運(yùn)用手持計(jì)算器對(duì)函數(shù)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的探索

劉紅衛(wèi) 程海波 劉伯賢 雷丹 夏遠(yuǎn)景

摘 要：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競(jìng)賽和高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，也是歷年高考熱點(diǎn)問(wèn)題之一，函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性包括圖像關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)和關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的兩類(lèi)問(wèn)題，函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)問(wèn)題還分為一個(gè)函數(shù)圖像的自對(duì)稱(chēng)問(wèn)題和兩個(gè)函數(shù)圖像的互對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。圖形計(jì)算器一般是指一種可以繪制函數(shù)圖像、解高次方程或多元方程組以及能執(zhí)行其他復(fù)雜操作的手持計(jì)算器，大多數(shù)圖形計(jì)算器還能編寫(xiě)數(shù)學(xué)類(lèi)程序。有人指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該使用科技來(lái)幫助所有學(xué)生理解數(shù)學(xué)，并為在越來(lái)越科技化的社會(huì)中應(yīng)用數(shù)學(xué)做好準(zhǔn)備?！蓖瑫r(shí)也要求培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。文章針對(duì)這些問(wèn)題給出一般結(jié)論，并分別加以理論證明和手持計(jì)算器中的直觀呈現(xiàn)，體現(xiàn)了手持計(jì)算器在數(shù)學(xué)教學(xué)下的作用和優(yōu)勢(shì)，以及它在教學(xué)中的應(yīng)用，希望能給廣大教師一定的教學(xué)啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：圖形計(jì)算器；自對(duì)稱(chēng)；互對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)；中心對(duì)稱(chēng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A收稿日期：2017-12-08

首先我們看看高考題或高考模擬題：

1.【2011年新課標(biāo)卷文12】函數(shù)y=—的圖像與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于

（A）2 （B）4

（C）6 （D）8

解析：圖像法求解。y=—的對(duì)稱(chēng)中心是（1，0），也是y=2sinπx（-2≤x≤4）的中心，-2≤x≤4，它們的圖像在x=1的左側(cè)有4個(gè)交點(diǎn)，則x=1右側(cè)必有4個(gè)交點(diǎn)。不妨把它們的橫坐標(biāo)由小到大設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，則x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，所以選D。

考點(diǎn)：①函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性；②數(shù)形結(jié)合思想。

2.【2014高考全國(guó)2卷文第15題】偶函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，f（3）=3，則f（-1）=______.

解析：因?yàn)閥=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，故，f（3）=f（1）=3，又因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)，所以f（-1）=f（1）=3，故答案為3。

考點(diǎn)：①函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性；②函數(shù)周期性。

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性、奇偶性是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，而且多以選擇題、填空題綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)同時(shí)考查，分值5分，高中學(xué)生必須理解。下面我小結(jié)了函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)性質(zhì)，首先從理論上證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，同時(shí)用手持計(jì)算器探索、演示，可培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)生成的直觀感受，讓學(xué)生有身臨其境的感覺(jué)，這是手持計(jì)算器獨(dú)到的好處，也是本文的亮點(diǎn)。

一、同一個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)（自對(duì)稱(chēng)）

結(jié)論1：設(shè)a，b均為常數(shù)，函數(shù) y=f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)。

證明：在函數(shù)f（x）上任取一點(diǎn)P（x1，y1），即y1=f（x1），則點(diǎn)P關(guān)于直線x=—的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（a+b-x1，y1），

∵f（a+x）=f（b-x），

∴f（a+b-x1）=f（a+（b-x1））=f（b-（b-x1））=f（x1）

∴y1=f（a+b-x1）

∴點(diǎn)Q（a+b-x1，y1）也是函數(shù)y= f（x）上的點(diǎn)。

∴命題得證。

下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

（1）我們先將公式變形，將f（a+x）=f（b-x）轉(zhuǎn)換為f（—+t）=f（—-t）

a+x→ —+—+x

b-x→ —-—-x

另t=—+x

a+x→ —+t

a+x→ —-t

（2）做出a，b的值，選擇命令→繪圖→滑動(dòng)條，取最小值為-10，最大值為10，值和步長(zhǎng)都為1，選擇動(dòng)畫(huà)為無(wú)動(dòng)畫(huà)（如圖1）。

