劉 植,肖 凱,江 平,謝 進

(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 200009)

(2.合肥學(xué)院科學(xué)計算研究所,安徽合肥 230601)

1 引言

曲面的數(shù)學(xué)描述是計算機輔助幾何設(shè)計和計算機圖形學(xué)的重要研究方向.傳統(tǒng)的曲面設(shè)計工具多采用多項式插值樣條方法,但對于給定的插值條件,生成的插值函數(shù)是唯一確定的,形狀修改與控制不夠靈活.隨著CAD/CAM技術(shù)的發(fā)展,包含B′ezier、B樣條方法的非均勻有理B樣條(NURBS)方法已被廣泛的應(yīng)用到工業(yè)產(chǎn)品如輪船、汽車、飛機等形狀造型的設(shè)計.然而,這些方法得到曲面的局部修改與約束控制同樣面臨挑戰(zhàn).近年來,有關(guān)單變量有理插值方法的研究在一定程度上解決了局部修改與控制的問題,取得了重要進展[1].如劉愛奎在文[2]中提出帶有形狀參數(shù)的加權(quán)有理插值曲線不僅具有簡潔的表達式,同時可以讓曲線整體約束于折線之間,并具有局部點控制能力.Erge[3]分析了C1條件下線性有理樣條的兩點邊值問題.Han[4]研究了一類C2連續(xù)有理三次保凸逼近方法及性質(zhì).

關(guān)于雙變量樣條函數(shù)的研究也取得了很多成果:Sun[5]提出一種分母(1,0)次分子(3,1)次的三角域有理插值樣條,該方法主要應(yīng)用于地質(zhì)勘探、鍛造科技和醫(yī)學(xué)影像中基于平行線上的散亂數(shù)據(jù)的插值曲面重構(gòu);Duan和他的團隊在二元有理插值樣條研究領(lǐng)域做了大量工作:如在文獻[6]中構(gòu)造了一類基于函數(shù)值和偏導(dǎo)數(shù)值分母為雙一次、分子雙三次的二元有理插值樣條,該樣條函數(shù)具有簡單對稱的基函數(shù),便于理論研究與曲面局部約束控制;在文獻[7]中給出了僅基于函數(shù)值分母為雙一次、分子雙三次的二元有理插值樣條,在文獻[8]中給出了僅基于函數(shù)值分母為雙二次、分子雙三次的二元有理插值樣條,并研究了樣條函數(shù)的矩陣表示、邊界性質(zhì)等.鄧四清等構(gòu)造了僅基于函數(shù)值分子分母均為雙三次的二元有理插值曲面樣條[9],以及分母為雙二次分子雙三次的二元有理插值曲面樣條[10,11],并研究了這些曲面的邊界、逼近及中央點約束控制問題.2012年,項梅靈[12]構(gòu)造了僅基于函數(shù)值分母為雙二次、分子雙三次的二元有理插值曲面樣條,并研究了其凸性、邊界插值、極限、解析和正則等性質(zhì),同時分析了參數(shù)對曲面形狀的控制作用.

加權(quán)組合是CAGD中的一種常用造型方法.Huang[13]和Zhang[14]僅基于函數(shù)值,先構(gòu)造了一種分母為(1,0)次、分子雙三次的二元有理插值樣條曲面,另一種分母為(0,1)次、分子雙三次的二元有理插值樣條曲面,然后將兩種樣條曲面加權(quán)組合得到一種新的二元有理插值樣條曲面,并討論了曲面的矩陣形式,誤差分析以及局部約束問題.上述二元有理插值構(gòu)造方法在形式上的共同點是分母為一次、二次或三次,而分子一般是三次或四次.對于給定的插值數(shù)據(jù),通過改變參數(shù)值可以控制有理插值曲面的形狀.這些有理函數(shù)較高的次數(shù)帶來了形式以及計算的復(fù)雜性.本文僅基于給定函數(shù)值,通過對兩種線性有理插值函數(shù)的加權(quán)組合構(gòu)造一類新的二元有理插值方法.該有理插值函數(shù)具有形式對稱的基函數(shù).對于給定的插值數(shù)據(jù),插值曲面形狀的整體與局部控制靈活方便.

