計(jì)算機(jī)輔助建模中的代理模型技術(shù)，開發(fā)了能夠用于Matlab下的工具箱，為該技術(shù)在工程中的應(yīng)用提供了開發(fā)工具。根據(jù)響應(yīng)逼近函數(shù)形式的不同，代理模型建模方法主要包括Kriging函數(shù)法、多項(xiàng)式響應(yīng)面法、徑向基函數(shù)法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。

由于Kriging代理模型能夠充分考慮樣本點(diǎn)在空間中的相關(guān)特性，能夠以少量的樣本點(diǎn)結(jié)合模型本身所具有的全局和局部的統(tǒng)計(jì)特性，預(yù)測出未知樣本點(diǎn)的趨勢和信息，使其在解決非線性程度較高的問題時，Kriging代理模型能夠取得較好的擬合效果。Noel闡述了Kriging技術(shù)類似于一種半?yún)?shù)化的插值技術(shù)，利用相關(guān)函數(shù)作用，模擬出高維空間，且無需建立特定的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用就比多項(xiàng)式響應(yīng)面法更加的靈活和方便。Kaymaz提出Kriging代理模型樣本點(diǎn)的獲取方式，可以對結(jié)構(gòu)可靠性問題較常用的基于最小二乘法的響應(yīng)面法獲得更好的結(jié)果。Kleijnen闡述了如何預(yù)測Kriging模型的真實(shí)方差，并通過Kriging模型進(jìn)行靈敏度分析和仿真模型優(yōu)化。Nobari等針對剎車系統(tǒng)的嘯叫問題，提出通過構(gòu)造代理模型來量化不穩(wěn)定嘯叫的不確定性，并通過代理模型對剎車系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)、可靠性分析與優(yōu)化。然而，目前Kriging代理模型在裂紋識別領(lǐng)域，尤其是在實(shí)際工程應(yīng)用中的研究還很少。

基于此，本文將Kriging代理模型應(yīng)用到高速列車齒輪箱的裂紋識別中，通過代理模型代替原有的有限元模擬仿真，簡化復(fù)雜冗長的有限元計(jì)算過程，有效提高裂紋識別效率。

1 Kriging代理模型

代理模型主要由取樣策略和近似方法兩部分組成，其中取樣策略用于選取構(gòu)造模型的樣本點(diǎn)；近似方法作為代理模型的主體，主要用于數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測模型的建立。

1.1參數(shù)化有限元模型及抽樣設(shè)計(jì)

本文使用有限元方法來模擬裂紋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。在不考慮裂紋擴(kuò)展的情況下，首先根據(jù)設(shè)計(jì)需要確定設(shè)計(jì)變量，用以表征裂紋結(jié)構(gòu)中裂紋位置與深度，再根據(jù)其變化范圍構(gòu)建設(shè)計(jì)空間，在設(shè)計(jì)空間中進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)，生成合理數(shù)量級的規(guī)范化樣本參數(shù)值，并將其轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的實(shí)際設(shè)計(jì)變量參數(shù)值。然后根據(jù)抽樣樣本構(gòu)建模型并進(jìn)行有限元仿真計(jì)算，根據(jù)需要確定響應(yīng)變量，從而建立設(shè)計(jì)變量與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系，以此用以構(gòu)建Kriging代理模型。

抽樣設(shè)計(jì)采用拉丁超立方體抽樣法選取樣本點(diǎn)。拉丁超立方體抽樣的本質(zhì)是一種多維分層抽樣方法。作為一種與均勻設(shè)計(jì)類似的抽樣方法，其樣本點(diǎn)均勻且隨機(jī)，能夠充滿整個設(shè)計(jì)空間，適用于影響因素較多的情況，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，可顯著減少實(shí)驗(yàn)規(guī)模。

拉丁超立方體抽樣在抽樣效果上作為一種蒙特卡羅方法的改進(jìn)，其主要原理是根據(jù)各輸入變量及其定義域范圍，采用等概率分層抽樣產(chǎn)生各變量的隨機(jī)數(shù)樣本。假設(shè)抽樣實(shí)驗(yàn)中有n個變量，需抽取m個樣本，即要在n維向量空間中抽取m個樣本，其抽樣步驟為：將每一維空間分割成獨(dú)立的m個等概率區(qū)間，整個設(shè)計(jì)空間被分割成m個獨(dú)立區(qū)間：在生成的每個區(qū)間中隨機(jī)抽取一個點(diǎn)，產(chǎn)生nXm的矩陣M，且M的每一列均為{1，2，…，n}的隨機(jī)全排列；在每一維中隨機(jī)抽取矩陣M的列向量中的一個樣本點(diǎn)，將它們組成1xm的向量q，即產(chǎn)生m個樣本點(diǎn)。

