強光作用下電子的波函數(shù)研究

胡娟

本文主要以強激光技術的發(fā)展為前提，研究在非相對論量子場理論條件下，計算超強激光作用下整個系統(tǒng)中電子與光子相互作用的波函數(shù)，通過計算強光場中A2項的作用，對強光作用下的電子系統(tǒng)用含時薛定諤量子波場來進行描述。利用庫侖規(guī)范條件、含時薛定諤方程推導出強光作用下電子波函數(shù)的計算公式，包括強光作用下電子能量En（K）的表達式。并由含時電子的波函數(shù)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的能量由于電磁輻射的產(chǎn)生而增加，同時得出電子的含時波函數(shù)的形式將不再是普通波函數(shù)ψ～eiEt/h。

1 緒論

在超強超快激光技術的快速發(fā)展的當下，要獲得輸出功率高、聚焦輻射強的光束能力上已經(jīng)成為現(xiàn)實。在這樣的強光束的作用下，強光所輻射出的強度遠超與半導體材料內(nèi)部所有的庫侖場強。因此非線性原子物理學這一新的研究就隨著這一類光束的出現(xiàn)而有了新的方向。介質(zhì)內(nèi)部因強光場而產(chǎn)生高離化態(tài)離子的研究，強光與物體相互作用的研究，強激光脈沖對分子的作用等研究都有待突破。通過強光場電離產(chǎn)生的超稠密和低密度激光等離子體相關特性的研究已然成為現(xiàn)下物理學中的一大研究熱點。同時對強光場中納米結構材料的研究以及低維半導體的不穩(wěn)定非線性光學性質(zhì)的研究也意義重大。

強光脈沖的寬度已經(jīng)從Ps（皮秒）量級已經(jīng)縮短到了fs（飛秒）量級，光強度也提高近六個數(shù)量級。在這樣的強光驅(qū)動下的電子的運動就有著很強的相對論性，在處理強光與介質(zhì)中載流子作用時，要先分析自由電子在強光作用下的特點。因為強光不僅可以引起電子的帶間躍遷，同時也能使電子在帶內(nèi)的狀態(tài)發(fā)生改變。本文通過強光場中電子與光子的相互作用，從二維電子氣模型的角度研究強光驅(qū)動下電子波函數(shù)的特性。把介質(zhì)中的電子作非相互作用單電子近似，也就是通過含時薛定諤方程來計算。

2 電子的含時薛定諤方程

本文計算中應用的強光脈沖形式為 ，從經(jīng)典電動力學的電磁輻射場中出發(fā)，用A表示電磁輻射場強光的矢勢也叫（電磁矢勢），設強光場的輻射方向沿X軸的方向，光沿Z軸方向傳播。即 。帶入脈沖形式有： 系統(tǒng)波函數(shù)的含時表達式： 。其中εn由電子自旋和不含時薛定諤方程共同來決定，而 滿足薛定諤方程： 帶入上式的波函數(shù)，k=（kx+ky+kz）為波函數(shù)的波矢。ψ（R，t）是整個系統(tǒng)在強光場中的波函數(shù)，強光場的輻射方向沿X軸的方向，也就是說沿X軸方向的光是隨時間變化的的量，因此要對X軸進行含時坐標變換，令： 。

于是得到：

此時整個系統(tǒng)的哈密頓量即為顯含時間的量，其表達式為：

。

對于強光作用下的二維電子氣，P=（Px；PyPz）為動量算符是三個獨立的量子數(shù)， ， ， 。U（z）是二維電子氣中的受限的電子勢能。

把含時薛定諤方程拆分開，即可把方程化為：

式中R=（r，z）=（x，y，z），也就是說r是x與y方向的矢量合成。由此可得此時系統(tǒng)的薛定諤方程為：

經(jīng)含時坐標 變換之后的 ，薛定諤方程也同時經(jīng)含時坐標變換，對左邊偏導數(shù)逐項展開后有：

即可得：

要得到系統(tǒng)的波函數(shù)，需把所有的參數(shù)一并求出，再帶入整個系統(tǒng)的波函數(shù)方程。之前的計算中，已經(jīng)求得含時坐標變換之后的位移的變化量，此時還需要求解出D（t），而D（t）是對A2從0到t時間進行非線性積分得到：

把所有計算出的參數(shù)帶入可得整個系統(tǒng)中電子的波函數(shù)為：

且 是系統(tǒng)的能譜，ψn（Z）和εn同時都由一維含時薛定諤方程來決定：

3 格林函數(shù)

從電子的含時波函數(shù)可以計算出概率振幅，在 態(tài)時間為t時給系統(tǒng)加一個電子，讓系統(tǒng)經(jīng)過時間t后，系統(tǒng)中的電子處于 態(tài)，通過電子從 態(tài)變化到 態(tài)的過程中可得：

計算過程中應用到 這一關鍵步驟。把解析式進一步化簡后可得：

在此規(guī)定格林函數(shù)在（n，k；t）空間中的電子不發(fā)生相互作用，所以可以通過格林函數(shù)公式來定義電子從 態(tài)變化到 態(tài)的過程中的變化：

由于變換的電磁場激發(fā)出的輻射場，所以計算出來的是含有兩個時間（t和t）的格林函數(shù)。且有 ：

于是，格林函數(shù)在（n，k；t）空間表象中的表達式就可以利用上面的式子重新替換為：

電子經(jīng)過從 態(tài)變化到 態(tài)的過程，時間也經(jīng)歷了從t到t的過程。進行傅里葉變換后可求出經(jīng)過時間推遲后的格林函數(shù)。

為了研究系統(tǒng)中電子的穩(wěn)態(tài)特性，可以對輻射場一個周期內(nèi)的時間T進行平均，利用公式 即可求出格林函數(shù)然。

4 小結

強光作用下電子的耦合輻射場可以由系統(tǒng)的波函數(shù)得出以下結果：

（1）二維電子氣系統(tǒng)的能量由εn變?yōu)镋n（K），且 。這是由于強光作用下使電子系統(tǒng)產(chǎn)生了電磁輻射，使系統(tǒng)的總能量增加。

電子經(jīng)過格林函數(shù)變化之后，可以看出電磁輻射場的作用。當電子的磁場耦合到輻射場時，從電子的波函數(shù)和格林函數(shù)式中可以體現(xiàn)出電子的回旋共振效應。

（2）電子的含時波函數(shù)的形式將不再是普通波函數(shù) 的形式。

本文中的電磁矢勢A和標量勢φ，都是以庫侖規(guī)范為前提進行計算的，在電磁輻射場中 。庫侖規(guī)范對應于電流密度j=0，電荷密度ρ=0，也就是系統(tǒng)中的自由電子在受到電磁場的作用下沿著二維平面極化。這種處理準低維電子與光子相互作用的方法非常的簡便并且所應用的計算方法普遍適用。

（作者單位：陸軍邊海防學院（昆明校區(qū)））