2 插值函數(shù)

2.1 插值函數(shù)的構(gòu)造

插值函數(shù)的構(gòu)造思路及步驟如下:

(1)在x方向構(gòu)造分子分母均為一次的有理插值曲線,然后在y方向用線性插值方法構(gòu)造二元有理插值曲面;

(2)按相反順序構(gòu)造先y后x方向的二元有理插值曲面;

(3)對上述兩類有理插值函數(shù)加權(quán)組合構(gòu)造新的二元有理插值曲面.

設(shè){(xi,yi,fi,j)},i=1,2;j=1,2為給定平面區(qū)域D=[x1,x2;y1,y2]上的插值數(shù)據(jù)點集,x1,x2和y1,y2為插值節(jié)點.令h=x2?x1,l=y2?y1,對xy平面上任意點(x,y)∈D,令u=(x?x1)/h,先沿x方向構(gòu)造線性有理插值曲線

其中αj＞0.顯然,插值函數(shù)滿足

對任意x,可在D上構(gòu)造二元有理插值函數(shù)

這里v=(y?y1)/l,λ＞0.可以驗證滿足

同理,先從y方向構(gòu)造插值曲線,再從x方向構(gòu)造插值曲面可以得到另一種二元線性有理插值函數(shù)

其中βi＞0,μ＞0.可以驗證也滿足

對于任意給定的插值數(shù)據(jù)點集 {(xi,yj,fi,j)},i=1,2;j=1,2 和正參數(shù) α1,α2,β1,β2,λ,μ,在區(qū)域D上的插值函數(shù)(x,y)和(x,y)都是唯一的,且無論參數(shù)取何正值均滿足插值條件.

基于插值曲面(1)式和(2)式,可以構(gòu)造新的二元加權(quán)有理插值函數(shù)

其中ω∈[0,1].該函數(shù)滿足插值條件

稱α1,α2,β1,β2,λ,μ為形狀參數(shù),ω為權(quán)系數(shù),也稱(x,y)和(x,y)為基本曲面(或極限曲面).

2.2 插值基函數(shù)

為了便于分析該有理插值函數(shù)的性質(zhì),將(1)式和(2)式代入到(3)式并化簡,插值函數(shù)P(x,y)也可改寫為如下基表示形式

其中

稱為二元加權(quán)有理插值函數(shù)的基函數(shù),它們滿足

以及對稱性質(zhì).圖1所示即為ω=0.5,其余形狀參數(shù)均取2時的四個基函數(shù),從左往右,上往下依次是 ω11(u,v),ω12(u,v),ω21(u,v),ω22(u,v).

由(4)式和(5)式可以看出,加權(quán)線性有理插值本質(zhì)上即是對四個插值數(shù)據(jù)點的一種加權(quán)組合.

圖1:二元加權(quán)有理插值函數(shù)的基函數(shù)

3 插值函數(shù)的性質(zhì)

本節(jié)將討論(3)式或(4)式定義的二元有理線性插值函數(shù)的積分性質(zhì)、有界性質(zhì)及對插值數(shù)據(jù)的逼近誤差.

首先,由(4)式易知

因此當(dāng)f(x,y)≡1時,由(6)式和(7)式立得如下積分性質(zhì).

另一方面,利用插值函數(shù)的基表示形式,易得加權(quán)線性有理插值曲面也具有如下有界性質(zhì).

定理 2設(shè){(xi,yj,fi,j)},i=1,2;j=1,2是給定的插值數(shù)據(jù)點集,α1,α2;β1,β2;λ,μ 是任意正參數(shù),ω∈[0,1].P(x,y)是區(qū)域D=[x1,x2;y1,y2]上的加權(quán)線性有理插值函數(shù),則

或 |P(x,y)|≤N,其中

利用插值方法構(gòu)造插值曲面時,插值函數(shù)與被插函數(shù)的誤差估計是衡量插值方法有效性的一個重要理論依據(jù),如下是關(guān)于插值誤差分析的重要結(jié)論.