同樣的方法作出b的值。

（3）作出t的值，也是以滑動(dòng)條的方式做出t的值，將t的值設(shè)置為來(lái)回或循環(huán)。

（4）因?yàn)楹瘮?shù)的定義為：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)y是x的函數(shù)，x叫做自變量。所以任意一—+t都有一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，但y值是唯一確定的值。

（5）進(jìn)入symb視圖，選擇命令→點(diǎn)→點(diǎn)，輸入point（—+t，t2）。這時(shí)出現(xiàn)的是一個(gè)移動(dòng)的點(diǎn)。點(diǎn)擊屏幕，選擇選項(xiàng)將動(dòng)畫(huà)前面的鉤取消掉。點(diǎn)擊點(diǎn)，選擇選項(xiàng)，勾選矩陣跡。點(diǎn)的縱坐標(biāo)t2不唯一，不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生不同的y值，隨著t值的變化，點(diǎn)的位置也會(huì)變化，形成的就是某種對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)圖像（如圖2）。

（6）根據(jù)步驟五作出point（—-t，t2），勾選矩陣跡，點(diǎn)擊屏幕，勾選動(dòng)畫(huà)，作出函數(shù)圖像。函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)（如圖3）。

（7）我們可以改變a，b的值，作出函數(shù)的圖像。點(diǎn)擊屏幕，取消動(dòng)畫(huà)。改變a，b的值，點(diǎn)擊點(diǎn)，選擇清除矩陣跡，勾選動(dòng)畫(huà)（如圖4）。

（8）重復(fù)步驟7，改變函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將t2改成3-t（如圖5）。

結(jié)論成立。

推論1：在直角坐標(biāo)系中，滿(mǎn)足f（a+x）=f（a-x）的函數(shù)y= f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)（其中a為常數(shù)）（特例：當(dāng)a=0時(shí)，若y= f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則y= f（x）為偶函數(shù)）。

推論2：在直角坐標(biāo)系中，滿(mǎn)足f（a-x）=f（x-a）的函數(shù)y= f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)。

二、兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)（互對(duì)稱(chēng)）

結(jié)論2：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y1=f（a+x）與函數(shù)y2=f（b-x）的圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)（其中a，b均為常數(shù)）。

證明：

方法一：已知y1，求出y1關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)的函數(shù)y3，若y3=y2則證明完畢。

在函數(shù)y3上任取一點(diǎn)P（x0，y0），即y0=f（a+x0），則點(diǎn)P關(guān)于直線x=—的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（b-a-x0，y0），則點(diǎn)Q必在函數(shù)y1的圖像上。

∴y0=f（a+（b-a-x0））=f（b-x0），即點(diǎn)（x0，y0）在y2=f（b-x）的圖像上。

∴函數(shù)y3=y2，命題得證。

方法二：函數(shù)y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移a個(gè)單位所得，現(xiàn)在函數(shù)y=f（x）圖像上任取一點(diǎn)P（x1，y1），則點(diǎn)P1（x1-a，y1）在函數(shù)y1=f（a+x）的圖像上；函數(shù)y2=f（b-x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像先關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得y=f（-x）的圖像，再向右平移b個(gè)單位得y2=f（-（x-b）），即得函數(shù)y2=f（b-x）的圖像，則點(diǎn)P2（b-x1，y1）在函數(shù)y2=f（b-x）的圖像上，又因?yàn)辄c(diǎn)P1（x1-a，y1）和點(diǎn)P2（b-x1，y1）關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以?xún)珊瘮?shù)圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)。命題得證。

下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

（1）打開(kāi)幾何學(xué)應(yīng)用程序，我們先做出一個(gè)函數(shù)，點(diǎn)擊命令→選擇繪圖→函數(shù)，繪制任一函數(shù)，為之后不對(duì)結(jié)論產(chǎn)生誤導(dǎo)，在這里最好繪制奇函數(shù)而非偶函數(shù)。我們可以嘗試?yán)L制函數(shù)y=x3（如圖6）。

（2）已經(jīng)作出函數(shù)y1=f（x）的圖像，現(xiàn)在作出函數(shù)y1=f（a+x）的圖像。先做出a值，在plot視圖選擇命令→繪圖→滑動(dòng)條，取最小值-10、最大值10、初始值為1、步長(zhǎng)為1，其他不變（在這里取值是為了取到正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，證明a為常數(shù)時(shí)結(jié)論滿(mǎn)足）。在符號(hào)視圖將GB改成a（如圖7）。

