杜立

（總參第六十研究所機(jī)器人實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210016）

根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)原理，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度大于局部聲速時(shí)產(chǎn)生激波。利用激波信號(hào)和傳感器陣列檢測(cè)超音速?gòu)椡枋菢O具挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外涌現(xiàn)出大批研究成果，提出不同的傳感器陣列方式，例如正四面體陣列[1]，L型陣列[2]，T型陣列[3，16]，三角形[11]等等，傳感器陣列方式不同，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型也就不同。但現(xiàn)有的這些數(shù)學(xué)模型解析需要多種輔助條件或限制，如需要另加天幕靶測(cè)試彈丸速度[1-2]，需要測(cè)量N波的時(shí)間寬度TF[2]，射彈不超出立靶范圍[2]等。本文所論述的數(shù)學(xué)模型，彌補(bǔ)以上缺點(diǎn)，利用5個(gè)以上的傳感器排布即可解算得出彈丸速度，落點(diǎn)位置，入射角等參數(shù)。

在現(xiàn)實(shí)訓(xùn)練中開(kāi)放式靶標(biāo)的應(yīng)用廣泛，可用于各類(lèi)口徑的直瞄武器射擊訓(xùn)練。訓(xùn)練中根據(jù)靶面的尺寸可分為單兵類(lèi)、班組類(lèi)和裝甲類(lèi)目標(biāo)；根據(jù)靶標(biāo)的出現(xiàn)方式可分為固定式、移動(dòng)式和顯隱式靶標(biāo)。顯隱式靶標(biāo)又可分為起倒式、側(cè)轉(zhuǎn)式和升降式等多種顯隱模式。各類(lèi)靶標(biāo)的安裝防護(hù)要求各不相同，對(duì)靶標(biāo)傳感器的布陣方法也提出了多種方式，如平面 H 式[4-6]、垂面三角式[7,13]以及立體錐形[8，10]等。因此本文對(duì)各類(lèi)傳感器布陣方式進(jìn)行了誤差分析和優(yōu)缺點(diǎn)總結(jié)，適當(dāng)調(diào)整傳感器陣列方式，可適應(yīng)各種地形條件下的爆吧需求，為現(xiàn)代信息化條件下公安、武警、部隊(duì)訓(xùn)練裝備高精度低價(jià)格的訓(xùn)練設(shè)備提供有力的理論依據(jù)。

1 開(kāi)放式靶標(biāo)數(shù)學(xué)建模

1.1 基本測(cè)量原理

彈丸超音速飛行時(shí)，激波波前隨著彈丸運(yùn)動(dòng)形成了以彈丸頭部為頂點(diǎn)，彈道為軸線的圓錐體（如圖1），彈道上每一點(diǎn)都可以看作點(diǎn)聲源（俗稱(chēng)“砰發(fā)點(diǎn)”）。

將傳感器按照一定方式陣列，當(dāng)彈丸穿越傳感器陣列附近時(shí)，彈丸激波引發(fā)傳感器產(chǎn)生感應(yīng)信號(hào)，且隨著飛行位置不同，傳感器接收到感應(yīng)信號(hào)的時(shí)間不同。開(kāi)放式靶標(biāo)正是利用傳感器采集激波信號(hào)，經(jīng)過(guò)調(diào)理電路和運(yùn)算電路測(cè)量出激波掃過(guò)不同傳感器的時(shí)間間隔，在運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型計(jì)算出彈丸通過(guò)靶面時(shí)的彈著點(diǎn)坐標(biāo)、入射角、彈丸速度等參數(shù)。

圖1 激波錐面示意圖

1.2 單個(gè)傳感器數(shù)學(xué)建模

如圖2所示，P，A，B點(diǎn)均位于彈丸飛行軌跡上，其中B為子彈與靶面撞擊點(diǎn)，P點(diǎn)為起始計(jì)時(shí)參考點(diǎn)，C點(diǎn)為某一傳感器位置，A點(diǎn)為最早到達(dá)傳感器C點(diǎn)的激波砰發(fā)點(diǎn)位置[4]。

圖2 單個(gè)傳感器數(shù)學(xué)模型

假設(shè)從P點(diǎn)初始計(jì)時(shí)，激波最先到達(dá)傳感器C的總時(shí)間為t，包括子彈從P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間t1，和激波從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間t2。AR為風(fēng)速引發(fā)的矢量干擾，此時(shí)：t1=（1-λ）t，t2=λt