定理 3設(shè){(xi,yj,fi,j)},i=1,2;j=1,2是給定的插值數(shù)據(jù)點集,α1,α2;β1,β2;λ,μ是任意正參數(shù),ω∈[0,1].若f(x,y)∈C1[x1,x2;y1,y2],則有如下誤差估計

其中N1=max|fx(x,y)|,N2=max|fy(x,y)|.

證對i=1,2;j=1,2,由Taylor展開知

即證.

4 插值曲面的約束形狀控制

插值曲面的形狀控制是幾何設(shè)計的一個重要研究方向.一般而言,插值曲面的形狀取決于插值數(shù)據(jù),插值數(shù)據(jù)給定后插值曲面的形狀也就唯一確定了.對于給定的插值數(shù)據(jù),本文提出的插值曲面形狀可以靈活調(diào)控.

4.1 基于參數(shù)的形狀控制

由于本文構(gòu)造的加權(quán)線性有理插值曲面帶有形狀參數(shù)和加權(quán)系數(shù),插值曲面可以在插值數(shù)據(jù)給定的前提下,在給定范圍內(nèi)通過改變參數(shù)α1,α2,β1,β2,λ,μ;ω的值可以調(diào)控(3)式定義的二元加權(quán)有理插值曲面的形狀.

4.1.1 權(quán)系數(shù)對曲面形狀的整體控制

由插值函數(shù)的構(gòu)造過程可以看出,權(quán)系數(shù)ω取值整體控制插值曲面的形狀更傾向于極限曲面(x,y)或(x,y).特別的,ω=1或0時P(x,y)分別為(x,y)或(x,y).因此,ω→1時,插值曲面的形狀更傾向于(x,y)的形狀,ω→0時,插值曲面的形狀更傾向于(x,y)的形狀.給定插值數(shù)據(jù)點集(見表1).

表1:插值數(shù)據(jù)

圖2:權(quán)系數(shù)對插值曲面形狀的影響

取參數(shù)α1=α2=β1=β2=6,λ=μ=1,權(quán)系數(shù)的取值對插值曲面形狀的控制效果如圖2所示.

由圖2可以看出ω=1和ω=0時的曲面(x,y)和(x,y)可視為曲面變化范圍的邊界情形,如圖2(a)(b);ω取值越接近1,曲面的形狀越接近(x,y),如圖2(d);取值越接近0,曲面的形狀越接近(x,y),如圖2(e);而ω=0.5時的曲面兼顧了曲面(x,y)和(x,y)的形狀特點,介于二者之間,如圖2(c).

4.1.2 參數(shù) α1,α2,β1,β2對曲面形狀的局部控制

四個形狀參數(shù)α1,α2,β1,β2對曲面形狀的作用類似,故不妨僅討論α1對曲面形狀的局部控制.

注意到在有理插值函數(shù)的基表示形式(4)式中,僅ω11(u,v)和ω21(u,v)含有參數(shù)α1,且它們滿足

(1)ω11(u,v)是關(guān)于α1的增函數(shù);

(2)ω21(u,v)是關(guān)于α1的減函數(shù);

(3)ω11(u,v)+ω21(u,v)不再包含α1.

因此,隨著α1的增加,(4)式中f11的權(quán)重增加,f21的權(quán)重減少,f12和f22的不變.即參數(shù)α1主要控制了插值曲面片邊界曲線y=y1(x1≤x≤x2)的形狀.同理,參數(shù)α2,β1,β2主要控制了插值曲面片其它三條邊界曲線的形狀.對插值數(shù)據(jù)點集(表1),取α2=β1=β2=6,λ=μ=1,ω=0.5,參數(shù)α1的取值對插值曲面形狀的控制效果如圖3所示.