1.2 Kriging代理模型運(yùn)算

Kriging代理模型是一種以已知樣本信息的相關(guān)性為基礎(chǔ)，根據(jù)方差最小準(zhǔn)則，對未知樣本信息進(jìn)行預(yù)測的插值技術(shù)。模型主要由全局回歸模型和隨機(jī)相關(guān)函數(shù)組成。設(shè)樣本點(diǎn)組X=[X₁X₂，…X_n]對應(yīng)的響應(yīng)值為Y=[y（x₁），y（x₂），…，y（x_n）}，則Kriging代理模型關(guān)于某一未知點(diǎn)x的響應(yīng)值和自變量之間的關(guān)系式為

因此，確定某一未知點(diǎn)x的裂紋參數(shù)后，可通過Kriging代理模型預(yù)測其對應(yīng)響應(yīng)值為

2基于Kriging代理模型的裂紋識別步驟

結(jié)構(gòu)體出現(xiàn)裂紋損傷后會減小結(jié)構(gòu)局部剛度，改變其動力學(xué)特性，使結(jié)構(gòu)固有頻率下降。一般通過分析其模態(tài)參數(shù)的變化可以識別裂紋所在位置，模態(tài)參數(shù)主要包括頻率、振型和阻尼。

在每一次設(shè)置裂紋參數(shù)后，都要對新的裂紋模型進(jìn)行有限元分析。一般為了精確描述裂紋結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，需要進(jìn)行大量的裂紋有限元重構(gòu)，因此直接建立反映裂紋參數(shù)與裂紋動態(tài)響應(yīng)之間關(guān)系的Kriging代理模型用來代替復(fù)雜費(fèi)時的有限元計(jì)算很有必要。

建立裂紋結(jié)構(gòu)Kriging代理模型后，裂紋識別可轉(zhuǎn)化為目標(biāo)尋優(yōu)問題，即在已知實(shí)際動力響應(yīng)的情況下，尋求其在代理模型中所對應(yīng)的一組滿足目標(biāo)函數(shù)的裂紋參數(shù)，從而達(dá)到裂紋識別的目的。尋優(yōu)算法主要通過隨機(jī)粒子群優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)。目標(biāo)函數(shù)表示為

因此，裂紋識別作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)的逆問題，就轉(zhuǎn)化為Kriging代理模型和隨機(jī)粒子群算法的有機(jī)結(jié)合，即在代理模型所構(gòu)建的響應(yīng)面內(nèi)根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)與動力響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系，搜尋實(shí)測響應(yīng)所對應(yīng)的裂紋參數(shù)，從而達(dá)到識別目的。

基于Kriging代理模型的裂紋識別具體步驟為

1）根據(jù)裂紋特性，選取能夠描述裂紋位置的參數(shù)，將其作為設(shè)計(jì)變量并確定設(shè)計(jì)空間。

2）通過拉丁超立方體抽樣選取樣本點(diǎn)，利用三維軟件生成不同樣本點(diǎn)所對應(yīng)裂紋結(jié)構(gòu)模型，并通過有限元仿真計(jì)算出相應(yīng)裂紋狀況下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。

3）應(yīng)用這些樣本點(diǎn)和所對應(yīng)的響應(yīng)值構(gòu)建Kriging代理模型，得到裂紋參數(shù)與結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系。

4）另選取少量樣本點(diǎn)對比其實(shí)際計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)與Kriging代理模型計(jì)算結(jié)果之間的誤差，驗(yàn)證Kriging代理模型的計(jì)算精度。若不滿足精度要求，通過加點(diǎn)準(zhǔn)則對代理模型進(jìn)行修正。

5）將待識別裂紋結(jié)構(gòu)的實(shí)測動力響應(yīng)帶人Kriging代理模型，利用隨機(jī)粒子群優(yōu)化算法在約束區(qū)域內(nèi)搜尋最優(yōu)解，從而求得實(shí)測動力響應(yīng)所對應(yīng)的裂紋參數(shù)。

為驗(yàn)證此裂紋識別方法的有效性，先通過一個數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證，然后將該方法應(yīng)用到某高速列車齒輪箱的裂紋識別研究中。3數(shù)值算例

懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，其長度為0.5m，高度為0.02m，材料密度為7 850kg/m3，彈性模量為210GPa，泊松比為0.3。由于模型較為簡單，直接通過Abaqus建立有限元模型。

假設(shè)懸臂梁上有一裂紋，參數(shù)a=VL和β=h/H分別代表裂紋在梁上的無量綱位置和深度，即確定設(shè)計(jì)變量a和β，其取值范圍分別為0

采用拉丁超立方體抽樣在設(shè)計(jì)空間中抽取20組裂紋參數(shù)作為樣本點(diǎn)，并通過建立裂紋有限元模型計(jì)算相應(yīng)樣本點(diǎn)所對應(yīng)的裂紋結(jié)構(gòu)響應(yīng)，裂紋的結(jié)構(gòu)響應(yīng)主要為結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率與模態(tài)振型。

利用抽樣所得的20組裂紋樣本和其所對應(yīng)的前4階模態(tài)頻率構(gòu)建裂紋參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的Kriging代理模型，代理模型響應(yīng)面如圖2所示。