現(xiàn)在我們能在plot視圖看到a的值，我們將鼠標(biāo)長(zhǎng)按在a值上會(huì)出現(xiàn)滑動(dòng)塊，移動(dòng)滑動(dòng)塊可以改變a的值（如圖8）。

（3）使用同樣的步驟作出b值。

（4）在symb視圖做出y1=f（a+x），進(jìn)入symb視圖，選擇命令→繪圖→函數(shù)，plotfunc（a+x）3。為區(qū)分原函數(shù)和函數(shù)y1，改變函數(shù)y1的顏色（如圖9、圖10）。

（5）同樣的方式作出y2=f（b-x）的函數(shù)圖像（如圖11、圖12）。

（6）作出函數(shù)y1和y2的函數(shù)后，原函數(shù)不需要了，可以選中原函數(shù)的圖像將函數(shù)圖像隱藏。此時(shí)，我們能直觀地看出兩個(gè)函數(shù)圖像是對(duì)稱(chēng)的，但函數(shù)圖像是否對(duì)稱(chēng)還需要我們進(jìn)行證明。

（7）在y1上面取一點(diǎn)，做直線x=—，以直線為對(duì)稱(chēng)軸做出點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如果對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再函數(shù)y2上，則兩函數(shù)對(duì)稱(chēng)。

（8）進(jìn)入plot視圖，選擇命令→點(diǎn)→上面的點(diǎn)。進(jìn)入symb視圖，選擇命令→線→直線line（x=—）。做出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，選擇命令→變換→反射（如圖13）。

（9）驗(yàn)證點(diǎn)G是否在函數(shù)圖像上，選擇命令→檢驗(yàn)→對(duì)象上。檢驗(yàn)結(jié)果為1，表示點(diǎn)在直線上。長(zhǎng)按在點(diǎn)B上，進(jìn)入編輯界面，將無(wú)動(dòng)畫(huà)改為來(lái)回或循環(huán)，發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)結(jié)果一直為1（如圖14）。

（10）也可以將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)表示出來(lái)，選擇命令→笛卡爾→坐標(biāo)。同時(shí)也可以改變a，b的值，發(fā)現(xiàn)結(jié)論同樣正確（如圖15）。

推論1：在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y1=f（a+x）與函數(shù)y2=f（a-x）的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)（特例：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=f（-x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）。

推論2：在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y1=f（a-x）與函數(shù)y2=f（x-a）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)（其中a為常數(shù)）。

三、同一個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

結(jié)論3：設(shè)a，b均為常數(shù)，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

證明：

方法一：∵f（a+x）+f（a-x）=2b

∴[f（a+x）-b]+[f（a-x）-b]=0

令F（x）=f（a+x）-b，（x∈R）

∴F（x）+F（-x）=0，即F（x）為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)。

∴y=f（a+x），（x∈R）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，b）對(duì)稱(chēng)

∴y=f（x），（x∈R）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)，證明完畢。

∴命題得證。

方法二：∨P（x0，y0）∈y=f（x）圖像上，從而有y0=f（x0），

則可得P（x0，y0）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q（2a-x0，2b-y0）。

下面證明點(diǎn)Q在y=f（x）上，即證2b-y0=f（2a-x0），

需證f（2a-x0）+f（x0）<=>f（a+（a-x0））+f（a-（a-x0））=2b。

這里顯然成立（只需令x=a-x0即可）

由于P點(diǎn)的任意性可知y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)。證明完畢。

下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

（1）本結(jié)論為結(jié)論1的引申，我們?cè)诮Y(jié)論1的方法上證明。使f（a+x）的值為b+x，f（a-x）的值為b-x。將結(jié)論一的point（—+GC，GC2）改為point（GA+GC，GB+GC2），point（—-GC，GC2）改為（GA-GC，GB-GC2）（如圖16）。

得出函數(shù)圖像（如圖17）：

（2）函數(shù)圖像作出來(lái)之后，點(diǎn)擊選項(xiàng)，取消動(dòng)畫(huà)。連接兩點(diǎn)做一條線段，取中點(diǎn)，選擇命令→線→線段→選擇點(diǎn)G和點(diǎn)E，再選擇命令→點(diǎn)→中點(diǎn)→選擇點(diǎn)G和點(diǎn)E。勾選動(dòng)畫(huà)（如圖18）。

點(diǎn)G點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)H對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)H位置不變，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)H（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