圖3:參數(shù)α1對插值曲面形狀的影響.

由于f11＞f21,隨著α1的增大,圖3(a)中α1=1,圖2(c)中α1=6,圖3(b)中α1=10,可以看出邊界曲線y=y1(x1≤x≤x2)上從x1到x2的下降速度變慢,反之則加快.因此參數(shù)α1,α2,β1,β2控制了插值曲面片四條邊界曲線的形狀.

4.1.3 參數(shù)λ,μ對曲面形狀的局部控制

兩個形狀參數(shù)λ,μ對曲面形狀的作用類似,這里僅討論λ對曲面形狀的局部控制.有理插值曲面的基函數(shù)中均包含參數(shù)λ,且滿足

(1)ω11(u,v)和ω21(u,v)是關(guān)于λ的增函數(shù);

(2)ω12(u,v)和ω22(u,v)是關(guān)于λ的減函數(shù);

(3) ω11(u,v)+ω12(u,v)+ω21(u,v)+ω22(u,v)=1.

因此隨著λ的增加,(4)式中f11和f21的權(quán)重增加,f12和f22的權(quán)重減少.即參數(shù)λ控制了插值曲面片沿y(x1≤x≤x2)方向的變化趨勢.對插值數(shù)據(jù)點集(表1),取ω=0.5,α1=α2=β1=β2=6,λ=1,參數(shù)μ的取值對插值曲面形狀的控制效果如圖4所示.

圖4:參數(shù)μ對插值曲面形狀的影響.

隨著μ的增大,圖2(c)中μ=1,圖4(a)中μ=6,圖4(b)中μ=10,可以看出越靠近邊界曲線x=x1(y1≤y≤y2)插值曲面越“平緩”,越靠近邊界曲線x=x2(y1≤y≤y2)插值曲面越“陡峭”.因此參數(shù)λ,μ分別控制了插值曲面片沿兩個坐標(biāo)軸方向的變化趨勢.

4.2 函數(shù)值約束控制

對于插值區(qū)域D=[x1,x2;y1,y2]內(nèi)的任意點(x,y),令(u,v)為局部坐標(biāo).以下定量分析插值曲面的局部點控制問題,即如何確定插值曲面在某點處的函數(shù)值等于給定的實數(shù)M,其中

稱(8)式為函數(shù)值控制方程.局部坐標(biāo)(u,v)已知,若能找到一組待定正參數(shù)α1,α2,β1,β2,λ,μ和權(quán)系數(shù)ω滿足(8)式,則可以實現(xiàn)局部函數(shù)值約束控制.

不失一般性,上述形狀控制問題可以歸結(jié)為中央點函數(shù)值控制問題,即此時(u,v)=(0.5,0.5).為了簡化運算步驟,不妨令λ=μ=ω=0.5,α1=α2=α,β1=β2=β,α和β為待定參數(shù).則中央點函數(shù)值控制方程可表示為

其中因此可以得到如下結(jié)論.

定理4加權(quán)有理插值函數(shù)的中央點函數(shù)值控制問題有解的充分條件是序列{k1,k2,k3,k4}變號數(shù)的值不為零.

證由函數(shù)值控制方程(9)式可知,參數(shù)α和β若存在正解,則加權(quán)線性有理插值函數(shù)的中央點函數(shù)值控制問題有解的充分條件是k1,k2,k3,k4不同號,即證.

給定平面區(qū)域D=[0,1;0,1],插值數(shù)據(jù)如表1所示.下面討論加權(quán)線性有理插值函數(shù)的中央點函數(shù)值控制問題.取λ=μ=ω=0.5,α1=α2=α,β1=β2=β.為了便于求解,不妨設(shè)α=β.

圖5:有理插值曲面的中央點函數(shù)值控制.

(1)α=β=6時,中央點函數(shù)值M=2.4762,此時的有理插值曲面如圖5(a).