由圖2得出：

其中：Vb—彈丸飛行速度；W—風(fēng)速；Vs—聲速。

由（1）（2）（3）式聯(lián)合求得：

此時(shí)，令U=Vb-W、Q=P-C，等式（4）又可寫(xiě)為：

等式（5）對(duì)λ求偏導(dǎo)，令，化簡(jiǎn)等式為：

我們知道：Q=P-C，且P和B點(diǎn)均在彈丸飛行軌跡上，有：B=P+τ·Vb，由此得出：

將（7）式代入等式（6），得出：

式（8）是單個(gè)傳感器方程，方程中未知數(shù)個(gè)數(shù)較多，必須通過(guò)傳感器陣列，連立方程組進(jìn)行求解。

1.3 傳感器陣列解算建模

若認(rèn)為子彈在接近靶面是水平入射，不考慮俯仰角，以靶面為XOZ平面，垂直靶面為Y軸，建立坐標(biāo)系。排布若干傳感器位置Ck（xk,yk,zk）(k=1,2,3,4,5…)（如圖3），利用風(fēng)速儀測(cè)得風(fēng)速矢量(Wx,Wy，Wz)，設(shè)撞擊點(diǎn)B坐標(biāo)（x，0，z），彈丸入射速度標(biāo)量Vb，入射角度α，則可列出形如式（8）的若干方程式組，其中Vb，α，x，z，t-τ為未知量。

上述方程組為復(fù)雜的非線性方程組，沒(méi)有解析解，必須借助特定的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解?，F(xiàn)實(shí)開(kāi)放式靶標(biāo)系統(tǒng)中，我們可以借助電路系統(tǒng)測(cè)量得到激波到達(dá)若干傳感器的時(shí)間差t21，t31，t41，t51，…，tk1，因此我們將式（8）簡(jiǎn)化為關(guān)于時(shí)間t的方程，求解過(guò)程中，我們將方程組寫(xiě)成矩陣和向量形式，其中未知量：

到達(dá)時(shí)間向量為：

實(shí)測(cè)時(shí)間差向量為：

令雅克比矩陣H為：

取一定的初始迭代值，假設(shè)彈丸速度700 m/s，垂直入射，落點(diǎn)位置為靶面中央高1 m的位置，即初始值為τ=0.5，α=0°，x=0，z=1，V=700，根據(jù)解非線性方程組的最小二乘廣義逆法，進(jìn)行迭代，得到最終結(jié)果。

算法中對(duì)于初始值的選取有要求，若初始值x坐標(biāo)、彈丸速度V以及入射角α的選取與真實(shí)解相差太大，則會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮大解。因此實(shí)際求解中我們采用區(qū)間搜索的方法進(jìn)行迭代計(jì)算。將算法寫(xiě)成C代碼，根據(jù)實(shí)際靶面大小劃分125個(gè)區(qū)間，在計(jì)算機(jī)配置CPU主頻3.4 G，內(nèi)存512 MB的計(jì)算機(jī)中運(yùn)行，將所有區(qū)間搜索完全需要15毫秒左右。而在實(shí)際計(jì)算中，一般在得到正確結(jié)果即終止搜索，運(yùn)行時(shí)間完全滿(mǎn)足實(shí)際報(bào)靶間隙要求。

2 傳感器陣列方式的仿真分析

2.1 傳感器陣列方式

如圖3所示，在4×4米靶面的下方和前方陣列9個(gè)傳感器（坐標(biāo)位置見(jiàn)表1），將5個(gè)或以上傳感器任意組合得到不同的陣列方式，均能得到計(jì)算結(jié)果。我們選取其中具代表性的3種布陣方式進(jìn)行仿真分析。具體組合方式見(jiàn)表2。

圖3 子彈入射與傳感器陣列示意圖

表1 傳感器陣列坐標(biāo)對(duì)應(yīng)表

表2 代表性布陣組合方式

2.2 誤差分析

利用Matlab仿真，將4 m×4 m靶面10×10等分，取每個(gè)等分區(qū)域中心點(diǎn)為落點(diǎn)位置，計(jì)算此時(shí)各傳感器的TDOA時(shí)間。若彈丸垂直入射，假設(shè)入射速度800 m/s，入射角度0°，對(duì)此條件下的TDOA時(shí)間添加均方根為10 μs的時(shí)延誤差。