為驗(yàn)證Kriging代理模型識別裂紋的有效性，假定4種裂紋工況，通過有限元計(jì)算各自對應(yīng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)，將其作為裂紋工況結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)實(shí)測值。使用隨機(jī)粒子群優(yōu)化算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，從而得到預(yù)測響應(yīng)以及其所對應(yīng)的裂紋參數(shù)。各裂紋工況的真實(shí)值與識別結(jié)果如表1所示。

從表中可以看出.4種工況中識別結(jié)果和真實(shí)值誤差較小，K6ging代理模型能夠在較為理想化的懸臂梁數(shù)值算例中較好地實(shí)現(xiàn)裂紋識別。因此，該數(shù)值算例證明了Kriging代理模型在裂紋識別中的有效性，能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到高速列車齒輪箱的裂紋識別中。

4高速列車齒輪箱裂紋識別

某高速列車齒輪箱有限元模型如圖3所示，箱體材料為鑄造鋁合金，材料密度為2.7x10kg/m3，彈性模量為75 GPa，泊松比為0.3。

假設(shè)箱體表面有一裂紋，且裂紋平面與軸心在同一平面上，參數(shù)a、和β'分別表示裂紋在軸心所在圓上的方位、橫向?qū)挾群涂v向深度。結(jié)合大量線路振動和動力學(xué)實(shí)驗(yàn)，某高速列車齒輪箱箱體端部容易出現(xiàn)裂紋故障，考慮齒輪箱結(jié)構(gòu)與有限元計(jì)算的復(fù)雜程度，假設(shè)裂紋只在箱體端部出現(xiàn)，且裂紋尖端位置在橫向上不超過箱體輸出軸軸孔，裂紋縱向深度不超過箱體厚度的一半，則其取值范圍分別為（244°<0<345°）、（0

在構(gòu)建的變量設(shè)計(jì)空間中，通過拉丁超立方體抽樣抽取22組樣本，利用Abaqus分別建立齒輪箱裂紋模型，進(jìn)行有限元計(jì)算，得到各裂紋樣本所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，基于此建立齒輪箱裂紋參數(shù)與第9～12階模態(tài)頻率（各裂紋模型前8階模態(tài)頻率變化很小）之間的Kriging代理模型。

由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，無法在高速列車齒輪箱箱體上設(shè)置真實(shí)裂紋來進(jìn)行裂紋識別。因此在不斷改進(jìn)和模擬箱體模型使之達(dá)到近似高精度模型且與其有相同模態(tài)頻率的的基礎(chǔ)上，在此箱體模型上設(shè)置4種裂紋工況，將其假設(shè)為真實(shí)裂紋。

通過對4種裂紋工況模型進(jìn)行有限元計(jì)算，獲得各自所對應(yīng)的裂紋結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)，將其假設(shè)為高速列車齒輪箱箱體上真實(shí)存在裂紋所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)。然后將此動態(tài)響應(yīng)帶入建立的Kriging代理模型中，使用隨機(jī)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化識別，從而識別出此動態(tài)響應(yīng)在Kriging代理模型中所對應(yīng)的裂紋參數(shù)。通過對比識別出的裂紋參數(shù)和原始的真實(shí)裂紋參數(shù)之間的差異，從而確定Kriging代理模型的裂紋識別精度。裂紋參數(shù)真實(shí)值與識別結(jié)果如表2所示。

可以看出，隨裂紋橫向?qū)挾群涂v向深度的變化，裂紋越小，識別精度越低，且最大識別誤差有達(dá)到10%左右。但考慮到高速列車齒輪箱結(jié)構(gòu)非對稱、非均勻、高度復(fù)雜的情況，以及裂紋識別中樣本選取和有限元計(jì)算中各種誤差的干擾，且大部分識別誤差都保持在5%以下，因此Kriging代理模型對高速列車齒輪箱裂紋識別依然有很好的指導(dǎo)作用。

5結(jié)束語

針對高速列車齒輪箱在列車運(yùn)行狀態(tài)下容易發(fā)生異常振動，很有可能出現(xiàn)局部損傷，本文從裂紋識別的角度出發(fā)，通過建立高速列車齒輪箱箱體裂紋的Kriging代理模型來對箱體裂紋進(jìn)行識別。結(jié)論如下：

1）使用Kriging代理模型建立裂紋參數(shù)與結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)之間的關(guān)系，可以代替原有的各種裂紋參數(shù)與其結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系，大量減少有限元計(jì)算，提高裂紋識別效率。

2）Kriging代理模型能夠?qū)Ω咚倭熊圐X輪箱箱體裂紋進(jìn)行有效識別，且具有較高的識別精度，具有較高的工程應(yīng)用價值。

由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，本文只能在仿真模型的基礎(chǔ)上對高速列車齒輪箱進(jìn)行裂紋識別的分析，對于Kriging代理模型在列車實(shí)際運(yùn)行和多裂紋情況下的齒輪箱裂紋識別還需進(jìn)一步研究。