推論：設(shè)a，b，c均為常數(shù)，函數(shù)y=f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f（a+x）+f（b-x）=2c，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（—，c）成中心對(duì)稱(chēng)圖形（特例：當(dāng)a=b=c=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱(chēng)）。

四、兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

結(jié)論4：設(shè)a，b，c均為常數(shù)，則函數(shù)y1=f（a+x）與y2=c-f（b-x）關(guān)于點(diǎn)（—，—）成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

證明：

方法一：已知y1，求出y1關(guān)于點(diǎn)（—，—）對(duì)稱(chēng)的函數(shù)y3，若y3=y2，則證明完畢。

在函數(shù)y3上任取一點(diǎn)P（x0，y0），即y0=f（a+x0），則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（—，—）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（b-a-x0，c-y0），則點(diǎn)Q必在函數(shù)y1的圖像上。

∴c-y0=f（b-a-x0）=f（b-x0），

∴y0=c-f（b-x），即點(diǎn)（x0，y0）在y2=c-f（b-x）的圖像上。

∴函數(shù)y3=y2，命題得證。

方法二：函數(shù)y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移a個(gè)單位所得，現(xiàn)在函數(shù)y=f（x）圖像上任取一點(diǎn)P（x1，y1），則點(diǎn)P1（x1-a，y1）在函數(shù)y1=f（a+x）的圖像上；函數(shù)y2=c-f（b-x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像先關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得y=f（-x）的圖像，再向右平移b個(gè)單位得y=f（-（x-b）），再將所得函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得y=-f（b-x），最后將所得圖像向上平移c個(gè)單位，即得函數(shù)y2=c-f（b-x）的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像變換可知，點(diǎn)P（x1，y1）經(jīng)過(guò)y2=c-f（b-x）的相應(yīng)變換得點(diǎn)P2（b-x1，c-y1），又因?yàn)辄c(diǎn)P1（x1-a，y1）和點(diǎn)P2（b-x1，c-y1）關(guān)于點(diǎn)（—，—）對(duì)稱(chēng)，由于點(diǎn)P（x1，y1）是任取的，所以?xún)珊瘮?shù)圖像關(guān)于關(guān)于點(diǎn)（—，—）對(duì)稱(chēng)。命題得證。

下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)（改變a，b的值）。

我們?cè)诮Y(jié)論2的基礎(chǔ)上探索結(jié)論4，我們已經(jīng)知道函數(shù)y1=f（a+x）的圖像可以看成是函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移a個(gè)單位所得。我們探索一下y2=c-f（b-x）的函數(shù)圖像的性質(zhì)。

（1）我們做出函數(shù)y=x的圖像，再做出y=-x和y=6-x的函數(shù)圖像。選擇命令→繪圖→函數(shù)（如圖19）。

函數(shù)圖像（如圖20）：

我們可以發(fā)現(xiàn)y=6-x相當(dāng)于函數(shù)y=x沿y軸對(duì)稱(chēng)再上移6個(gè)單位。

（2）我們作出原函數(shù)y=x2的圖像。創(chuàng)建a、b值，作出y=（a+x）2和y= （b-x）2的圖像（如圖21）。

函數(shù)圖像（如圖22）：

兩函數(shù)圖像關(guān)于x=—對(duì)稱(chēng)。

（3）創(chuàng)建c值，plot視圖，選擇命令→繪圖→滑動(dòng)條，最小值到最大值任取，步長(zhǎng)為1。作出函數(shù)y=c-（b-x）2的圖像（如圖23）。

隱藏原函數(shù)和函數(shù)y=（b-x）2。選擇函數(shù)圖像，選擇選項(xiàng)→隱藏（如圖24）。

（4）在y=（a+x）2作上面的點(diǎn)，選擇命令→點(diǎn)→上面的點(diǎn)。做出點(diǎn)（—，—），再上面的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（—，—）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（如圖25）。選擇命令→變換→反射。

（5）檢驗(yàn)點(diǎn)H在否在函數(shù)上，現(xiàn)在命令→檢驗(yàn)→對(duì)象上（如圖26）。

移動(dòng)函數(shù)上的點(diǎn)，檢驗(yàn)結(jié)果為1，證明結(jié)論正確。

（6）我們可以改變函數(shù)檢驗(yàn)結(jié)論是否正確，將函數(shù)改為x3（如圖27）。

結(jié)論正確。

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