圖4 垂直靶面入射定位誤差對(duì)比圖（入射速度800 m/s，入射角度0°，TDOA誤差10 μs）

圖4為該射擊條件下3種陣列方式中時(shí)延誤差導(dǎo)致的定位誤差等高線對(duì)比圖，可見(jiàn)：

1）圖4（a）為水平H陣列，靶面60%的落點(diǎn)坐標(biāo)定位誤差在1 cm以?xún)?nèi)，最大誤差約2 cm。

2）圖4（b）為垂直H陣列，靶面40%的落點(diǎn)坐標(biāo)定位誤差在1 cm以?xún)?nèi)，最大誤差約4 cm。

3）圖4（c）為混合式陣列，靶面80%的落點(diǎn)坐標(biāo)定位誤差在1 cm以?xún)?nèi)，最大誤差約1 cm。

（入射速度 800 m/s，入射角度 45°，TDOA誤差10 μs）

若彈丸角度入射，仍然假設(shè)靶面4 m×4 m，將上述條件中的彈丸入射角度修改為45°，入射速度仍為800 m/s，TDOA添加10 μs均方根的時(shí)延誤差。

圖5 角度入射定位誤差對(duì)比圖

圖5為該射擊條件下，3種傳感器布陣方式的定位誤差等高線對(duì)比圖，可見(jiàn)：

1）圖5（a）為水平H陣列，靶面60%的定位誤差在2 cm以?xún)?nèi)，最大誤差約4 cm。

2）圖5（b）為垂直H陣列，靶面40%的定位誤差在5 cm以?xún)?nèi)，最大誤差在靶面上部超過(guò)1 m，解算失效。

圖5（c）為混合式陣列，靶面80%的定位誤差在4 cm以?xún)?nèi)，最大誤差約8 cm。

對(duì)比圖4、圖5中得出結(jié)論：

1）彈丸水平入射時(shí)，混合式傳感器陣列對(duì)于TDOA測(cè)量誤差的敏感性最低，水平H式次之，垂直H式陣列的時(shí)延誤差敏感性最高。

2）當(dāng)彈丸以一定角度入射時(shí)，垂直H式陣列的定位誤差在靶面上端急劇上升；混合式陣列的誤差敏感度逐漸增大，并在靶面底部角落出現(xiàn)激增；而水平H式陣列的定位誤差對(duì)入射角的影響較弱。

2.3 討 論

1）水平陣列在全靶面大角度射擊時(shí)表現(xiàn)最優(yōu)，缺點(diǎn)在于占地面積較大地形條件要求高，可用于固定式、移動(dòng)式裝甲靶標(biāo)的精度射擊訓(xùn)練；

2）垂直陣列占地面積小，對(duì)地形要求低，缺點(diǎn)在于大角度入射時(shí)定位誤差急劇增加，可用于正面射擊的單兵、班組類(lèi)固定式、升降式顯隱靶標(biāo)的精度射擊訓(xùn)練；

3）混合陣列在靶面中心表現(xiàn)良好，缺點(diǎn)是占地面積大，機(jī)械本體設(shè)計(jì)復(fù)雜，可用于大型武器定型射擊實(shí)驗(yàn)以及空對(duì)地目標(biāo)精度射擊訓(xùn)練。

因此在開(kāi)放式靶標(biāo)設(shè)計(jì)中，根據(jù)幾種布陣方式的優(yōu)缺點(diǎn)，針對(duì)不同設(shè)計(jì)要求如靶標(biāo)體積，地形限制等，可選擇相應(yīng)陣列方式。

實(shí)踐中將此3種陣列方式經(jīng)過(guò)微調(diào)，用于各兵種合同戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練基地及基層部隊(duì)的實(shí)彈靶標(biāo)訓(xùn)練中，對(duì)于95槍、高射機(jī)槍及各類(lèi)直瞄火炮的射擊結(jié)果與本文仿真結(jié)果基本一致，有效達(dá)到了最佳的射擊訓(xùn)練效果，具體數(shù)據(jù)限于篇幅不再贅述。

3 結(jié)束語(yǔ)

文章論述了一種基于開(kāi)放式靶標(biāo)的新型建模方式，并提供了該建模方式的數(shù)學(xué)解算方法，該模型及算法的通用性較強(qiáng)，可用于不同激波傳感器陣列方式的檢靶系統(tǒng)。文中針對(duì)不同的傳感器陣列方式進(jìn)行Matlab仿真，分析多種傳感器陣列方式中時(shí)延誤差對(duì)定位誤差影響，為開(kāi)放式靶標(biāo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

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