(2)若要使插值曲面在中央點的形狀“上升”,如M=3,根據(jù)(9)式只需α=β=0.5,此時的有理插值曲面如圖5(b).

(3)若要使插值曲面在中央點的形狀“下降”,如M=2.4,根據(jù)(9)式只需α=β=14,此時的有理插值曲面如圖5(c).

5 結(jié)語

本文利用加權(quán)組合的方法,先按不同順序生成兩種二元線性有理插值曲面,然后將二者加權(quán)組合得到一種新的線性有理插值曲面.該插值曲面具有對稱的基表示形式,滿足積分一致性,有界性,討論了其插值誤差分析.對于給定的插值數(shù)據(jù),在一定范圍內(nèi)改變形狀參數(shù)α1,α2,β1,β2,λ,μ和權(quán)系數(shù)ω的值可以整體或局部調(diào)控有理插值曲面的形狀并實現(xiàn)中央點函數(shù)值控制.

基函數(shù)共包含7個參數(shù),雖然參數(shù)多有利于控制形狀,但是也給參數(shù)的選擇帶來諸多不便,可考慮適當(dāng)減少一些不必要或?qū)η嫘螤钣绊懖淮蟮膮?shù).如可令α1=α2,β1=β2,λ=μ,對稱地控制曲面的形狀.數(shù)值實驗結(jié)果表明,與現(xiàn)有三次及四次有理插值方法相比,線性有理插值方法次數(shù)更低,計算量小,形狀控制方法簡單有效.

參考文獻

[1]張慧明,李建俊,段繼光.|x|在調(diào)整的第二類Chebyshev結(jié)點組的有理插值[J].數(shù)學(xué)雜志,2014,34(3):509–514.

[2]劉愛奎,段奇,杜世田,曹慶杰,E.H.Twizell.插值曲線區(qū)域控制的加權(quán)有理插值方法[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,2000,12(7):497–501.

[3]Ideon E,Oja P.Linear/linear rational spline collocation for linear boundary value problems[J].J.Comp.Appl.Math.,2014,263:32–44.

[4]Han X L.Convexity-preserving approximation by univariate cubic splines[J].J.Comp.Appl.Math.,2015,287:196–206.

[5]Sun Q H,Bao F X,Zhang Y F,Duan Q.A bivariate rational interpolation based on scattered data on parallel lines[J].J.Vis.Commun.Image R.,2013,24:75–80.

[6]Duan Q,Zhang Y F,Twizell E H.A bivariate rational interpolation and the properties[J].Appl.Math.Comp.,2006,179:190–199.

[7]Duan Q,Wang L,Twizell E H.A new bivariate rational interpolation based on function values[J].Infor.Sci.,2004,166:181–191.

[8]Duan Q,Zhang H L,Liu A K,Li H G.A bivariate rational interpolation with a bi-quadratic denominator[J].J.Comp.Appl.Math.,2006,195:24–33.

[9]鄧四清,方逵,謝進.一種新的基于函數(shù)值的二元有理插值及其性質(zhì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,31(4):758–768.

[10]鄧四清,方逵,謝進,陳福來,陸海波.一種基于函數(shù)值的二元有理插值函數(shù)及其性質(zhì)[J].計算數(shù)學(xué),2009,31(1):77–86.

[11]鄧四清,方逵,謝進,陳福來,陸海波.一種新的帶參數(shù)雙三次有理插值樣條的有界性與點控制[J].計算數(shù)學(xué),2010,32(4):337–348.

[12]項梅靈,唐月紅.一種二元有理插值樣條函數(shù)的凸性[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,2012,24(9):1171–1179.

[13]Huang W X,Wang G J.A weighted bivariate blending rational interpolation based on function values[J].Appl.Math.Comp.,2011,217:4644–4653.

[14]Zhang Y F,Bao F X,Zhang C M,Duan Q.A weighted bivariate blending rational interpolation function and visualization control[J].J.Comp.Anal.Appl.,2012,14(7):1303–1320.