兩均勻帶電半球殼靜電相互作用力解法討論

張 勇 潘 磊 桑芝芳

(蘇州大學物理與光電·能源學部 江蘇 蘇州 215006)

兩個帶電體之間的靜電相互作用問題是大學物理和高中物理的重要內容，也是高考和競賽中考查的熱點，本文對兩個均勻帶電半球殼之間的靜電相互作用問題進行了討論．

【題目】如圖1所示，兩個均勻帶電半球殼A，B的半徑為R，總帶電荷量為Q，兩半球殼緊密接觸在一起，求A，B之間的靜電相互作用力？

圖1 題圖

1 問題分析

如圖2所示，取右半球殼B為研究對象，求A，B之間的靜電相互作用力即要求左半球殼A對右半球殼B的靜電作用力．

圖2 半球殼A，B分別取面電荷元

式中r的方向從面電荷元σdS1指向面電荷元σdS2，根據疊加原理，作用于面電荷元σdS2的總靜電力等于半球殼A上所有電荷元作用于該面電荷元的靜電力的矢量和，所以半球殼A上所有電荷對面電荷元σdS2的靜電作用力為

因此半球殼A對半球殼B的靜電作用力為

式中SA和SB分別為半球殼A和B的面積．但上述雙重面積分比較復雜，很難得到解析結果，下面我們作進一步分析．

如圖3所示，在半球殼B上取面電荷元σdS，設半球殼A上的所有電荷在面電荷元σdS處產生的電場為EA，半球殼B上除面電荷元σdS外的所有電荷在面電荷元σdS處產生的電場為EB．

圖3 半球殼B上取面電荷元

半球殼A對面電荷元σdS的靜電作用力為

dF=σEAdS

均勻帶電半球殼A對B的作用力為

(1)

這便是我們所要求的問題．

半球殼B上除面電荷元σdS外，其他所有電荷對面電荷元σdS的靜電作用力為

dF′=σEBdS

組成均勻帶電半球殼B的各面電荷元之間總的靜電相互作用力為

由于組成均勻帶電半球殼B的各面電荷元之間靜電相互作用力總是成對出現(xiàn)的，因而相互抵消，因此有

式(1)也可以寫為

(2)

其中E=EA+EB，即為除面電荷元σdS外半球殼A,B上其他所有電荷在面電荷元σdS處產生的電場強度．

設面電荷元σdS在其附近產生的電場為E0，因此E+E0即為均勻帶電整個球殼在面電荷元σdS處的電場強度．由均勻帶電球殼的電場分布可知，在球殼外表面附近有

(3)

式中er為球心指向面電荷元σdS的單位矢．

在球殼內表面附近有

E+E0=0

(4)

考慮到面電荷元σdS在球殼內外表面產生的電場方向相反，由式(3)、(4)可得

(5)

將式(5)代入式(2)即為所求結果．

2 問題的求解

解法1：如圖4所示，取球坐標系，使z軸與半球殼A，B的接觸面垂直，由對稱性可知，A對B的作用力沿z軸方向.

圖4 取球坐標系

由式(2)得

又

dS=R2sinθdθdφ

所以有

解法2：用類比法求解．

由對稱性可知，半球殼B的任意面電荷元所受靜電力大小相等，因此可以將半球殼所受靜電力類比成半球殼在均勻氣體中氣體對半球殼面的作用力．

如圖5所示，氣體壓強為p，有底封閉半球殼在均勻氣體中所受的合力為零，其底面受到氣體的作用力大小為

F′=pS=pπR2

所以氣體對球殼面的作用力大小也為

F=F′=pπR2

(6)

圖5 球殼在氣體中受力

類似地，均勻帶電球殼A對B的作用力也可以通過式(6)來進行計算．任意面電荷元受到的電場力對其產生的壓強為

(7)

將式(7)代入式(6)可得兩均勻帶電半球殼之間的靜電相互作用力為

與解法1結果一致．本解法學生更容易理解．

參 考 文 獻

1 梁紹榮,劉昌年,盛正華主編. 電磁學(第3版).北京：高等教育出版社，2005

2 第八屆全國三年制高中理科試驗班招生統(tǒng)一考試物理試題及解答．物理教學，2003(6)：25